http://www.journal-altspu.ru/files/original/72/88/_.png 210728705699031fc9b258ea2e4695b2 http://www.journal-altspu.ru/files/original/72/88/Lvova_.pdf 0027534d601c32c07ab8f98b2d62ab75 PDF Text Text ½ �þ ý ü þü ü ü ü ºþº þ ¾¹ ü ¸ ý ¾¼½ ÿ �УДК 514.144(075) ББК 22.151.32я73 Л891 Львова, Л.В. Проективная геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л.В. Львова. – 2-е изд., доп. – Барнаул : АлтГПУ, 2017. ISBN 978-5-88210-858-7 Рецензенты: Родионов Е.Д., доктор физико-математических наук, профессор (Алтайский государственный университет); Кизбикенов К.О., кандидат физико-математических наук, доцент (Алтайский государственный педагогический университет) Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Наряду с теоретическим материалом, изложение которого сопровождается многочисленными примерами решения задач, в пособие включен сборник задач. ____Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п., ссылки на внешние документы – приложения. Приложения можно открывать так же, как вложения, при этом происходит автоматический показ слайдов. Программа «Адобе Акробат» позволит установить необходимое время демонстрации каждого слайда. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 26.01.2017 г. Деривативное издание. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования 1. ПК с процессором Pentium 133 или более мощным. 2. Операционная система Microsoft Windows (для работы с русским интерфейсом операционная система должна обеспечивать поддержку кириллицы). 3. Требования к оперативной памяти зависят от используемой операционной системы: для Windows – не менее 16 МБ. © Алтайский государственный педагогический университет, 2017 �Объём издания – 70 250 КБ. Дата подписания к использованию: 27.04.17 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru �þ º þ ¹ ´½ ´½ ½ ½ µ ¹ µ¸ ¹ ü ÁÎ º º ¹ º¸ ´½ ¿ ½ ¾µº ¸ ¹ ´½ ¾¾µ ¹ ¸ ÿ ´½ µ ¹ º ´½ ¼ ½ µ ´½ ¼½ ½ µ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¹ º º º ½ ¸ ¹ º º ü üº º ´½ ´½ ¾½ ½ µ ¹ ½ ¾ µ ¹ ¹ º ¹ ¸ º ½ ¾ ¸ º ¿ ´ÿ ¹ �µ º º ÿ ¹ ¹ º þº º ´½ ¿ ºüº ü üº ½ ¼ µ º þ ¹ º ¸ ü ´½ ½ ¾½µ þ ´½ ¸ º ½ ¾¾µ ¹ ¸ ¸ ¹ º üº ¸ ºüº ÿ º ¸ º º ¹ º ¹ º þ üº º ¹ ¸ º º º ¹ º ´½ ¼µ ¹ ºüº ÿ º þ º �ÿ ½ ü þ þ ï ½º ½º½ º ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º Á I1 º º a¸ I2 º A B¸ A Bº A �B¸ ¸ A Bº I3 º º ¸ º I4 º A¸ B ¸ C ¸ ¸ º º I5 º A¸ B ¸ C ¸ ¸ º I6 º A α¸ I7 º B a α αº β A¸ Bº I8 º ¸ º I9 º ¸ ¸ ¹ º º ½º º ¾º ¸ ¹ ¸ º a ¿º A ¹ º º º º ¸ ´ ¹ µº º º º º º º �ÁÁ II1 . º A¸ B ¸ C D¸ a¸ a A¸ B C ¸ D¸ C ¸ Dº A¸ B A¸ B ¸ C ¸ D º II2 . A¸ B C ¸ D¸ A Bº II3 . B¸ C ¸ D C ¸ D¸ B¸ A¸ C¸ D A¸ a¸ ¹ º II4 º C¸ D E a A¸ B ¸ C ¸ D ¸ E A¸ E ¸ D¸ a A¸ B ¸ C ¸ D ¸ E A¸ B ¸ C¸ E A¸ B º II5 . C¸ D C¸ E D¸ E A¸ B º II6 . 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P∞ ¹ P∞ (x1 , x2 , 0) (x1 , x2 , 0)º P∞ (x1 , x2 , 0)¸ ¸ λ = 0¸ (λx1 , λx2 , 0)¸ ¹ P∞ º ¸ ½¿ �★ ✥ P∞ (x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸ x3 = 0¸ (b, −a, 0). ✧ ✦ ¾º ÿ ¹ ´ πµ ¹ º O e1 e2 π µ M(x, y) −−→ OM = xe1 + y e2 º −→ e3 = SO¸ S ∈ πº π¸ −−→ −→ −−→ SM = SO + OM = xe1 + y e2 + e3 ¸ −−→ SM (x, y, 1) {e1 , e2 , e3 }º m¸ ¹ −−→ −−→ m = λSM SM º ´λ = 0 µ m(λx¸ λy ¸ λ)º þ ¹ λx = x1 ¸ λy = x2 , λ = x3 º ¸ m(x1 , x2 , x3 )¸ (x1 , x2 , x3 ) (x, y, 1). º ¹ º º½ (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) þ (x¸ y ¸ 1)¸ −−→ SM º m¸ ½ ¹ ¹ ¹ �¿º¾ º m þ M¸ −−→ m||SM º ¸ M¸ ¹ (x1 , x2 , x3 ) M ¸ ¸ m¸ ¹ (x, y, 1)¸ ¹ (x, y) º P∞ µ ¹ π¸ º¾ ax+by+c = 0. p p (b, −a, 0) ¹ º þ p|| ¸ p = be1 − ae2 ¸ º º ¹ {e1 ¸ e2 ¸ e3 }º m ¸ ¹ p (m||p)¸ m = λp m(λb, −λa, 0)º x1 = λb¸ x2 = −λaº m(x1 , x2 , 0)¸ (x1 , x2 , 0) (b, −a, 0)º þ ¹ (x1 ¸ x2 ¸ 0)¸ p|| . P∞ (x1 , x2 , 0)¸ (b, −a, 0)¸ (b, −a, 0)¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ (b, −a, 0). ½ �¹ (x1 , x2 , 0) P∞ m¸ m|| (b, −a, 0)¸ a ¹ ¹ b πº º O(0, 0, 1)¸ X∞ (1, 0, 0) O e1 ¸ Y∞ (0¸ 1¸ 0) ¿º½ ¹ O e2 . ✬ ¸ (x1 , x2 ¸ x3 ) µM ¸ m¸ ´ ¹ M¸ ¹ {e1 , e2 , e3 }º ✫ ¿º ✩ ✪ þ ¹ O e1 e2 e3 º ¹ M (x, y, z)º ¿º¿ º ¹ ¹ (x1 , x2 , x3 , x4 ) M ¸ x= x1 , x4 y= ½ x2 , x4 z= x3 . x4 �M ¸ ¹ (x1 ¸ x2 ¸ x3 ¸ x4 )¸ (x, y, z, 1). α ax + by + cz + d = 0¸ ¼ ¹ a¸ b¸ c º þ ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0º a¸ b¸ c º ¹ (x1 , x2 , x3 , 0) ¸ ¹ º α. ¹ ¹ º ¸ ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0, x4 = 0. ¹ a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + d1 x4 = 0, a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 + d2 x4 = 0. x4 = 0¸ º ¹ ¹ ¹ ¸ (x1 , x2 , x3 , x4 )¸ ½ x4 = 0º �¹ º (x1 , x2 )¸ (x, 1)¸ x ¹ ¹ ¸ ¹ (1, 0)º ¹ ¸ e1 (1, 0) ¸ ¹ º ï º ¹ ¸ ¹ ¹ º ý ¸ ¹ º π º¿ ¹ ¸ ¹ º þ Ó π¸ S¸ ¹ ¹ ½ �e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ Sº e1 ¸ e2 ¸ e3 A1 ¸ A2 ¸ A3 þ ¹ S πº A1 A2 A3 ¸ ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 A1 ¸ A2 ¸ A3 º ¹ ¸ E¸ e = e1 + e2 + e3 ¸ Se¸ πº º½ º ¸ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E¸ ¸ ¹ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e ¹ ¹ ¹ e = e1 + e2 + e3 , ´ µ¸ B = {e1 , e2 , e3 } {e1 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)e2 + (ρx3 )e3 º ¸ m = x1 (λe1 ) + x2 (λe2 ) + x3 (λe3 ) = (x1 λ)e1 + (x2 λ)e2 + (x3 λ)e3 º þ m ¹ B ρx1 = λx1 ¸ ρx2 = λx2 ¸ ρx3 = λx3 º x1 = ρ ρ ρ x1 , x2 = x2 , x3 = x3 . λ λ λ ¾½ �(x1 ¸ ¸ x2 ¸ x3 ) (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) ρ λ M ´ µº º¿ º R ßA1 , A2 , A3 , E R ßA1 , A2 , A3 , E º (x1 , x2 , x3 ) M ¹ (x1 , x2 , x3 ) ρx1 = λ1 c11 x1 + λ2 c12 x2 + λ3 c13 x3 ¸ ρx2 = λ1 c21 x1 + λ2 c22 x2 + λ3 c23 x3 ¸ ρx3 = λ1 c31 x1 + λ2 c32 x2 + λ3 c33 x3 ¸ (c11 , c21 , c31 )¸ (c12 , c22 , c32 )¸ (c13 , c23 , c33 ) A1 ¸ A2 ¸ A3 R ¸ λ1 , λ2 , λ3   λ1 c11 + λ2 c12 + λ3 c13 = b1 ¸ λ1 c21 + λ2 c22 + λ3 c23 = b2 ¸  λ1 c31 + λ2 c32 + λ3 c33 = b3 (b1 , b2 , b3 ) Rº E ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º º ¹ º ú û ¾¾ �ï º ¹ ¹ º R = {A1 ¸ A2 ¸ E} º½ ¸ A1 ¸ A2 ¸ E ¸ e = e1 + e2 º ¸ ¹ B = {e1 , e2 } ý ¹ Rº º¾ µ ¹ ´ º ¹ (x1 , x2 ) M R E ßA1 ¸ ¹ m B Rº ße1 ¸ ¹ e2 ´ º¾ µ A2 ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¹ º º½ A(1, 0)¸ º ¹ R = {A1 , A2 , E}º B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ D(2, 0)¸ F (2, −1)º ¾¿ �º S ∈ SE þ SA1 ¸ SA2 ¸ SE º q SA1 r¸ SA2 º SA2 ∩ q º P ¹ K = SA1 ∩ r ¸ L = −→ −−→ −→ SP = e¸ SK = e1 ¸ SL = e2 º þ B = {e1 , e2 } R¸ e = e1 + e2 º ¸ ¹ e1 SA1 ¸ e2 SA2 ¸ e SE ¹ ºþ ¹ a ¹ A(1, 0) e1 ¸ A A1 º ü ¹ ¸ B A2 ¸ C E º D ¹ ¹ d 2e1 º ¸ D = A1 º ¸ 2e1 − e2 º ï º ¹ ¸ f ¹ −→ f = SQº SQ F f = F ¹ º º º½ R = {A1 , A2 , A3 , E}º º A(a1 , a2 , a3 ) ¸ ¾ B(b1 , b2 , b3 )º �A Bº º º x3 ) M ∈ ¸ m = αa + β b¸ M(x1 , x2 , x3 ) a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 ) m(x1 , x2 , A¸ B ¸ M º a¸ b¸ m ¸ ´ µ   x1 = αa1 + βb1 , x2 = αa2 + βb2 ,  x3 = αa3 + βb3 . ´ º½µ ¹ m¸ ´ º½µ º a¸ b x1 x2 x3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = 0º ´ º¾µ ¸ ´ º¾µ º ´ º¾µ ¹ ¹ A(a1 , a2 , a3 )¸ B(b1 , b2 , b3 )¸ C(c1 , c2 , c3 ) º a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = 0. ´ º¿µ ´ º¾µ ¾ �a2 a3 a a a a x1 − 1 3 x2 + 1 2 x3 = 0 b2 b3 b1 b3 b1 b2 u1 = a2 a3 a a , u2 = − 1 3 , u3 = b2 b3 b1 b3 a1 a2 . b1 b2 u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0. ´ º µ ´ ´ º µ º þ u1 ¸ ´ º µ¸ µ u2 ¸ u3 ¹ ¹ ¸ º ¹ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ¸ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 u1 : u2 : u3 = u1 : ¸ u2 : u3 º º½ º u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ´u1 ¸ u2 ¸ u3 µº ¹ ¸ ¹ º º (u1 , u2, u3 ) (u1 ¸ u2 ¸ u3 )º º½ º ¹ º ¸ A(2, 1, −3) ¾ B(0, 2, 1)º AB ¹ �x1 x2 x3 2 1 −3 0 2 1 = 0. 7x1 − 2x2 + 4x3 = 0 ï º º º ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E}º þ I9 µº ´ º½ º º (u1 , u2, u3 ) m(v1 , v2 ,3 )º S º º S(x1 , x2 , x3 )º m¸ S ¸ ¹ ¹ ¸ m u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0, v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 = 0. x1 ¸ x2 ¸ x3 ¸ S ¸ ´ º½µ  x2 1  u1 x x3 + u2 x3 = −u3 ,  v1 x1 + v2 x2 = −v3 . x3 x3 ¾ ´ º½µ ¸ x3 x3 = 0º ¹ ´ º¾µ �¸ x1 ∆1 x2 ∆2 = , = , x3 ∆3 x3 ∆3 ´ º¿µ ¸ ∆3 = u1 u2 , ∆1 = v1 v2 ∆2 = u1 −u3 v1 −v3 −u3 u2 −v3 v2 u2 u3 , v2 v3 = u1 u3 . v1 v3 =− ´ º µ ´ º¿µ x1 x3 x2 x3 = , = . ∆1 ∆3 ∆2 ∆3 x1 : x2 : x3 = ∆1 : ∆2 : ∆3 ¸ º º S (∆1 , ∆2 , ∆3 )º ¸ S(∆1 , ∆2 , ∆3 ) ´ º µ¸ S= u2 u3 u1 u3 u1 u2 ,− , v2 v3 v1 v3 v1 v2 ¹ ¹ ¹ º ´ º µ º º½ º S ¹ Sº ¸ ¾ �¸ º (u1 , u2 , u3) ¹ m(v1 , v2 , v3 )º º ¹ ¸ º S ∈ p¸ ´ º µ¸ p(p1 , p2 , p3 ) S = ∩m ¹ u2 u3 u u u u p − 1 3 p2 + 1 2 p3 = 0, v2 v3 1 v1 v3 v1 v2 u1 u2 u3 v1 v2 v3 = 0. p1 p2 p3 ´ º µ ´ º µ ¸ (u1, u2 , u3 ) m(v1 , v2 , v3 )º ¹ (u1 , u2 , u3)¸ m(v1 , v2 , v3 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P∞ ¾µ a ´ º ´ º µ u1 u2 u3 2 −1 5 = 0. 0 1 −1 ¿¼ ¹ �¸ 2u1 − u2 − u3 = 0. ¸ P∞ (2, −1, −1). b¸ M¸ ¿µ a MP∞ ¹ ¹ x1 x2 x3 1 3 −2 = 0. 2 −1 −1 b 5x1 + 3x2 + 7x3 = 0. ï º R = {A1 , A2 , A3 , E}º º ¹ M(x1 , x2 , x3 ) −→ (x1 , x2 , x3 )¸ (u1 , u2 , u3) −→ M (u1, u2 , u3 )¸ º M º ¸ M¸ ¸ M º ¸ ½µ ¹ ¸ ¿½ ¸ ¹ �¾µ M ∈ ¸ M∈ ¸ º M ¸ º M ∈ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0. ¸ ✤ ✣ º ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ º º½ º T¸ ¸ ¹ T¸ º T ←→ ←→ ←→ ¸ ¸ ¸ ¸ ←→ º º¸ ¸ Tº ¿¾ ¹ ✜ ✢ �←→ ½º º ¾º ¹ I1−2 µ ←→ ´ ¿º I9 µº ´ ←→ ¸ ¸ º º¾ º ¹ ¸ ¸ ¹ º º º½ ¸ º ´ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ºµ T¸ ¸ Tº º ¹ ¸ ¹ º ¸ Tº ¹ Tº ¹ T T ¸ ¿¿ º �º þ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ←→ ←→ ←→ ←→ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ←→ º ý ¹ º ½µ ¾µ ¹ º ï º º½ º ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ º º½ º A ¸ A¸B ´ A B ¸ BC B C ¸ AC ABC A B C B¸C C µº AC º ¿ ¹ ¹ AB �º½ º ´ ºµ AA ¸ BB ¸ CC ¸ ABC ABC ¸ ¹ ¹ L¸ P = AB ∩ A B ¸ Q = BC ∩ B C ¸ R = AC ∩ A C ¹ º º þ ¸ ¹ ÓÓ ¹ ¹ ¹ A → a¸ B → b¸ C → c¸ A → a ¸ B → b ¸ C → c¸ L → º L ∈ AA ¸ = αa + α a º ü L ∈ BB L ∈ CC ¸ = βb + β b = γc + ¹ γ cº º º αa + α a = β b + β b ¸ β b + β b = γc + γ c ¸ γc + γ c = αa + α a ¸ αa − β b = −α a + β b ¸ β b − γc = −β b + γ c ¸ γc − αa = −γ c + α a º ¿ �αa − β b a b¸ AB º þ º ¸ −α a + β b ABºü ¸ αa − β b AB P −α a + β b ¸ AB ¹ Pº ¸ p = αa − β bº ü ¹ q = β b − γc¸ ¸ º ¹ ¸ ¸ ¸ º r = γc − αa Q¸ Rº p + q + r = (αa − β b) + (β b − γc) + (γc − αa) = (αa + β b + γc) − (αa + β b + γc) = 0º ¹ ¸ p¸ q, r ¹ ¸ ¸ P ¸ Q¸ R º º¾ º ´ ºµ ABC ABC P = AB ∩ A B ¸ Q = BC ∩ B C ¸ R = AC ∩ A C ¹ AA ¸ BB ¸ CC ¸ ¸ ¸ ¹ L. ¸ ¹ ¸ º ¿ �º¾ ABC º ABC ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ L ¸ ¸ ¹ ¸ º ½º º ¸ º ½¼ ½¼ ¸ º ¹ ¸ º þ Ü ¹ º º ¾º º ú ½û¸ ú ¾ûº º º¾ ¸ ¹ ¸ Bº ¸ º A P ¸ LB B B CQ ¹ ´ µ¸ º A A LC ¸ P ¸ L B¸ C P BQ¸ ¹ Qº ´ µº ¿ �º ¹ A, C, R ¸ ¹ º º¿ º ¸ ¹ ¸ LA º ¸ LA º A L¸ A ¹ º ¹ BB CC ¸ BP BB P CR¸ B P C R L¸ A¸ A µº CC R ´ ´ ¹ ¸ ¹ µ¸ B ¹ C¸ B BC ¸ B C ¸ P R CC R C¸P Qº Rº ¸ BB P Q º ï ½¼º ¹ º ¹ L L L ¿º L º L ½º ¸ ¾º º ¸ ¸ º ¸ ¿ º º �½º AA ∩ BB ∩ CC = L ¸ AB ∩ A B = P ¸ BC ∩ B C = Q¸ AC ∩ A C = R¸ P ∈ ¸ Q ∈ ¸ R ∈ º ¾º AA ||BB ||CC = L¸ AB ∩ A B = P ¸ BC ∩ B C = Q¸ AC ∩ A C = Rº ¿º AA ∩ BB ∩ CC = L¸ AB||A B ¸ BC||B C ¸ AC||A C º º AA ||BB ||CC = L¸ AB||A B ¸ BC||B C ¸ AC||A C º º º º º ½¼º½ ºµ º´ ¹ ¸ ¸ ÓÓ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ º ¹ ¹ ¹ ¹ �¹ ¸ ½ ¾¸ ¿ ¹ º þ ABC ¿ ABC ¹ ¸ º ¹ º þ ¹ ¸ ¹ ºþ ¸ ¹ º º þ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¹ ¸ º ½¼º½ º a||b C ¸ Cº ¹ ¸ º º ü º ¹ ¸ ´ º AA = a¸ µº BB = b¸ C ¸ CC B ∈ bº ¸ ¸ º ¹ A¸ A ∈ a B ¸ P = AB ∩ A B º ¸ Q ¾ ¹ Pº ¹ R BC ¼ �AC º BQ C A Rº ¹ ¸ º ½º ¾º ¿º º º º º º A ∈ a, A ∈ a¸ B ∈ b, B ∈ b P = AB ∩ A B ¸ P ∈ R = AC ∩ Q = BC ∩ C =B Q∩AR CC º º ½¼ º ABC A B C º þ P = AB∩A B ¸ Q = BC∩B C ¸ R = AC∩A C º ¸ ABC ABC ¹ ¹ ´ µº CC CC AA ||BB ¸ ¹ º ¸ ¸ º º ¾º þ ¸ º ú û ¹ º ï ½½º ÿ ½º ÿ º ½ ¹ �½½º½ º ´ R µ A2 ¸ A3 ¸ E R ßA1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E {A1 ¸ º ¹ M ¸ (x1 ¸ x2 ¸ (x1 , x2 , x3 ) M x3 ) R ¹ ¹ R¸ ¹ ¹ º M(x1 , x2 , x3 )R R ¾µ f : R → R R Rº M ½µ f A1 (1, 0, 0)R º º ü E E º ½½º½ R¸ R R1 M A1 (1, 0, 0)R ¸ A1 A1 A2 A2 ¸ A3 A3 ¸ ¹ º R1 º ¹ ¸ M = f (M) M(y1 , y2, y3 )R1 ¸ M (y1 , y2, y3 )R1 ´ ¹ µº f ¸ R f R¸ ¹ ¹ ¾ �R1 R1 ¸ R1 = f (R1 ) ¸ R1 º º ½½º½ ¸ º ¿¾ ¿¿º ¹ º ¹ º º 1◦ . º f : R → R g : R1 → R1 º ¸ g◦ f º þ R1 ¹ R1 R = f (R) R = g(R )¸ M M = f (M) M = g(M )º f R R¸ M (x1 , x2 , x3 )R º g R R = g(R )º ¸ R = (g ◦f )(R)º ¸ M(x1 , x2 , x3 )R º ¹ M = (g ◦ f )(M)º ¸ ¹ ü ¸ R ¸ M (x1 , x2 , x3 )R M º ¾µ M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R g◦f 2◦ . ü ¹ R º ¹ ¸ ¸ ½µ g R→R M(x1 , x2 , x3 )R g◦f ´ µº ¹ º ¸ ¹ º ¿ �3◦ . º ¹ ¸ ¸ ¹ eº e ¸ ¹ º ¸ µ e:R→R ´ ¸ º 4◦ . º ¹ º ¹ f ¸ ¸ ¹ f −1 ¹ º º M ¸ f :R→R f −1 : R → Rº þ M = f −1 (M )º f ¹ ¹ ¸ M = f (M)º M(x1 ¸ x2 ¸ x3 )R M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º f −1 ¸ R (x1 , x2 , x3 )R (x1 , x2 , x3 )R º ¹ R M M ¸ ¹ f −1 º ¹ ¹ ¹ º �º ½½º¾ ¹ Φ ý ¸ ¹ Φ¸ ¹ Φ ¸ ½½º¾ Φº ¹ º ¸ º º ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¹ ¸ º º ¹ ¸ ¹ º ¾º ¹ ½½º¿ ¸ º º A¸ B ¸ C ¸ D ¹ ¹ �½½º½ º þ ¹ º ½½º¿ º´ A¸ B¸ C¸ D º A¸ B ¸ C ¸ D C¸ Dº ¸ ºµ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ ¹ ¹ ¸ A¸ B¸ º R ¸ Rº ¹ º ¸ º ½½º º ´ ºµ þ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , |(aij )| = 0¸ (i, j = 1, 2, 3). ¹ ¹ ´½½º½µ �º f :R→R M(x1 ¸ x2 ¸ x3 )R ½µ º x3 )R º ¸ ¸ ¹ M = f (M)¸ f M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º M (x1 ¸ x2 ¸ ¹ ¹ M R ´ R ¸ µº þ ¹ ¹ ´ º¿ µ¸ M ρx1 = λ1 c11 x1 + λ2 c12 x2 + λ3 c13 x3 ¸ ρx2 = λ1 c21 x1 + λ2 c22 x2 + λ3 c23 x3 ¸ ρx3 = λ1 c31 x1 + λ2 c32 x2 + λ3 a33 x3 º λi cij = aij (i, j = 1, 2, 3)º ¹ |(aij )| = |(λi cij )| = λ1 , λ2 , λ3 þ ´½µº λ1 λ2 λ3 |cij | = 0, |(cij )| = 0. ¾µ þ ¹ f ´½½º½µ¸ ¹ ´ ½½º µº ¹ º º º f :R→R ¸ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ¹ �Rº ¸ M¸ (x1 , x2 , x3 )R ¹ º M (x1 , x2 , x3 )R M ∈ M ¸ ¸ º ï ½¾º ½¾º½ R = {A1 , A2 , E} {A1 , A2 , E } R º f R = º ¸ M ∈ (x1 , x2 ) ¹ ¹ (x1 , x2 ) M ∈ ¸ ¹ R¸ º ¸ ¹ f º ½¾º½ º f f −1 ¸ ¹ º �º ½¾º¾ f ¸ ¸ g◦f ¹ º ½¾º¿ g ¹ º ¹ º ½¾º½ ½¾º¿ ½½º½ º C A¸ B ¸ C º ½¾º º ½¾º ¸ ¸ A A¸ B¸ A¸ B º ρx1 = a11 x1 + a12 x2 ¸ ρx2 = a21 x1 + a22 x2 ¸ a11 a22 − a12 a21 = 0º ¸ B¸ C ¹ ¹ Cº ¹ ¹ �½¾º ¸ ½¾º ¸ ¹ ï ½½º ½¾º º ´Ç ¹ ºµ º f = f ( )¸ ¹ ¹ f¸ º º þ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} ¸ A1 ∈ ¸ A2 ∈ ¸ A3 ∈ ¸ E ∈ º A1 = f (A1 )¸ A2 = f (A2 )¸ A3 = f (A3 )¸ E = f (E) = f ( )º ¸ A1 ∈ ¸ A2 ∈ ¸ A3 ∈ ¸ E ∈ º ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E }¸ M(x1 , x2 , x3 )R R = {A1 ¸ M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º E3 = A3 E ∩ A1 A2 ¸ E3 = A3 E ∩ A1 A2 º ¸ E3 = f (E3 )º º ½½ R3 = {A1 , A2 , E3 }¸ R3 = {A1 , A2 , E3 }º R3 R3 º ¼ f �M∈ ¸ M (x1 , x2 , 0)R M M(x1 , x2 , 0)R (x1 , x2 )R3 º ¹ (x1 , x2 )R3 º f ¸ M(x1 , x2 , )R3 ¸ M (x1 , x2 )R3 º ½¾º½ ¹ º ï ½¿º ½º º ¸ º ý ¹ ´ µ ¹ º ¸ ¹ ¹ u1 x1 +u2 x2 +u3 x3 = 0º u1 , u2 , u3 u(u1 , u2, u3 )¸ ¹ ¹ º ½¿º½ r = {a1 , a2 , e} ¹ º ¸ a1 ¸ a2 ¸ e a1 ¸ a2 ¸ e a1 + a2 = eº ½ ¹ ¸ ¹ �½¿º¾ ¹ º m ¹ ¹ ¹ {a1 ¸ a2 }º ¸ ¹ º ¹ º ¹ ¸ ½ º ¾º º Π(L) Lº ½¿º¿ ¹ º Π(L) M∈ ¸ LM ∈ Π(L)º ½¿º½ ¹ º Π(L) º º R E ∈ ¹ þ ¹ A1 ∈ ¸ º A1 ¸ A2 ¸ E3 ¸ ¾ ¸ A2 ∈ E3 = LE ∩ A3 ∈ ¸ R3 ¸ º �R3 Π(L) r3 {LA1 ¸ LA2 ¸ LE}º M ¹ M(m1 , m2 )R3 º M(m1 , m2 , 0)R º M ¹ Π(L) ¹ LM º ¸ ¹ LM Π(L) r3 (m1 , m2 )¸ M º º ½¾ LA1 ¹ x2 = 0 Rº LA1 ¸ ¹ a1 (0, 1, 0)º LA2 x1 = 0 ¹ ¹ ¹ a2 (1, 0, 0)º LE x2 x2 x3 0 0 1 1 1 1 a1 x1 − x2 = 0º LE a2 ¸ ¸ = 0, ¹ ¹ e3 (1, −1, 0) e3 = −a1 + a2 º r3 −a1 ¸ a2 º Π(L) LM LA1 Π(L)¸ LA2 LM r3 º x2 x2 x3 0 0 1 m1 m2 0 ¿ = 0, ¹ �m2 x1 − m1 x2 = 0, m(m2 , −m1 , 0) ¹ LM º m {−a1 , a2 }º m = α(−a1 ) + βa2 , (m2 , −m1 , 0) α(0, −1, 0) + β(1, 0, 0)º m2 = β ¸ m1 = αº ¸ m = m1 (−a1 ) + m2 (a2 )º ¸ LM(m1 , m2 )r3 º ü ¹ º ½¿º (L) ¹ ¸ M =m∩ º m ⊂ Π(L) ¹ º Π(L) ½¿º¾ º ¹ ¸ ½¿º½ º ½¿º M ∈ ¸ ¹ ¹ º L M ∈ M = LM ∩ ¸ º ¹ �½¿º¿ ¹ º º º Lº f ¹ ¸ ϕ : ψ : Π(L) → ϕ º → Π(L) ψ ¹ ¹ ´ ½¿º½¸ ½¿º¾µº R = {A1 , A2 ¸ ¸ E} ¹ ¸ R {A1 ¸ A2 ¸ E } º ½¿ ¹ r = {LA1 , LA2 , LE} Π(L)¸ ¹ M¸ (x1 , x2 ) R¸ ϕ ψ LM (x1 , x2 ) LM(x1 , x2 ) M Rº f = ψ◦ϕ M (x1 , x2 )R ¸ º r¸ ¹ (x1 , x2 ) ¸ M(x1 , x2 )R ¹ ¹ ¹ ¹ �Π(L) m ∈ Π(L) m ∈ Π(L )¸ m∩ ½¿º Π(L ) ¹ ¹ ¸ ¹ º ½¿º L º ¹ ¹ º Π(L) º Π(L ) ¹ ¸ ½¿º¿ º ¹ ¸ º ½¿º Π(L )µ L ´ º ´ ºµ Π(L) ¸ Lµ ´ ¸ ¸ ¸ ¹ Π(L )µ ¹ ¹ ¹ º �º º f : L → º ½¿º¿ ¹ C= ∩ º º f: → ¸ C = ∩ º º½ AA ∩ BB A¸ Lº B B ¹ ¹ A ∈ ¸ B ∈ ¹ A = f (A)¸ B = f (B) º L= g A C º ½¿º¿ º g¸ ¸ ¹ f, A¸ B ¸ C A¸ B¸ C º ¹ ½¾º ¸ f g º f ¸ º ½¿º º ´ ºµ þ º º f : → ¹ ¹ ¹ ¹ �º ¸ ¹ º f ¹ º A¸ B¸ C A¸ B¸ C ¹ A = f (A)¸ B = ¸ f (B)¸ C = f (C)º ¹ 0 = B0 C0 ¸ B0 = AB ∩A B ¸ C0 = AC ∩ A C¸ A0 = AA ∩ 0 º ϕ: → 0 A¸ ψ : 0 → ψ ◦ ϕ = fº ¸ º½ ¹ Aº ¸ ϕ A¸ B ¸ C ¹ A0 ¸ B0 ¸ C0 ψ 0¸ C0 A0 ¸ B0 ¸ A¸ B¸ C 0 º ¹ ψ ◦ ϕ¸ A¸ B ¸ C ¸ f¸ A¸ B¸ C º ¹ ¸ ½¾º º ½¿º½ ¸ º þ ¹ ¹ º ¹ º �¿º ½¿º½ f : M∈ º → ¸ A¸ B ¸ C º M = f (M)º º º = B0 C0 B0 = AB ∩ A B ¸ C0 = AC ∩ A C ¾µ M0 = A M ∩ 0 ¿µ M = AM0 ∩ ¸ M º º M = (ψ ◦ ϕ)(M) = f (M) ½µ ¹ A¸B¸C 0 ½¿º¾ º f : Π(L) → Π(L ) b¸ c º½ Π(L )¸ m = f (m)º ¸ a¸ b¸ c Π(L) m ∈ Π(L)º ¸ º a¸ ¹ �ÿ ¾ þ þ ÿ ´ ï ½ º ½ º½ ´ ¸ C¸ D µ µ º A¸ B ¸ C ¸ D a¸ b¸ c¸ d c = λa + µb¸ d = νa + ρbº (AB, CD) (AB, CD) = A¸ B ü º µ ρ : , λ ν ¹ ¹ A¸ B ¸ ´½ º½µ C¸ D �´ µ º º A(1, 0, −1)¸ B(−2, 1, 3)¸ C(3, −1, −4)¸ D(0, −1, − 1)º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ º AB º x1 − x2 + x3 = 0º C ∈ AB º ¹ (AB, CD)º x1 x2 x3 1 0 −1 −2 1 3 = 0, ¸ C ∈ AB º C 3 − (−1) + (−4) = 0. ¸ D ∈ AB º ü (3, −1, 4) = λ(1, 0, −1) + µ(−2, 1, 3). 3 = λ − 2µ, −1 = µ µ = −1¸ λ = 1º ü ¸ (0, −1, −1) = ν(1, 0, −1) + ρ(−2, 1, 3) ´½ º½µ¸ ¹ ¸ ρ = −1¸ ν = −2º þ (AB, CD) = ¸ −1 −1 : = −2. 1 −2 ½ AB º ¸ �½ º½ ´ µ ¹ ¹ º ´ µº º (AB, CD) º a ½µ b a = αa¸ b = β b c = λa +µb, d = ν a +ρb. (AB, CD) = µ ρ : . λ ν c d a bº c = (λ α)a + (µ β)b, d = (ν α)a + (ρ β)b. c d λ α = λ, µ β = µ, ν α = ν, ρ β = ρº þ a b λ = λ , α µ µ = , β (AB, CD) = ν = ν , α ρ ρ = . β µ ρ µα ρα µ ρ : = : = : . λ ν λβ νβ λ ν ¸ ´ µ ¹ ¹ b A ¹ a B ¾ a bº �d c ¾µ ¹ c = αc¸ d = β d c d = λ a + µ b, = ν a + ρ b. λ µ a+ b, α α ν ρ d= a+ b. β β c= λ = λ, α µ = µ, α ν = ν, β ρ = ρ. β ´½ º½µ (AB, CD) = µ ρ µα ρβ µ ρ : . : = : = λ ν λα νβ λ ν ½ º¾ º ¹ (AB, CD) R = {A, B, C}¸ º º (AB, CD) = d1 ¸ d2 D d1 , d2 ´½ º¾µ ´ µ D ¹ Rº º A¸ B ¸ C ¸ ¹ c = a + bº ¿ ¹ �D(d1 , d2) ⇔ d = d1 a + d2 b. λ = 1¸ µ = 1¸ ν = d 1 ¸ ρ = d 2 º ¸ (AB, CD) = 1 d2 d1 : = . 1 d1 d2 ¸ ¹ (ab, cd) ½ º¾ º ½ º¿ º ´ ºµ ¹ ´ µº f A¸ B ¸ C ¸ D ¸ A¸ B¸ C = f ( )º ´ ¸ ¸ A¸ B B¸ C C D ¸ µº ¹ D ¸ A D ¹ ¸ R¸ R = f (R)¸ (AB, CD) = (A B , C D )º ½ º º º ¸ ¹ ¹ �º ½ º ¹ º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ B(b1 , b2 )¸ C(c1 , c2 )¸ D(d1 , d2 )º a1 c1 (AB, CD) = b1 c1 R = {A1 , A2 , E} A(a1 , a2 )¸ ¹ a2 a1 c2 d1 : b2 b1 c2 d1 a2 d2 b2 d2 º ´½ º¿µ º c = λa + µb¸ d = νa + ρbº (c1 , c2 ) = λ(a1 , a2 ) + µ(b1 , b2 )¸ (d1 , d2 ) = ν(a1 , a2 ) + ρ(b1 , b2 )º c1 = λa1 + µb1 , c2 = λa2 + µb2 d1 = νa1 + ρb1 . d2 = νa2 + ρb2 ¸ λ= c1 b1 c2 b2 ,µ = ∆ a1 c1 a2 c2 ,ν = ∆ d1 b1 d2 b2 ,ρ = ∆ a1 d1 a2 d2 , ∆ �∆= a1 b1 . a2 b2 a1 a2 c1 c2 (AB, CD) = a= (AB, CD) þ c1 c2 b1 b2 : ½ º º a1 a2 d1 d2 d1 d2 b1 b2 = ´½µ a1 c1 b1 c1 a2 c2 b2 c2 : a1 d1 b1 d1 a2 d2 . b2 d2 A¸ B ¸ C ¸ D a1 b1 c1 d1 , b= , c= , d= a2 b2 c2 d2 ¹ R = {A1 , A2 , E}º (AB, CD) = º a1 a2 = a2 c2 c1 c2 a). ü a1 a2 c1 c2 þ c−a d−a : . c−b d−b ´½ º µ ´½ º¿µº 1 a 1 = a2 c2 = a2 c2 (a−c) = −a2 c2 (c− 1 c 1 �b1 b2 = −b2 c2 (c−b), c1 c2 a1 a2 = −a2 d2 (d−a), d1 d2 b1 b2 = d1 d2 −b2 d2 (d − b). ¹ ´½ º¿µº −a2 c2 (c − a) −a2 d2 (d − a) (c − a) (d − a) : = : . −b2 c2 (c − b) −b2 d2 (d − b) (c − b) (d − b) (AB, CD) = º ¹ ¸ ´½ º µ¸ ´½ º µ º 1◦ º ¸ (CD, AB) = (AB, CD). 2◦ º ´ ¸ µ¸ (AB, DC) = ¹ 1 . (AB, CD) 3◦ º ¸ ¹ (BA, DC) = (AB, CD). 4◦ º ¸ ¹ B C A D (AC, BD) = 1 − (AB, CD); (DB, CA) = 1 − (AB, CD). �5◦ º A¸ B ¸ C ¸ D α, ¹ 1 1 1 α , 1 − α, , 1− , . α 1−α α 1−α 4◦ º þ ¹ ´½ º µº (AC, BD) = 1− b−c+c−a d−b+b−c b−a d−a : = · = b−c d−c b−c d−a c−a c−b c−b d−b c−a d−b c−b d−b − = − · − + d−a d−a d−a c−b d−a d−a c−b c−a c−a d−a c−a c−b d−b · = − + − : c−b d−a d−a d−a d−a c−b d−b 1 − (AB, CD)º 5◦ º αº (AB, DC) = ´ (AB, CD) = 1 α 2◦ µ (AC, BD) = 1 − α ´ 4◦ µº 4◦ ¸ (AB, DC) (AD, BC) = 1 − 1 α−1 = , α α (AC, BD) (AC, DB) = 1 1−α �2◦ µº ´ 2 ◦ ¸ ¸ ¹ (AD, BC)¸ ¸ (AD, CB) = 1◦ 3◦ ¸ α . α−1 º 1◦ − 3◦ ¹ º ¹ ´½ º½µ ´½ º µº º ¹ ¹ º º ½ º a, b, c, d L A, B, C, D (AB, CD) = (ab, cd). º º þ ¹ R = A1 = A¸ E ∈ LC º {A1 , A2 , A3 , E} ¸ A2 = B ¸ A3 = L¸ A¸ B ¸ L ¹ A(1, 0, 0)¸ B(0, 1, 0)¸ L(0, 0, 1)¸ ¸ a¸ b ¹ x3 = 0¸ x2 = 0¸ x1 = 0º ¹ a b ¹ ¸ a(0, 1, 0)¸ b(1, 0, 0). º½ �¹ (AB, CD) (ab, cd)¸ c¸ d º C¸ D c = A3 E ¸ º x1 x2 x3 1 1 1 0 0 1 x1 − x2 = 0. C = c∩ ¸ = 0, c(1, −1, 0)º ¸ ¸ x1 − x2 = 0, x3 = 0. C(1, 1, 0)º ¸ D ∈ A1 A2 ¸ d = A3 D D(d1 , d2 , 0)º x1 x2 x3 d1 d2 0 0 0 1 d2 x1 − d1 x2 = 0º = 0, ¸ d(d2 , −d1 , 0)º (AB, CD) ¹ ´½ º½µ¸ (1, 1, 0) = λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0), (d1 , d2, 0) = ν(1, 0, 0) + ρ(0, 1, 0). λ = 1, µ = 1, ν = d1 , ρ = d2 º ¼ �(AB, CD) = µ ρ d1 : = . λ ν d2 (ab, cd) ¹ (1, −1, 0) = λ(0, 1, 0) + µ(1, 0, 0), (d2 , −d1 , 0) = ν(0, 1, 0) + ρ(1, 0, 0). λ = −1¸ µ = 1¸ ν = −d1 ¸ ρ = d2 º (ab, cd) = 1 d2 d1 : = = (AB, CD). −1 −d1 d2 º ¹ ¹ ¸ ´½ º½µ ´½ º µº º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ b¸ c¸ d a¸ ¹ {0, e}º −→ −−→ −→ −−→ OA = ae, OB = be, OC = ce, OD = de¸ e ¹ −→ −→ −→ º AC = OC − OA = ce − ae = −−→ −−→ −−→ (c − a)e, BC = (c − b)e, AD = (d − a)e, BD = (d − b)e. −→ AC c−a −−→ = c − b , BC −−→ AD d−a −−→ = d − b , BD ½ �´½ º µ −→ AC (AB, CD) = −−→ : BC −−→ AD −−→ BD ´½ º µ º º A¸ B ¸ C ¸ ½ º¾ (AB, C) −−→ BC ¸ º −→ AC ¸ º −→ AC (AB, C) = −−→. BC þ (AB, CD) (AB, CD) = ¸ ½ º (AB, C) . (AB, D) ´½ º µ A¸ B ¸ C º ¸ D∞ (AB, C) = (AB, CD∞ ) º ¾ ¸ ¹ ´½ º µ �(AB, CD∞ ) = lim (AB, CD), D−→D∞ −−→ −→ −−→ AD AB + BD lim (AB, D) = lim −−→ = lim = −−→ D−→D∞ D−→D∞ BD D−→D∞ BD −→ AB lim −−→ + 1 = 1, D−→D∞ BD (AB, CD∞ ) = (AB, C) = (AB, C). D−→D∞ (AB, D) lim º ½ º a¸ b¸ c¸ d (ab, cd) (ab, cd) = k3 − k1 k4 − k1 : , k3 − k2 k4 − k2 ´½ º µ k1 , k2 , k3 , k4 a¸ b¸ c¸ dº º ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ O ij º y = k1 x¸ y = k2 x¸ y = k3 x¸ y = k4 x Oj ¸ S(1, 0)¸ a¸ b¸ c¸ d C(1, k3 )¸ D(1, k4 )º º x = 1º ¹ A(1, k1)¸ B(1, k2)¸ Oj ¿ �A(k1 )¸ B(k2 )¸ C(k3 )¸ D(k4 )º ´½ º µ (AB, CD) = ½ º k3 − k1 k4 − k1 : . k3 − k2 k4 − k2 (ab, cd) = (AB, CD)º ´½ º µº ½º (ab, cd) ¹ L ¹ º ¹ ´½ º µ L(x0 , y0 )º ¸ º½ ¸ ¾º a¸ b¸ c¸ d dµ Oy ¸ ´ ¹ º þ (ab, cd) = lim k−→∞ k3 − k1 k − k1 : . k3 − k2 k − k2 a¸ b¸ c¸ d (ab, cd) = sin ∠(c, a) sin ∠(d, a) : . sin ∠(c, b) sin ∠(d, b) ´½ º µ �ï ½ º ÿ ½ º½ º ÿ ¸ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ ¹ ¸ (AB, CD) = ¸ −1º ¹ D A¸ B ¸ C º ÿ ¸ C¸ D A¸ B º ÿ º ½ º½ º ¸ ¸ A¸ B ¸ C Dº º ¹ A B ¸ C ´ ¸ ¹ 1 −1 D = −1 D ¸ (1, −1)º ½ º¾ µ¸ (AB, CD) = ´ ½ º½ µ¸ D º ¸ C¸ D (d1 , d2)º (AB, CD ) ¹ ¹ º ¸ −1¸ D (AB, CD ) = d2 = −d1 ¸ º ¹ A¸ B ¸ d1 d2 º D (d1 , −d1 )º �´ ½º D (1, −1) D ¹ º¾ µ¸ ¸ Dº Dº ´ ½µº º 1º A¸ B ¸ C ¸ D C ¸ D¸ B ¸ A 2◦ º A¸ B ¸ C ¸ D A¸ B ¸ D ¸ C 3◦ º A¸ B ¸ C ¸ D B ¸ A¸ D ¸ C ◦ ¸ º ¸ º ¸ º ¸ ¹ º º �ÿ ï ½ º ½ º½ º XY ZW ¸ ¹ X¸ Y ¸ Z¸ W ¸ º X¸ Y ¸ Z¸ W ¸ XY ¸ YZ XW ¸ XZ ZW ¸ YW º A = XY ∩ ZW ¸ B = XW ∩ Y Z ¸ S = XZ ∩ Y W º AB ¸ AS ¸ BS ¸ ¸ º ½ º½ ºµ þ ´ º ´ ¹ º ½ µ ½µ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ´ D = AB ∩ XZ µ ¸ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ �¾µ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ´ ¸ ¹ X ¸ Z ¸ S ¸ Dµ ¿µ ¹ ¹ ¹ ¸ ´ ¸ SA¸ SB ¸ Y W ¸ XZ µº º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ AB º AD XD Yº A → X¸ B → Z¸ C → S ¸ D → Dº ¹ »¸ (AB, CD) (XZ, SD)º ½ º Y A¸ Y B ¸ º½ Y C ¸ Y Dº (AB, CD) = (XZ, SD). Wº XD AD X → B ¸ Z → A¸ S → C ¸ D → D ¸ (XZ, SD) = (BA, CD). ´½ º½µ ¹ ´½ º¾µ �´½ º½µ ´½ º¾µ (AB, CD) = (BA, CD). ´½ º¿µ 1 . (AB, CD) ´½ º µ (BA, CD) = (AB, CD)2 = 1 (AB, CD) = +1 (AB, CD) = −1º (AB, CD) = +1º (d1 : d2 ) D R = {A, B, C} ½ ´ º ´½ º¾µµ d1 = d2 D(1, 1)¸ º º C¸ ¸ C D ¹ º (AB, CD) = −1º ´½ º¿µ ½ ´½ º µ º (XZ, SD) = −1 (SA, SB, SC, SD) = (AB, CD)¸ (SA, SB, SC, SD) = −1 ¿º ´½ º½µ ¹ ¾º »¸ ½º ´ ½ º¾ º º ¾µº ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ x¸ y ¸ z ¸ w ¸ x∩y z ∩ w¸ y ∩ z x¸ y ¸ z ¸ w w ∩ x¸ x ∩ z y ∩ w ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ �¸ º ¹ ¹ º ¸ º ´ ¹ µ º ´þ µ ¾º º ï ½ º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ½ º½ ´ º µ ¹ M(x1 , x2 , x3 )¸ ✞ ✝ a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0, º ´½ º½µ aij xi xj = 0, i,j ¼ ¹ ☎ ✆ �i¸ j aij aji ¸ º º F (x1 , x2 , x3 ) = ½¸ ¾¸ ¿ º þ (aij ) a i,j ij xi xj ¹ º º M (x1 , x2 , x3 ) (x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸ ¸ ¹ ¸ ¹ aij ´½ º½µº º ¸ ¹ ¸ ¸ º ¸ ¹ ¹ º ½ º½ º ´ ºµ º 1)X1 2 + X2 2 + X3 2 = 0; 2)X1 2 + X2 2 − X3 2 = 0; 3)X1 2 + X2 2 = 0; 4)X1 2 − X2 2 = 0; 5)X1 2 = 0. ¸ ¸ ½ ¹ ¹ ¹ ¹ �½µ ¾µ ¿µ µ µ º ½¸ ¾ ¿¸ ¸ º º ¸ ¹ ¹ º ¹ ½ F (x1 ¸ x2 ¸ x3 )º X1 ¸ X2 ¸ X3 ¸ x1 , x2 , x3 ¹ ¸ ¸ x1 = c11 X1 + c12 X2 + c13 X3 ¸ x2 = c21 X1 + c22 X2 + c23 X3 ¸ x3 = c31 X1 + c32 X2 + c33 X3 ¸ |(cij )| = 0. ¸ ¹ (x1 , x2 , x3 ) (X1 , X2 , X3 )º ¹ ¸ ½ ´½ º½µ º ¹ ¸ º º ¸ ½µ ¾ �¸ ¹ ¾µ ¸ ¸ ï ½ º ¹ ¹ º þ ¹ γ¸ aij xi xj = 0, i, j = 1, 2, 3 ( ) ´½ º½µ i,j ¸ A(a1 ¸ a2 ¸ a3 )¸ B(b1 ¸ b2 ¸ b3 )º x1 = αa1 + βb1 , x2 = αa2 + βb2 , x3 = αa3 + βb3 , (x1 , x2 , x3 ) ´½ º¾µ M ∈ xi = αai + βbi . γ ¸ ´½ º¿µº ´½ º¿µ ´½ º½µº aij (αai + βbi )(αaj + βbj ) = 0. i,j ¿ ¹ ´½ º¿µ þ ´½ º½µ º ´½ º¾µ �α2 aij ai aj +αβ i,j i,j i,j aij bi aj º i aij bi aj +β 2 aij ai bj + aij bi bj = 0. i,j þ j aij bi aj = i,j aji bj ai = i,j aji ai bj . i,j (aij ) (aij = aji )¸ aji ai bj = i,j aij ai bj . i,j ¸ aij ai bj = i,j α2 aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ i,j aij bi aj , i,j aij bi bj = 0. ´½ º µ i,j i,j þ P = aij ai aj , Q = i,j aij ai bj , R = i,j aij bi bj . ´½ º µ i,j ´½ º µ P α2 + 2Qαβ + Rβ 2 = 0. ´½ º µ �α¸ β β 2º ´½ º µ α β P 2 + 2Q β= º 0º α + R = 0. β ´½ º µ ¹ α º β ¸ ¹ γ ¸ ¸ ´½ º µº þ ½µP ¹ = 0º ´½ º µ ¸ µ µ µ α β α β α β ¹ α β 2 1 α = β 2 1 α , 1 β 2 , þ º γ µ µ γ γº µ ¾µ P = 0º ´½ º µ 2 α Q + R = 0. β P =0 P = aij ai aj = 0 ´½ º½µ ´½ º µ aij ai aj γ¸ ´½ º µ ´½ º µ¸ A A ∈ γº ¹ ¸ �α R =− º β 2Q µ Q = 0¸ µ Q = 0¸ R = 0 ¹ γº ¸ ´½ º µ ¹ ⊂ γº º þ µ Q = 0¸ R = 0¸ ´½ º µ þ º A¸ ¸ γº ï ½ º ½ º½ º A AM M A º ½ º½ ¹ º γ i,j aij xi xj = 0, γ i,j º aij ai xj = 0. ´½ º½µ A(a1 , a2 , a3 ) ´½ º¾µ ¸ ¹ �A, B(b1 ¸ b2 ¸ b3 µ º ¹ x1 = αa1 + βb1 ¸ x2 = αa2 + βb2 ¸ x3 = αa3 + βb3 ¸ xi = αai + βbi . ´½ º¿µ ¹ γº ¹ ´½ º¿µ ¹ ´½ º½µº aij (αai + βbi )(αaj + βbj ) = 0. º ¾¼ i,j º α2 aij ai aj +αβ( aij bi aj )+β 2 aij ai bj + i,j i,j i,j aij bi aj þ i aij bi aj = i,j aji ai bj = aji bj ai = i,j aji ai bj . (aij = aji )¸ ¸ aij ai bj = aij bi aj . i,j aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ i,j j¸ i,j (aij ) aij ai bj º i,j α2 aij bi bj = 0. i,j i,j aij bi bj = 0. ´½ i,j º µ �A ∈ γ¸ β(2α aij ai aj = 0º aij ai bj + β i,j β 2 α ¹ aij bi bj ) = 0. i,j aij ai bj + i,j β α aij bi bj = 0. ´½ º µ i,j γº ¸ ( αβ )1 =0 ´½ º µº ¹ ´½ º¿µº ¹ γ x1 = αa1 , x2 = x1 : x2 : x3 = a1 : a2 : a3 ¸ Aº ¹ αa2 , x3 = αa3 º γ¸ ´½ º µ ¼ 2 β α 2 =− aij ai bj i,j aij bi bj = 0. i,j aij ai bj = 0º i,j aij ai xj = i,j aij ai (αaj +βbj ) = α i,j ¼º aij ai aj +β i,j aij ai bj i,j M aij ai xj = 0º ¸ ¸ º x21 + ½ º½ º 2 x2 − 4x1 x2 + 6x2 x3 = 0 (1, −1, 1). ¹ ¹ �º ¹ A(a1 , a2 , a3 ) a1 x1 + a2 x2 − 2a1 x2 − 2a2 x1 + 3a2 x3 + 3a3 x2 = 0º º ¹ x1 − x2 − 2x2 + 2x1 − 3x3 + 3x2 = 0 ¸ x1 − x3 = 0º ¸ ½ º¾ º ¹ A ¸ ¸ ¸ ¹ º ï ¾¼º º ½º ¹ ¾¼º½ º ¹ B A B γ¸ A ¹ M1 ¸ M2 γ Aº ¸ A Bº ¸ 1º ◦ º ¹ º �¾¼º½ º γ aij xi xj = 0 ´¾¼º½µ i,j A3 ¸ E} R = {A1 ¸ A2 ¸ A(a1 ¸ a2 ¸ a3 ) ¸ ¹ γº A(a1 , a2 , a3 ) γ ✞ ✝ ¸ i,j aij ai bj = 0. B(b1 , b2 , b3 ) ¹ ☎ ✆ ´¾¼º¾µ º AB xi = αai + βbi . ´¾¼º¿µ AB γ¸ ´¾¼º¿µ α2 i,j i,j β α β ´¾¼º½µº aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ 2 A ∈ γ¸ 2 aij ai aj + 2 i,j α1 β1 aij bi bj = 0. i,j β = 0º α β ¹ ¹ aij ai bj + i,j aij bi bj = 0. ´¾¼º µ i,j ´¾¼º µ α2 ¸ β2 ¼ ¹ M1 �M2 AB γº ¹ M1 ¸ M2 α1 ai + β1 bi α2 ai + β2 bi º M1 ¸ M2 ¸ A¸ B ¹ ´ (M1 M2 , AB) = −1º þ (M1 M2 , AB) = (AB, M1 M2 ), µ¸ ¸ ¹ ¸ β1 β2 : = −1. α1 α2 β1 α2 = −1. β2 α1 β1 α2 +α1 β2 = 0 ¸ ¸ β1 β2 ¸ α1 α2 + = 0, β1 β2 º º ´¾¼º µ ¼º þ Q= aij ai bj = 0. i,j A þ B ´¾¼º¾µ¸ ¹ ¹ γº 2 ◦ º º B γ¸ B ½ A γº A ¹ ¹ �B º ¹ Aº aij ai bj = 0. i,j (aij ) (aij = aji )¸ aij ai bj = i,j aji ai bj . ´¾¼º µ i,j i j¸ aji ai bj = i,j aij aj bi i,j aji ai bj = i,j aij bi aj . ´¾¼º µ i,j ´¾¼º¾µ¸ ´¾¼º µ ´¾¼º µ aij bi aj = 0, i,j ¸ ¸ A B γº 3◦ º º º A¸ A ∈ γ¸ ¹ γº aij ai aj = 0. i,j ¹ ´¾¼º¾µ bj = aj ¸ º º ¾ A �Bº 4 ◦ A ¸ º ¸ ¸ º º B A A ∈ γº C γ¸ A A BC ¹ ¹ γº B¸ C A (bi )¸ (ci )¸ (ai ) BC º xi = αbi + βci º º aij ai xj = i,j aij ai (αbj + βcj ) = i,j α aij ai bj + β i,j B aij ai cj . i,j C A¸ aij ai bj = 0 aij ai cj = 0 i,j i,j aij ai xj = 0, i,j º º M Aº º º ¾º ¿ ¹ M(xi ) �¾¼º¾ γ º ¹ Aº M¸ γ¸ A A ¹ aij xi xj = 0 ¹ ¹ γº ¾¼º¾ º γ i,j (a1 , a2 , a3 )¸ A A i,j aij ai xj = 0. ´¾¼º µ º γº A ¹ M(x1 , x2 , x3 ) ∈ ¸ M Aº A M ´¾¼º µ i,j aij ai xj = 0. M ¹ ¸ ´¾¼º µ º ¸ ¹ ´¾¼º µ x1 , x2 , x3 º ¸ º ¾¼º½ º γ¸ γ ¸ ¹ A Aº γ �A∈γ ´¾¼º µº ¹ Aº ´Á ºµ γ A¸ A ∈ γ º γº ¸ A º ´ ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ ½ º º ¾½µ m A {M1 , M2 } = m ∩ γ ¸ B : (M1 M2 , AB) = −1¸ p A {P1 , P2 } = p ∩ γ ¸ C : (P1 P2 , AC) = −1¸ BC = ¹ º º Aº BC BC ´ ¸ º ¾½ B C ¹ ¹ A Aº º ½ ºµ ¾¼º¿ bº ¸ A ¸ º´ A ∈ b¸ º ºµ a¸ ¹ γ B B ∈ aº aij xi xj = 0 ¹ γ A¸ B A(ai )¸ B(bi )º a a x = 0 a b x = 0 ¸ i,j ij i j i,j ij i j a bº A ∈ b¸ ø b i,j aij bi aj = 0. þ i,j �(aij ) aij bi aj = aij ai bj i,j ´ º ï ½ º i,j ï ½ ºµº ¸ aij ai bj = 0, i,j B ¾¼º AT1 T1 T2 ¸ º γ¸ AT2 A¸ γ¸ T1 A º ¹ T2 ¸ γº ¹ ¸ AT1 γ T1 ´ A ∈ AT1 T1 A´ T1 ∈ a¸ a a = T1 T2 º A γ a T1 T2 ¸ º ´ ¹ ¸ γº ¹ ¾¼º ºµ γ AT1 ¹ ¹ T2 ∈ aº ¸ ¾¼º ¹ ½µº ¸ µº ü º ¾¾ ¸ aº AT2 ¹ �º t1 T1 ¸ t2 º º ¾¼º¿ A ∈ t1 ¸ AT1 = t1 ¸ AT2 = t2 ´ÁÁ γ a º ½µ ¾µ º µº ¸ A º Aº º AT1 ¸ AT2 T1 T2 = a γ¸ ´ ¸ Y Z¸ Wº XY ZW ¸ γ T1 ∈ a¸ A ∈ t2 ¸ T2 º º ¾¼º ¹ A∈γ A ¾¼º µº γ º XW X¸ Z¸ Y ¸ γ BC ¹ B = XZ ∩ Y W ¸ C = XY ∩ ZW ¸ A γº º Q = Y Z ∩BC ´ P = XW ∩ BC ¸ º ¾¿µº XY ZW XW A ¹ ¹ ¸ ¸ P ¹ ¹ XW º ¾¿ BC ¸ 2◦ º X, W, A, P º P ¹ A ¹ �γ ¸ ¸ Aº ü a = P Q = BC º ´III γ ¸ P ∈ a¸ a Q ∈ aº µº A ∈ γº ¸ A º ½µ ¾µ ¿µ ´ º ¸ ´ º ¾¿µ XW ¸ Y Z A B = XZ ∩ Y W ¸ C = XY ∩ W Z ¸ BC = a ´ ¾¼º ºµ º ¸ ¾ ºµ ´IV ´ µº º ¿ ºµ γ ¹ ¸ A º ½µ ¾µ ¿µ γº º A ∈ γº ´ γº º ¾ µ XW ¸ Y Z ¸ ST B = XZ ∩ Y W ¸ C = Y T ∩ SZ BC = a º A º XY ZW º ¾¼º B∈a ü Aº ¹ C º¾ Aº ¸ BC = a¸ Y ST Z a º º BC ¹ Aº º A ∈ γ¸ A ¸ A º γ¸ ¹ �II µº ´ ¿º ¾¼º¿ º a A γº A aº ¾¼º½ ¸ º ºµ ´ γ a ¹ º A aº º ´ º º¾ º ¾ µ ½µ ¾µ ¿µ µ B ∈ a¸ C ∈ a b c A= b∩c B∈a ¸ aº ¸ c A= b∩c ¸ B¸ C¸ º º b ¸ aº C aº ü ¹ �¾¼º º ¸ ¹ ¹ ´ µº ¸ ¹ ¹ º 1º 2◦ º ◦ ´ µº ¹ º 3 ◦ º γ aij xi xj = 0 ¹ i,j u1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , u2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , u1 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) ¸ º ï ¾½º ½º ÿ ½¼¼ (u1 ¸ u2 ¸ u3 ) ¹ �¾½º½ º ´ ºµ Π(L) ¹ Π(L )¸ ¸ ¹ º ¸ ¹ L¸ L º ´ ¸ º µº Π(L) ½º Π(L ) ¸ ¹ LL ¸ º ¾½º¾ º º ´Ç ºµ L¸ L ¸ (L )¸ º ¹ γ M ∈ γ¸ ¹ (L) LM L M¸ º º ¾º º ½¼½ ¹ �¾½º½ º ¹ º ¾º ¾½º¾ º Ai ¸ i = 1¸ 2¸ 3¸ 4¸ 5¸ 6¸ ¸ ¹ A1 A2 ¸ A2 A3 ¸ ¸ A3 A4 ¸ A4 A5 ¸ A5 A6 ¸ A6 A1 ¸ µº ¾½º¿ ¸ ´ ¹ º ¹ ¸ º ¾½º¿ º ´ ´ A1 A2 A3 A4 A5 A6 P R γ¸ = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ = A3 A4 ∩ A6 A1 Q ¹ µ ¹ A2 A3 ∩ A5 A6 ¸ ¹ º º = ºµ þ ¹ ½¼¾ �¸ ¹ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¹ A4 º A1 (1, 0, 0)¸ A2 (0, 1, 0)¸ A3 (0¸0, 1)¸ A4 (1, 1, 1) A5 (a, b, c)¸ A6 (a , b , c )º γ º¾ a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0. ´¾½º½µ A1 ∈ γ a22 = 0¸ a33 = 0º a11 = 0º ü ´¾½º½µ a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3 = 0, A4 ∈ γ ¸ A5 ∈ γ ¸ A6 ∈ γ ¸   a12 + a13 + a23 = 0, a12 ab + a13 ac + a23 bc = 0,   a12 a b + a13 a c + a23 b c = 0. ´¾½º¾µ a12 ¸ a13 ¸ a23 ¸ ´¾½º¾µ¸ ¹ º ¸ 1 ∆ = ab ab þ 1 ac ac 1 bc = 0. bc ´¾½º¿µ ¸ aa (bc − cb ) − bb (ac − ca ) + cc (ab − ba ) = 0, ½¼¿ ´¾½º µ �A5 ¸ A6 º P ¸ R¸ Q º ¸ ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 º x3 = 0¸ x1 = 0¸ x1 x2 x3 1 1 1 = 0¸ A3 A4 x1 − x2 = 0¸ 0 0 1 x1 x2 x3 1 1 1 = 0¸ A4 A5 a b c (c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0, x1 x2 x3 a b c = 0¸ A5 A6 a b c (bc − cb )x1 − (ac − ca )x2 + (ab − ba )x3 = 0¸ x1 x2 x3 A6 A1 cx2 − b x3 = 0. a b c = 0¸ 1 0 0 P = A1 A2 ∩A4 A5 º A1 A2 A2 A3 ¸ A1 A2 A4 A5 x3 = 0, (c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0. ¸ ü P (c − a, c − b, 0)º A2 A3 ∩A5 A6 x1 = 0, (bc − cb )x1 − (ac − ca )x2 + (ab − ba )x3 = 0 ½¼ Q = �Q(0, ab −ba , ac −ca )º R = A3 A4 ∩ A6 A1 º ¸ ¸ º x1 − x2 = 0, c x2 − b x3 = 0. ¸ ¸ x2 = b ¸ x3 = c º P ¸ Q¸ R þ R(b , b , c )º º ¸ ¹ P ¸ Q¸ R ∆ = c−a c−b 0 ab − ba b b 0 ac − ca c = = (c−a)(ab −ba )c +(c−b)(ac −ca )b −(c−a)(ac −ca )b = (ab −ba )(cc −ac )+(ac −ca )(cb −bb )−(ac −ca )(cb −ab ) = (ab − ba )cc − ac (ab − ba ) + (ac − ca )(ab − bb ) = (ab −ba )cc −ac ab +ac ba +ac ab −ca ab −(ac −ca )bb = (ab − ba )cc − (ac − ca )bb + (bc − cb )aa . ´¾½º µ ¸ ¸ P ¸ Q¸ R ºµ ¾½º ∆ = 0º þ º º ´ ¹ P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩ A5 A6 ¸ R = A3 A4 ∩ A6 A1 ¹ ¸ º A1 A2 A3 A4 A5 A6 ½¼ ¹ �º ¸ ∆ =0 ¸ P ¸ Q¸ R ´ ∆=0´ µ¸ ¹ γ µº ´ µ ¹ ´ µ¸ ´ µ ´ ¹ µ¸ ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ º µ ´ º ½¼ ´ ¹ µ¸ ¹ ¹ �¾½º º ´ ¹ ºµ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ º º A1 A2 A3 A4 A5 ¸ γº A5 = A6 A1 A2 A3 A4 A5 A6 º P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩ A5 A6 = A2 A3 ∩ p ´p γ A5 µ¸ R = A3 A4 ∩ A6 A1 = A3 A4 ∩ A5 A1 º º ¾½º º ´ º¾ ¹ ºµ ¸ ¹ ¹ ¹ º º ¹ A1 A2 A3 A4 ¸ γº ½¼ �µ A1 = A5 ¸ A3 = A6 A1 A5 A2 A3 A6 A4 º º P = a1 ∩ a3 ¸ ´a1 A3 µ¸ ¹ ¸ A1 ¸ a3 ¹ Q = A1 A2 ∩ A3 A4 ¸ R = A2 A3 ∩ A4 A1 º µ A2 = A5 ¸ A4 = A6 A1 A2 A5 A3 A4 A6 º ¸ a2 ∩ a4 ¹ S = ¸ ´a2 A2 ¸ a4 A4 µ º º¾ º º¾ ¾½º º ´ ºµ ¸ ¹ ¹ º º º º γ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ A4 ¸ A5 º ¹ ½¼ �γ ´ º ¿¼µº º ½µ ¾µ ¿µ µ º P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ P ¸ A2 A3 ∩ = Q¸ A3 A4 ∩ = R¸ A6 = QA5 ∩ RA1 º º ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 º º ¿¼ ¹ P¸ Q R º A6 ¸ ¸ º γº º ý ¿º ¾½º º ¹ ¸ º ¾½º º ¸ ¹ º ¾½º º ´ ¸ ºµ ý ¸ ý ¸ a1 a2 a3 a4 a5 a6 º γº ½¼ º ¹ ¹ ¹ ¹ f �A1 A2 a1 a2 A3 q p a3 r A6 L a6 A5 f ´ai µ Ai (i 3¸ 4¸ 5¸ 6) 2¸ A4 ¸ a4 a5 γº ¹ = 1¸ ¹ º º ¿½ ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩A5 A6 ¸ R = A3 A4 ∩A6 A1 ¹ º º ¸ P ¸ Q¸ R ¹ p¸ q ¸ r ¸ ´ µ a1 ∩ a2 ¹ a4 ∩ a5 ¸ a2 ∩ a3 a5 ∩ a6 ¸ a3 ∩ a4 L a6 ∩ a1 ¸ º ´ ý µ º ´ µ ý ¸ ¹ a1 ¹ ¹ ¸ a5 ¸ p r ¹ ¹ a4 L ¹ ¸ § ¸ ¸ ý ↔ ½½¼ q a3 ¹ ¸ a2 º ¿¾ ↔ ¹ ↔ º �¾½º º ´ ý ºµ ¸ ¸ ¸ º ´ ¹ A4 ¸ ´ A1 L A3 a3 a2 A2 q r º ¿¾µº a1 p s ¹ ¹ ¸ ý a4 ¹ ý ºµ ¸ a1 ¸ ¸ º ¾½º½¼ ¹ A3 q A1 p L r a2 a3 A2 º ¿¿º º ¿ º ½½½ ¹ ¹ ¸ �¾½º½½ º ´ ý ºµ ¸ ¸ ¹ ¸ ý ´ º ¿¿µº ý º ÿ ï ¾¾º ¹ ½º ¾¾º½ ¹ º ¹ ¸ º ¾¾º½ ¹ ¹ ¹ º º ºþ ¹ ¸ ¹ f g ¹ ¸ ¸ g◦f ½½¾ ¹ �¸ ¹ º þ ¹ ¹ f ¸ ¹ ¸ ¹ f −1 ¹ ¹ ¸ ¸ f¸ ¹ º º þ ¹ º f ¹ ¹ ¹ ¸ A1 E A2 ºþ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} ¸ ¸ f º A3 ¹ ¸ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , ∆ = |(aij )| = 0, i, j = 1, 2, 3º A1 (1, 0, 0)º ¸ A2 (0, 1, 0) ¸ ´¾¾º½µ A1 A1 (x1 , x2 , 0)º A1 A1 a31 = 0º ü A2 (x1 , x2 , 0)¸ ¹ ´¾¾º½µº ¸ a32 = 0º ´¾¾º½µ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 , ½½¿ ´¾¾º¾µ �∆ = a33 (a11 a22 − a12 a21 ) = 0º þ º f ¹ ´¾¾º¾µ¸ ¹ ¹ ¸ = A1 A2 º ¸ º ¾¾º¾ ¸ ¹ ´¾¾º¾µ º ÿ ¹ º º þ x= ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ´¾¾º¾µ x1 x x2 x , y = , x = 1, y = 2. x3 x3 x3 x3 ρx1 a11 x1 a12 x2 a13 = + + , ρx3 a33 x3 a33 x3 a33 a21 x1 a22 x2 a23 ρx2 = + + ρx3 a33 x3 a33 x3 a33 a1 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 , b1 = , c1 = , a2 = , b2 = , c2 = . a33 a33 a33 a33 a33 a33 ´¾¾º¾µ x = a1 x + b1 y + c1 , y = a2 x + b2 y + c2 , ½½ ´¾¾º¿µ �∆ = a1 b2 − a2 b1 = 0º ´¾¾º¿µ¸ ¸ x¸ y º ¸ ¹ ¹ ¹ º ¹ º ¾º P2 º ¾¾º¾ P2 ¸ ºü P2 \ A2 ¸ º º º º ¸ ¹ A2 P2 ´ µ¸ ü º A2 P2 ¸ ¹ ¹ º ¹ º ¾¾º¿ º a¸ b A2 P2 ¸ a∩b º º ¸ ½½ �¸ º ¾¾º¿ º ü a¸ a¸ bº b f ¹ A2 a||b¸ a = f (a)¸ b = f (b)º P2 a¸ b ¹ º f (C ) = C º º a||b¸ C ¸ C b a º C ∈ P2 A2 ¸ ´ ¹ µº P2 ¹ A¸ B a ¸ a ¾¾º ¸ º º AB A2 AB = a¸ a P2 º A2 A¸ B a ¹ ¸ º ½½ �º (AB, C) A¸ B ¸ C (AB, CD )¸ (AB, C) = (AB, CD )º ¾¾º ¾¾º º a D = a∩ ¸ º ¹ C AB ¸ ¹ A¸ B ¸ D ¾¾º ºµ ü º º D =a∩ ¸ ¸ a = AB º ´ ¹ ¹ A2 f º A¸ B ¸ C A2 aº ü A¸ B ¸ C f (a)º a P2 D D P2 ¸ º º ¹ ¹ ¸ f A¸ B¸ C a D a ∩ fº ¹ (AB, CD ) = (A B , C D )º (AB, C) = (A B , C )º ½½ ¹ a = ¹ ¹ A2 ¹ �¾¾º º ¹ P2 ¹ A2 ¹ ¸ ¿ ´ º º ¿ µº µ ¹ ¸ ´ ¹ º ¿ µ ¸ µ ´ µ µ º ¿ º þ ¹ A2 º º ü ½º ½º ¾º ¾º ¿º º º ¿º º ½½ ÿ ¹ �º º º º º ¾¾º º ¹ A2 º ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º ¾¾º º A2 ¹ ¸ ¸ ¹ º ´¾¾º µ ¾¼º¿ ¸ ¹ ¸ º ¾¾º½¼ º ü ¹ º ¸ ´ ¾¼º¿ µº ½½ �ï ¾¿º ¹ ¸ ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ½º ü º ÿ P2 A1 ∈ ¸ ¸ A2 ∈ x21 + x22 − x23 = 0º ¹ ¾¿º½ ¸ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} A3 ∈ / ¸ E ∈ / º ¹ x3 = 0º γ¸ γ I (i, 1, 0)¸ J (−i, 1, 0)º º ¸ I¸ J¸ ¹ ¸ ¸ I¸ J ¾¿º¾ ¹ ¹ º º ¹ P2 ¸ ¹ ¹ ¸ º ¸ ¹ 1◦ . ¹ ½¾¼ �¹ º 2◦ . ¹ ¸ º 3. ◦ ½µ I ¸ I J J I ¸ J J Iº þ º 1◦ ∆ = a33 (a11 a22 − a12 a21 ) = 0º ½º I ü ¹ ¹ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 , I ¹ ¾µ J ´¾¿º½µ f º ¹ I = I ´¾¿º½µº ρi = a11 i + a12 , ρ = a21 i + a22 . J J =J −ρi = −a11 i + a12 , ρ = −a21 i + a22 . a11 = a22 , a12 = −a21 . ´¾¿º¾µ ρx1 = a11 x1 − a21 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a11 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 . ½¾½ ´¾¿º¾µ ´¾¿º½µ ´¾¿º¿µ �x= a= x x1 x2 x , y = , x = 1, y = 2 x3 x3 x3 x3 a11 a21 a13 a23 , b= , x0 = , y0 = . a33 a33 a33 a33 ´¾¿º¿µ x y = ax − by + x0 , = bx + ay + y0 , ´¾¿º µ ∆ = a2 + b2 > 0º þ cos ϕ = √ a a2 + b2 , sin ϕ = √ b a2 + b2 . x = k(x cos ϕ − y sin ϕ) + x0 , y = k(x sin ϕ + y cos ϕ) + y0 , k= √ a2 + b2 º º ¾º ü ¸ ¸ I J I¸ x = k(x cos ϕ + y sin ϕ) + x0 , y = k(x sin ϕ − y cos ϕ) + y0 , ½¾¾ J �k= a2 + b2 º ¹ º ✬ ✫ √ ✩ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ✪ º ¾º ¾¿º¿ º a b ¹ ¸ A = a∩ ¸ B = b∩ I¸ J¸ ¾¿º ¹ º º (II J , AB) = −1º º ¸ ¹ I¸ Jº ¸ ¹ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 . O(x0 , y0 ) r ¸ º ½¾¿ ¹ �¾¿º A º |AB| B A ¸ ¹ Bº ¸ A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 )¸ |AB| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . þ ¹ ´ µ ¾¿º º ¸ ¹ ¹ º k = 1 ¸ x = x cos ϕ − εy sin ϕ + x0 , y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0 , ε = +1 −1º ´ µ ½¾ �º ü ü ½¾ �½º þ ü þ ½º ¹ ¸ ½º a A ¹ º ¾º º ¿º þ º º þ ¸ º º ¸ ´ a¸ b º ¹ µº ¸ ¸ A ¹ ¸ ¹ ¸ A º a¸ bº ¸ º ½¾ �º ¸ ¹ º º ¸ ¹ º ½¼º A α β¸ α βº ½½º ½¾º ¸ ¹ aº a þ ¸ ¹ aº ½¿º ½ º ½ º º º º ¾º ¸ ½ ½ a α¸ α ºþ β º A º º ½ ½ º º A º B a a ¾¼º αº A¸ B ¸ C¸ º ½¾ �¾½º α¸ β γ¸ ¸ º ¾¾º a b A ¸ ¹ ¸ a bº ¾¿º ¹ º ¾ º þ ¸ ¸ º ¾ ¾ º þ º º ¸ ¾ º º ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ ¹ º ¾ ¾ º º º ¿º ¿¼º R = {A1 ¸A2 ¸ E}º A(2, 3)¸ B(−2, 3)¸ C(1, −1)¸ D(1, 4)¸ F (5, −3)¸ K(−4, 1)¸ L(−3, 1)¸ M(2, 5)¸ P (3, −2)¸ H(−1, 3)¸ T (2, −1)º ¿½º R = {A1 ¸A2 ¸ E}º A(1, 2)¸ B(−3, 2)¸ C(−1, 1)¸ D(2, 1)¸ ½¾ �F (2, −1)¸ K(2, −3)¸ L(5, −3)¸ M(1, 4)¸ N(3, −1)¸ P (5, 2)¸ T (3, −4)¸ µ A1 (1, 0)¸ µ A2 (0, 1)º ¿¾º ¹ þ A1 (1, 0) A2 (0, 1) E ¹ ¸ A(1, 2)¸ B(−3, 2)¸ C(−1, 1)¸ D(1, 4)¸ F (3, −4)¸ G(4, −1)¸ K(−2, 3)¸ L(−5, 2)¸ M(5, 1)¸ H(−1, 3)¸ S(4, 3)¸ T (2, 1)º ¿¿º R = {A1 ¸ A2 ¸ E} {O, a}º ¸ µ A1 ¸ A2 = O a= −−→ OE µ A2 ¸ A1 = O a= −−→ OE µ E ¸ A1 = O a= −−→ OA2 ¸ M(x1 , x2 )¸ x1 ¸ x2 º ¿ º E(1, 1) º ¹ A1 A2 ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¿ º R = {A1 , A2 , E}¸ E º ¹ M¸ A1 A2 λº ¿ º R = {A1 , A2 , E}¸ E A1 A2 º ¿ µ µ º º (2, 1)¸ (3, 4)¸ A1 ¸ A2 º E R = {A1 , A2 , E}¸ P∞ µ (−2, 1)¸ µ (1, 3)¸ µ(−1, 3)¸ µ (1, 4)¸ µ (−3, 2)¸ µ (2, 5)º ½¾ ¹ ¸ µ (−1, 2)¸ µ (3, 2)¸ �¿ A2 ¸ E º R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¹ A1 ¸ P∞ ¸ ¸ ¹ ¿ º ¿ A1 ¸ E º R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¹ A2 ¸ P∞ ¸ ¸ ¹ ¿ º ¼º E}º C(3, 1) A(1, 2) R = {A1 , A2 , B(−2, 1) ¸ R = {A, B, C}¸ ¹ M º ½º A2 , E} R = {A1 , A2 , E }¸ 1) A1 = A2 , 2) A1 = E, 3) A1 = A1 , 4) A1 (2, −1), 5) A1 (−1, 1), 6) A1 (2, 1), 7) A1 (4, −1), 8) A1 (3, 4), 9) A1 (1, −2), 10) A1 (5, −3), 11)A1 (1, 5), A2 = A1 , A2 = A1 , A2 = E, A2 (−1, 1), A2 (2, 3), A2 (−3, 1), A2 (2, −1), A2 (2, 5), A2 (3, 1), A2 (3, −4), A2 (5, 3), E = E; A1 = A2 ; E = A2 ; E (1, 0); E (1, −2); E (−1, 2); E (−3, 1); E (4, 3); E (3, 8); E (−1, 5); E (1, 3). ½¿¼ R = {A1 , �º ¾º A3 , E}º A2 E ∩ A1 A3 ¸ E3 = A3 E ∩ A1 A2 º R = {A1 , A2 , E1 = A1 E ∩ A2 A3 ¸ E2 = ¿º R = {A1 , A2 , A3 , E} P (1, 2, −1)º P1 = A1 P ∩ A2 A3 ¸ P2 = A2 P ∩ A1 A3 ¸ P3 = A3 P ∩ A1 A2 º º R = {A1 , A2 , A3 , E} M(x1 , x2 , x3 )º ¹ M1 = A1 M ∩ A2 A3 ¸ M2 = A2 M ∩ A1 A3 ¸ M3 = A3 M ∩ A1 A2 º º R = {A1 , A2 , A3 , E}º A(1, 2, 0)¸ B(−3, 0, 1)¸ C(0, 1, −1)¸ D(−1, 3, 0)¸ H(2, 0, 3)¸ K(0, −1, 2) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E}¸ E º ¹ A(0¸−2¸−1)¸ B(1, 2, 0)¸ C(−1, 0, 3)¸ D(2, 1, 0)¸ H(0, 3, 4)¸ K(0, 3, −1) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E}¸ A1 A2 º ¹ A(0, 2, 1)¸ B(3, 0, −2)¸ C(2, 0, −1)¸ D(0, −1, 2) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E} A1 A2 º ¸ ¹ x1 = x, x3 x2 = y, x3 x, y ½¿½ �−−−→ −−−→ {A3 , A3 E2 , A3 E1 }¸ E1 = A1 E ∩ A2 A3 ¸ E2 = A2 E ∩ A1 A3 º R = {A1 , A2 , º A3 , E}¸ A1 A2 º ¹ R A(1, 4, −1)¸ B(2, 1, 3)¸ C(3, 5, 1)¸ D(−2, 3, 1)¸ H(4, 3, 1)¸ K(−5, 2, 3)º R = {A1 , A2 , ¼º A3 , E}º ½µ (1, 2, −1)¸ ¾µ (2, 3, 1)¸ ¿µ (−2, 3, 1)¸ µ (2, 1, 3)¸ µ (3, 2, 1)¸ µ (−3, 2, 1)¸ µ (4, −2, 1)¸ µ (−1, 2, 3)¸ µ (−1, 3, −3)¸ ½¼µ (2, 5, −5)º R = {A1 , A2 , ½º A3 , E}¸ A1 ¸ E º ¸ ¼º ¾º A3 , E}¸ R = {A1 , A2 , A2 ¸ E ¸ º ¼º ¿º A3 , E}¸ R = {A1 , A2 , A3 ¸ E ¸ º ¼º º E A1 A2 A3 A3 , E}¸ ¸ ¼ R = {A1 , A2 , µ µ ¹ º R = {A1 , A2 , A3 , E} A¸ B ¸C ¸ D 0)¸ (0, 0, 1)¸ (1, 1, 2) º A¸ B ¸ C ¸ D ½µ ¸ ºþ ¹ (1, 0, −1)¸ (2, 1, º ¾µ R C, D}º ½¿¾ R = {A, B, �º R = {A1 , A2 , A3 , E }¸ A2 ¸ A3 ¸ E 1) A1 (1, 0, 0), A2 (0, 1, 0), 2) A1 (1, 0, −1), A2 (2, 1, 0), 3) A1 (0, 1, 0), A2 (−1, 0, 1), 4) A1 (0, 1, 0), A2 (0, 0, 1), 5) A1 (1, 1, 1), A2 (1, −2, 1), 6) A1 (−2, 3, 1), A2 (1, 0, −2), 7) A1 (1, −2, 1), A2 (0, 1, −3), 8) A1 (0, 0, 1), A2 (2, 3, 1), 9) A1 (−1, 1, 0), A2 (0, 2, 3), 10)A1 (3, −1, 5), A2 (1, 0, 4), R = {A1 , A2 , A3 , E} R A1 ¸ A3 (1, 2, −1), A3 (0, 0, 1), A3 (2, 1, 0), A3 (1, 0, 0), A3 (−2, 0, 1), A3 (1, −1, 2), A3 (1, 1, 1), A3 (−2, 1, 5), A3 (3, 5, 1), A3 (−2, 1, 1), E (0, 1, 3); E (1, 1, 2); E (1, 2, 1); E (1, 1, 1); E (0, −1, 3); E (2, 1, 1); E (2, −6, −1); E (0, 4, 1); E (−5, 3, −5); E (−2, 1, 3). º º º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ½µ A1 A2 A3 A1 E ¸ A2 E ¸ ¾µ A3 E º AB º AB ¸ µ A(3, 0, −1)¸ A(−1, 2, 0)¸ A(0, 5, 1)¸ A(1, 3, 1)¸ A(−1, 1, 0)¸ A(3, 2, 1)¸ º ¸ µ µ µ µ µ B(−1, 3, 0) B(1, 1, 3) B(−2, 1, 7) B(−2, 1, 0) B(2, 3, 5) B(−5, 0, 1)º A, B, C ½¿¿ ¹ �¸ µ µ µ µ µ µ ¼º A(1, 2, −1)¸ A(0, 1, 3)¸ A(2, 1, 0)¸ A(0, −4, 1)¸ A(1, −1, 2)¸ A(−2, 0, 3)¸ B(−3, 1, 1)¸ C(−1, 5, −1) B(−5, −1, 3)¸ C(10, 3, −3) B(−5, 13, −3)¸ C(−3, 5, −1) B(1, 2, 1)¸ C(3, −2, 5) B(0, 3, −1) C(−1, −5, 0) B(1, 5, −2)¸ C(0, 5, 3)º K(3, −2, 1), L(0, 1, −1), M(1, ¸ − 2, 5) º ½º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¹ ¸ A1 ¸ A2 A3 ¸ E º µ µ µ A2 ¸ A3 µ A1 ¸ A3 ¹ µ A1 ¸ E µ A2 ¸ E ¾º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º AB ¸ µ A(−5, 2, 1)¸ µ A(2, 1, −3)¸ µ A(7, 6, 4)¸ µ A(3, 1, −1)¸ µ A(−1, 3, 1)¸ µ A(−2, 3, 3)¸ ¹ B(1, 3, 3) B(1, −2, 1) B(3, −3, 2) B(−1, 2, 3) B(2, 2, 1) B(1, −2, 5)º ¿º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ ¹ A2 ¸ A3 º AB ¹ ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A3 º AB ¹ ¹ ¹ ¾º ½¿ �º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A2 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A3 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ M 1) M(1, −2, 3), 2) M(4, 1, 1), 3) M(−1, 1, 3), 4) M(−1, 2, 2), 5) M(2, 1, −3), 6) M(3, 3, 2), 7) M(−3, 1, 2), 8) M(1, 1, 2), 9) M(1, −1, 3), 10) M(2, −1, 1), º µ a¸ a : 2x1 + x2 − 3x3 = 0; a : x1 − 7x2 + x3 = 0; a : x1 + x2 + x3 = 0; a : 3x1 − x2 + x3 = 0; a : 2x1 + 2x2 − x3 = 0; a : x1 − 4x2 + 2x3 = 0; a : x1 + x2 − x3 = 0; a : 2x1 − 3x2 + x3 = 0; a : 3x1 + 3x2 − x3 = 0; a : 5x1 − 7x2 − x3 = 0. R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ µ A2 ¸ A3 A3 ¸ E º M ¹ ¹ µ A1 ¸ A3 µ ¸ A1 ¸ E µ A2 ¸ E ¹ a¸ ½¿ �º ¼º ¸ ½º x1 − x2 + 2x3 = 0 2x1 + 2x2 − x3 = 0 µ x1 − x2 + x3 = 0 µ x1 − 2x2 − 2x3 = 0 µ 2x1 − x2 + x3 = 0 µ 2x1 + 3x2 − x3 = 0 µ x1 − 3x2 − 3x3 = 0 µ 3x1 + x2 + 2x3 = 0 µ 3x1 − x2 + 5x3 = 0 µ x1 + 5x2 − 3x3 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 = 0 3x1 − 5x2 + 2x3 = 0 2x1 − x2 + 5x3 = 0 x1 + 3x2 − x3 = 0 x1 + x2 − x3 = 0 x1 − 2x2 + x3 = 0 2x1 + x2 + x3 = 0 x1 − x2 + 2x3 = 0 3x1 + 2x2 − 5x3 = 0 x1 + x2 + 3x3 = 0º a, b, c µ µ ¾º ¸ a(5, 1, 3)¸ ¾µ a(1, 1, 0)¸ ¿µ a(1, −1, 2)¸ µ a(0, 2, −3)¸ µ a(−3, 1, 2)¸ µ a(−1, 2, 0)¸ µ a(1, 3, 3)¸ µ a(1, 2, 5)¸ µ a(1, −2, 3)¸ ½¼µ a(2, 2, 1)¸ ½µ ¿º ¹ (1, 2, −1)¸ (3, 5, −2)º b(−2, 4, 3)¸ b(2, −1, 3)¸ b(5, 3, 0)¸ b(1, −2, 4)¸ b(2, 0, −1)¸ b(1, 1, 5)¸ b(2, −1, 2)¸ b(3, 0, 1)¸ b(1, 4, −1)¸ b(0, −2, 5)¸ c(8, 6, 9) c(5, 2, 3) c(3, 1, 1) c(1, 2, −2) c(3, −5, −4) c(2, −7, −5) c(3, 2, 5) c(−1, 1, 2) c(3, 0, 5) c(1, 0, 3)º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¸ ½µ (1, 2, 0) ¾µ (0, −3, 1) ¿µ (4, 0, −1) µ (1, 2, 2) µ (1, 2, 3) µ (−1, 2, 3) µ (3, −2, 1) µ (2, −1, 4) µ (2, 3, 1) ½¼µ (−2, 1, 1) ½½µ (3, 2, 3) ½¾µ (1, −3, 1)º º ¹ ½¿ �R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ E º ¹ ¸ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ ¾º º º ¸ ¹ µ µ ¸ µ A, B µ α¸ a AB α µ ¸ a, b µ α¸ ¹ a¸ ¸ ¹ b µ A α β¸ ¹ µ µ a α¸ ¸ ½¿ ¹ �µ ¸ µ ¸ a µ α a, b µ α¸ ¸ ¸ a A ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ A a b ABC BB ¸ CC O¸ AB ∩A B ¸ Q = BC ∩B C ¸ R = AC ∩A C ABC µ AA ¸ P = º º ¸ º α º β¸ ¹ M¸ ¸ º º α º A β ¸ α β¸ ¹ B¸ ¸ m¸ A Bº ¹ ¹ º ¼º ABC M AM ¸ BM º CM º A0 ¸ B0 C0 A0 B0 C0 ¸ º ABC º þ º ½º ´ µ ¹ ¸ ´ ¹ µ ¸ ½¿ º �º ¾º s A, B, C º ¹ m¸ Y = ∩ n¸ W = m ∩ n¸ D = s ∩ XZ º þ ¹ A C nº Z = BY ∩ m¸ X = BW ∩ º ¿º α, β, γ ¸ ¹ a, b, cº º ABC º p¸ AB, BC, AC HC, KA, MB p º H, K, M º P QRº þ º a º α b A¸ α ¹ Aº º a º Pº b c α P αº º º ¸ º º º ¹ 1◦ . ¹ ¸ ¹ ½¿ �º ◦ 2. ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ º º ¿ ¹ º º¿ ¸ A1 ¸ µ A2 ¸ µ A10 º µ µ A6 ¸ µ A7 ¸ µ A8 ¸ µ A9 ¸ µ A3 ¸ A4 ¸ µ µ A5 ¸ ¹ ¸ A1 A2 ¸ A3 A10 ¸ A2 A8 ¸ µ A4 A6 ¸ µ A1 A4 ¸ µ A1 A6 ¸ A3 A9 ¸ µ A9 A10 ¸ µ µ µ A2 A6 ¸ A7 A8 º µ µ ¼º þ µ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¹ º ½º þ ¸ ¸ º ¹ ¸ º ¾º ABCD BC AD M Pº AM ∩ BP L = DM ∩ CP ¸ ¹ þ ¹ ¸ ¿º þ KL¸ K = º ¹ ¹ ½ ¼ �º ¸ º Ai Bi Ci (i = 1, 2, 3) Ai ¸ Bi ¸ Ci º a¸ b¸ c¸ ¹ ¹ ¸ º ABC º þ S : A = AS ∩ ¸ BC, B = BS ∩ AC, C = CS ∩ AB º ¸ BC ∩ B C ¸ AC ∩ A C ¸ AB ∩ A B º p ABC º K = BC ∩p, L = CA∩p, M = AB ∩p, R = BL∩CM, S = CM ∩ AK, T = AK ∩ BLº ¸ AR¸ BS CT º ABCD p q¸ ¹ º AB p ∩ AD = M, p ∩ AC = P, q∩BD = N, q∩BC = Qº ¸ MN ∩P Q AB º º ABC DBC ¹ p q¸ AD ¸ A D p ∩ AB = M ¸ p ∩ DB = P ¸ q ∩AC = N ¸ q ∩DC = Qº ¸ MN ¸ P Q¸ BC º º ABCD º P = AB ∩ CD ¸ BC AD K Mº ¸ ¹ ¸ ¹ ABKM MKCD ¹ º ½¼¼º ABCD P = AB ∩ CD º AD BC ¸ ¹ ½ ½ �AB ¸ H Kº CD ¸ ¸ ¹ AHKD HBCK Pº ½¼½º ABCD E = AB ∩ CD ¸ H = BC ∩ AD º E BC ¸ º ¹ AD ¸ K M ¸ ¹ ABKM MKCD ¸ Hº ½¼¾º ABCDE º ¹ H = AD ∩ CE ¸ O = AC ∩ BH ¸ K = AB ∩ OD ¸ M = BC ∩ OE º µ AC ||DE P = AC ∩ DE ¸ K¸ M ¸ P µ ½¼¿º þ AC||DE ¸ KM||AC º ABCDEF º ¸ ¹ P = AB∩DE ¸ Q = BC∩EF ¹ R = AC ∩ DF ½¼ º ABCD M = AB ∩ CD ¸ H = BC ∩ AD ¸ K = AC ∩ BD º MK AD BC ¹ E Pº ¸ AP ¸ BE ¸ HK º ½¼ º þ ABCD BC AD ¹ A B a b¸ C D c dº ¸ H = AB ∩ CD ¸ K = b ∩ c¸ M = a ∩ d ½¼ º þ º ABCD º º ½ ¾ ¹ �K = AB ∩ CD ¸ H = E = AC ∩ BD HE KE ¸ AB BC P = HE ∩ AB ¸ M = KE ∩ BC º ¸ T = HK ∩ MP CAº ½¼ º þ ABCDEF º H = BC ∩ AF ¸ K = BC ∩ DE ¸ M = DE ∩ AF ¸ P = AB ∩ CD ¸ T = AB ∩ EF ¸ O = EF ∩ CD º ¸ HO ¸ P M ¸ KT º ABCD AB ½¼ º þ a b¸ ¹ Eº ¸ ¸ BC ∩ AD ¸ ½¼ Eº ABC P ¸ Q¸ R¸ ¹ aº M = CQ ∩ AB ¸ S = CR ∩ P M ¸ Y = BS ∩ AC ¸ X = RY ∩ BC º ¸ Z = P Y ∩ QX AB º ABC º ¸ ½½¼º AC ¸ AB BC H Kº H K a||BC ¸ b||AB Mº ¸ BM HC AK º º ½½½º ¹ ABC ¸ A B C ¸ A B C ¸ ¹ º ½½¾º ¸ ¹ O1 O2 O1 O2 ¸ ½ ¿ ¸ ¸ �O1 O2 º þ a ½½¿ ½½ a¸ b b¸ c c ¸ ¹ a0 = (b∩)·(b ∩c )¸ b0 = (a ∩c)·(a∩c )¸ c0 = (a∩b)·(a ∩b ) ¸ ´ ¹ µ a1 = (a ∩ b) · (c ∩ a )¸ a2 = (a ∩ b ) · (a ∩ c ) b1 = (a ∩ b) · (c ∩ b )¸ b2 = (b ∩ c) · (a ∩ b ) c1 = (b ∩ c) · (a ∩ c )¸ c2 = (b ∩ c ) · (a ∩ c) ¸ ´ µ A= a∩a, B = b∩b, C =c∩c A0 = a1 ∩ a2 , B0 = b1 ∩ b2 , C0 = c1 ∩ c2 A1 = b ∩ c , A2 = b1 ∩ c1 , A3 = b0 ∩ c0 , A4 = c ∩ b , A5 = b2 ∩ c2 º ´ · ºµ ½½¿º a0 , b0 , c0 º ½µ a ∦ a , b ∦ b , c1 ∦ c2 ¸ ¾µ a ∦ a , b ∦ b , c1 ||c2¸ a ∦ a , b||b , c1 ∦ c2 ¸ a||a , c1 ||c2 ¸ b||b a||a , b||b ¸ c1 ||c2 º ¿µ µ µ ½µ ¾µ ¿µ ½½ º ¸ A, B, C0 AB||c1 AC0 ||b ¸ ¹ a0 ¸ b0 ¸ c0 A¸ B ¸ C0 AB||c1 , c1 ||c2 b||b , AC0 ||b ¸ ½ �µ µ µ µ a a , b||b , c1 ||c2 A0 , B0 , C0 c1 ||c2 , A0 B0 ||c1 a1 ||a2 , b1 ||b2 , c1 ||c2º ½½ a0 , a, a º º ¹ ¸ ½µ b ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ a2 ¸ ¾µ b ∦ c , c ∦ b , a1 ||a2 ¸ A1 A4 ||a1 b ∦ c , a1 ∦ a2 , c||b ¸ A1 A0 ||c c ∦ b¸ A2 , A3 , A4 ¹ c b¸ A2 A3 ||c a1 ∦ a2 ¸ A0 , A2 , A5 ¹ ¿µ µ µ µ µ ½½ º a1 ||a2 ¸ A2 A5 ||a1 º a ∦ a¸ ¸ A ∈ a0 ¸ ½µ A1 , A4 , A0 a2 µ ¾µ a1 ||a2 ||A1 A4 (b ∦ c , c ∦ b ) ¿µ c||b ||A0 A1 (b ∦ c , a1 ∦ a2 ) µ A2 , A3 , A4 µ c||b ||A2 A3 µ A0 , A2 , A5 µ a1 ||a2 ||A2 A5 º ½½ ½µ ¾µ ¿µ µ A1 , A4 , A0 º b ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ a2 ¸ ´b (c ∦ b ) (a1 ∦ a2 ) a||a ||a0 º A1 , A4 , A0 b ∦ c , c ∦ b , a1 ||a2 ¸ A1 A4 ||a1 b ∦ c , a1 ∦ a2 , c||b ¸ A1 A0 ||c c∦b¸ A2 , A3 , A4 ½ ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ ¸ �c b¸ A2 A3 ||c a1 ∦ a2 ¸ µ µ µ ½½ ½µ a1 ¾µ ¿µ µ µ µ µ º a1 ||a2 ¸ A0 , A2 , A5 A2 A5 ||a1 º a||a º A1 , A4 , A0 a2 ) a1 ||a2 ||A1 A4 (b ∦ c , c ∦ b ) c||b ||A0 A1 (b ∦ c , a1 ∦ a2 ) A2 , A3 , A4 c||b ||A2 A3 A0 , A2 , A5 a1 ||a2 ||A2 A5 º ½½ º a L¸ ¸ a0 ||a¸ (b ∦ c ¸ c ∦ b ¸ (c ∦ b ) (a1 ∦ a2 ) b¸ ¹ º C¸ º ½¾¼º LC º P Q cº ½¾½º PQ c¸ P Qº A a a¸ A¸ B ¸ ½¾¾º º ¸ ¸ ¹ ¸ P ½¾¿º a Q a¸ a ¹ Pº a¸ b b¸ ¸ P º PQ cº ½ Q �½¾ º ¸ ¹ a A ½¾ ¸ ¹ B ¹ Bº A º ¸ AB º ½¾ º þ ABCD E¸ ¹ E¸ º ¸ ½¾ ¸ º A º Bº ¸ AB ¸ ¹ ½¾ º º a ½¾ ¹ a¸ P¸ Qº PQ ABCD, BC||AD º º b b¸ º M ¸ M ¸ ½¿¼º º ¸ Mº M ¸ ¹ ¸ º þ ½¿½ ½ ¸ º ½¿½º P ½¿¾º a∩a = P Q P Qº ¸ b ∩ b = Qº ¹ a||a , b||b ¸ º a¸ ¸ ½ A¸ º �½¿¿º ½¿ A º K¸ b Bº AB º a a¸ b b¸ ¹ ¹ ¸ ¹ M¸ º b ½¿ KM º ABCD º º ¹ ¹ ¸ ¹ º ½¿ ABCD º º ¹ ¸ ¹ º ½¿ ABCD (BC||AD) AB º º ¸ ½¿ M¸ M ¹ ¹ º ABCD º ý ¸ º º ½¿ ABCD ¸ º H = AB ∩ CD, K = BC ∩ AD ¹ HK º ½ ¼º ¹ ½ ½º ABCD º ABCD H = AB ∩ CD, E = AC ∩ BD ¸ HE º ¸ ¹ ¹ º ½ ¾º þ ABC ½ XY Z : �X ∈ BC, Y ∈ AC, Z ∈ AB ¸ P = XY ∩ AB, Q = Y Z ∩ BC, R = ZX ∩ CA º ½ ¿º ABC P, Q, R aº X, Y, Z ¹ BC, CA, AB ¸ Y Z, ZX, XY P, Q, Rº ABCD ¹ ¸ XY Z ¸ ½ º þ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ½ ¹ º ABCD P º AB º ½ AC º ABCD º º CD ¸ P¸ ¹ ¸ E = AB ∩ ¹ º ½ ABCD AB º AC º º ¸ P P ¹ º ½ µ µ µ º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¹ T¸ A2 = T (A1 ), A1 = T (A2 ), E = T (A3 ), A3 = T (E) A2 = T (A1 ), A3 = T (A2 ), A1 = T (A3 ), E = T (E) A1 = T (A1 ), A2 = T (A2 ), A3 = T (A3 ), E = T (E)¸ ½ �E (c1 , c2 , c3 )º ½ º ¹ x3 = 0 ¸ º ½ ¼º ¸ ¹ ¸ ¹ x3 = 0º ½ ½º (x2 = 0) A3 (0, 0, 1) A3 A2 (x1 = 0) ¸ A3 A1 º ½ ¾º ¹ ¸ A1 (1, 0, 0)¸ A2 (0, 1, 0) A3 (0, 0, 1)¸ E (a, b, c)º E ½ ¿º ρx1 = x1 + x2 − x3 ¸ ρx2 = x1 − 4x2 ¸ ρx3 = x1 + x2 º A1 ¸ A2 ¸ A3 ½ Eº º ρx1 = 2x1 − 3x2 + x3 ¸ ρx2 = 3x1 − x2 + 4x3 ¸ ρx3 = 3x1 − 2x2 + 5x3 º A(1, 2, 3)¸ B(2, −1, 4)¸ C(−1, 0, 1)¸ D(0, 2, 5)¸ E(1, −3, 4)¸ H(−2, 0, 3)¸ K(3, 1, 1)¸ M(−5, 1, 0)¸ P (2, 2, 1)¸ T (−4, 1, 3)¸ S(2, 3, 1)º ½ º ρx1 = x1 − 2x2 + x3 , ρx2 = 4x1 − 2x2 + 3x3 , ρx3 = x1 − x2 º a(1, 2, 3), b(−1, 2, 5), c(0, 4, −3), d(1, −3, 1), e(2, 3, 1), h(−2, 0, 1), k(3, 3, −2), m(−4, 1, 3), p(1, −1, 0), t(−3, 0, 1), s(1, −5, 4)º ½ ½µ ¾µ º ¹ ρx1 = x1 + x2 + x3 ¸ ρx2 = x3 ¸ ρx3 = x2 ρx1 = 2x1 − x2 ¸ ρx2 = x1 + x2 − x3 ¸ ρx3 = x2 − 2x3 ½ ¼ �ρx1 = x1 − x2 ¸ ρx2 = x2 − x3 ¸ ρx3 = x1 + x3 µ ρx1 = x1 ¸ ρx2 = x2 + x3 ¸ ρx3 = x1 + x2 µ ρx1 = x1 − 2x2 ¸ ρx2 = 3x1 + x2 − 4x3 ¸ ρx3 = x3 µ ρx1 = x3 ¸ ρx2 = x1 ¸ ρx3 = x2 µ ρx1 = x1 + 2x2 − 4x3 ¸ ρx2 = 2x1 − 3x2 + 5x3 ¸ ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3 µ ρx1 = x1 + 2x2 − x3 ¸ ρx2 = x1 − 2x2 + 4x3 ¸ ρx3 = 3x1 + x2 − 2x3 º ¿µ ρx1 = ½ º x1 + 2x2 − 4x3 , ρx2 = 2x1 − 3x2 + 5x3 , ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3 º A1 A2 A3 º ½ º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ ¹ ρx1 = x1 − 2x2 + 3x3 , ρx2 = 2x1 + x2 + 2x3 , ρx3 = 4x1 − 2x2 + 5x3 º ½ º ¸ A1 , A2 , A3 (2, 3, 8)¸ µ (2, 1, 0)¸ µ (1, 1, 0)¸ µ (1, −2, 1)¸ µ (−2, 1, 0)¸ µ (0, 2, 1)¸ µ (3, −5, 9)¸ (0, 1, 1)¸ (−2, 1, 1)¸ (0, 3, 1)¸ (0, 2, 3)¸ (3, 3, 1)¸ E (−7, 4, 1)¸ (1, −1, 1)¸ (0, 2, 1)¸ (1, 1, 4)¸ (−2, 3, 1)¸ (−2, 0, 3)¸ ½ ¼º C ¸ A¸ D¸ ¹ (1, −1, 0) (1, 3, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 3) (2, 5, 0) (0, −2, 7)º ¸ B¸ C¸ D A¸ ½ ½ B¸ �A(1, 0, 1)¸ A (−1, 0, 3)¸ µ A(0, 0, 1)¸ A (1, 2, 0)¸ µ A(2, 1, 1)¸ A (2, 1, 5)¸ µ A(1, 2, 3)¸ A (−1, 13, 8)¸ µ A(2, 1, 0)¸ A (0, 6, 1)¸ µ B(2, 1, 1)¸ B (2, 1, 3)¸ B(1, 2, 0)¸ B (1, 0, 1)¸ B(1, 2, 1)¸ B (2, −1, 3)¸ B(2, −1, 4)¸ B (1, 3, 2)¸ B(3, 1, 1)¸ B (2, 13, 2)¸ C(3, −1, 0)¸ C (2, 3, 8)¸ C(1, 0, 1)¸ C (0, 1, 0)¸ C(1, −1, 1)¸ C (−1, 2, 3)¸ C(−1, 0, 1)¸ C (−1, 1, 2)¸ C(1, 2, −1)¸ C (4, 3, 1)¸ D(2, 5, 2)¸ D (3, 0, −4) D(0, 1, 0)¸ D (0, 0, 1) D(−1, 1, 1)¸ D (1, 2, 1) D(1, 0, 3)¸ D (5, 5, 8) D(0, −3, 2)¸ D (8, 0, 3)º ½ ½º µ µ µ ¹ ρx1 = 4x1 − x2 , ρx2 = 6x1 − 3x2 , ρx3 = x1 − x2 − x3 ρx1 = x2 + x3 , ρx2 = x1 + x2 , ρx3 = x1 + x2 ρx1 = x2 − x3 , ρx2 = x1 + x3 , ρx3 = 2x1 − 2x2 + 3x3 º ½ ¾º ¸ ¹ º ½ ¿º f ¹ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E ¸ º M = f (M) ´ M ½ µº º A¸ B ¸ C ¸ D A¸B¸C¸Dº M M º ½ ¾ ¹ ¹ �º ½ º ¹ A1 (1, 0) A2 (0, 1) ½ A2 (1, 0)¸ E(1, 1) º º ¸ A, B, C A(1, 0)¸ B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ A(1, 2)¸ B(−1, 1)¸ C(2, 3)¸ ¿µ A(−2, 1)¸ B(1, 1)¸ C(1, 2)¸ µ A(3, 2)¸ B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ µ A(−1, 3)¸ B(2, 1)¸ C(1, 2)¸ µ A(4, 1)¸ B(1, 1)¸ C(5, 2)¸ µ A(−3, 2)¸ B(1, 2)¸ C(2, 3)¸ µ A(2, 5)¸ B(1, 4)¸ C(3, −1)¸ µ A(4, 3)¸ B(−1, 1)¸ C(3, 4)¸ ½¼µA(1, 1)¸ B(−2, 3)¸ C(3, 2)¸ A, B, C º ¹ A¸ ¸ B¸ C ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ µ A¸ B¸ C A(−1, 2), B(−2, 3), C(3, 1)¸ A(1, 2), B(1, −2), C(2, 1)¸ A(1, 1), B(3, −1), C(−1, 1)¸ A(0, 1), B(2, 1), C(4, −3)¸ A(3, 2)¸ B(1, 4)¸ C(0, 1)¸ A(1, 1)¸ B(2, −1)¸ C(1, 0)¸ A(5, 7)¸ B(9, −2)¸ C(4, −9)¸ A(2, −1)¸ B(1, 3)¸ C(4, 5)¸ ½ ¹ ¸ A (−1, 2)¸ B (2, 1)¸ C (−1, 3) A (0, 1)¸ B (1, 1)¸ C (1, 0) A (1, −1)¸ B (3, 5)¸ C (1, −1) A (1, 0)¸ B (3, −1)¸ C (4, −1) A (2, 1)¸ B (0, 1)¸ C (3, 4) A (3, 2)¸ B (0, 1)¸ C (2, −1) A (2, 3)¸ B (1, 1)¸ C (1, −1) A (1, 0)¸ B (2, −1)¸ C (1, 1) A (0, 1)¸ B (2, −1)¸ C (5, 3) A (−1, 2)¸ B (3, 2)¸ C (1, 2)º ½µ ¾µ ½ A1 (1, 1)¸ E (1, 3)º º ½ ¿ A (4, 1), B (1, 0), C (3, 7) A (0, 1), B (4, −7), C (1, 2) A (3, 7), B (1, 9), C (1, −1) A (−5, 1), B (1, 3), C (27, 1) A (5, 3)¸ B (15, 11)¸ C (4, 3) A (1, 2)¸ B (5, 1)¸ C (2, 1) A (7, 5)¸ B (−2, 9)¸ C (−9, 4) A (1, 3)¸ B (2, −1)¸ C (9, −1)º ¸ ¹ �A1 , A2 ¸ ¹ ¸ º ½ º ¸ ¹ = ax1 − bx2 ¸ ρx2 = bx1 + ax2 ¸ ´a2 + b2 = 0) ¾µ = x1 + kx2 , ρx2 = x2 = x1 ¸ ρx2 = kx2 ¿µ µ = ax1 ¸ ρx2 = bx2 ´a = 0, b = 0µ µ = ax1 ¸ ρx2 = bx1 + ax2 ¸ ´a = 0)º ½ ¼º f: → ¹ A, A = f (A), B, B = f (B), C, C = f (C)º X= ∩ º ½ ½º f ¹ A, B, C A = f (A), B = f (B), C = f (C) M ∈ º M = f (M)º ½ ¾º Π(L) → Π(L ) ¹ a, b, c Π(L) a = f (a)¸ b = f (b)¸ c = f (c) Π(L )º ¹ ½µ ρx1 ρx1 ρx1 ρx1 ρx1 m = f (m) µ µ m ∈ Π(L) LL º ½ ¿º f a, b, c f (b), c = f (c)º ½ (L) a = f (a), b = m º X º Y f A M A = f (A)º º ½ ¹ �½ (L) º þ x y ¹ a m aº ¹ º ½ �¾º þ þ ´ ½¼º ½ º ¸ ¸ ü ÿ µ A, B, C, D (AB, CD) A(1, 1, 2), B(3, −1, 2), (11, −1, 10), D(3, 4, 7) A(0, −2, 3), B(1, 1, −5), C(1, −3, 1), D(−2, 12, −11) µ A(−3, 5, 0), B(1, −1, 2), C(−1, 7, 16), D(3, −1, 12) µ A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 4, 1), D(0, 2, 1) µ A(3, 1, 2), B(1, 1, −2), C(5, 3, −2), D(1, −1, 6) µ A(−2, 0, 3), B(1, 4, 1), C(3, 4, −2), D(7, 4, −8) µ A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(−1, 4, 3), D(4, 2, −3) µ A(−1, 5, 3), B(3, −2, −1), C(9, 7, 5), D(12, 5, 4)º ½ º ¸ a, b, c, d ¸ (ab, cd) µ µ a(0, 0, 1), b(−2, 1, 3), c(6, −3, −7), d(2, −1, −2) µ a(3, 1, 4), b(−1, 0, 2), c(11, 2, −2), d(11, 5, 28) µ a(−2, 1, 3), b(5, −1, −7), c(3, 0, −4), d(−9, 3, 13) µ a(−4, 1, 2), b(2, 1, 3), c(0, 3, 8), d(8, 1, 4) µ �a(2, 2, 3), b(0, 2, 1), c(1, 0, 1), d(5, −2, 4) µ a(0, 1, −1), b(3, 2, 0), c(6, 7, −3), d(−3, 1, −3) µ a(5, 1, 0), b(1, −2, 1), c(7, 8, −3), d(2, 7, −3) µ a(2, 3, −1), b(1, 3, 0), c(0, 3, 1), d(−2, 3, 3)º ½ º ¸ A(1, −2, −1), B(1, 0, −2)¸ C(−3, −4, 8) ¸ D¸ ¸ 5 1 (AB, CD) ½µ − ¸ ¾µ −3¸ ¿µ −1¸ µ ¸ 6 2 1 4 2 3 µ 2¸ µ − ¸ µ ¸ µ ¸ µ ¸ ½¼µ 4º 3 3 3 4 ½ º A(1, 2, 3), B(−3, 2, 4), C(−2, 4, 7)º µ ¸ D¸ ½ ¼º ¸ (AB, CD) = −1º a(1, 2, 1), b(3, −1, 2), c(5, 3, 4)º d¸ ½ ½º ¸ −3) 3 ¸ 4 µ 1 ¸ 2 ½ ¾º µ − 43 ¸ µ 5 ¸ 2 µ (ab, cd) −1º a(2, 1, 0)¸ b(0, 1, 3)¸ c(2, 0, ¸ d¸ ¸ 1 2 (ab, cd) ½µ ¸ ¾µ ¸ ¿µ −3¸ µ 3 3 2¸ µ 14 ¸ ½¼µ − 25 º a¸ b¸ c¸ ¸ d x1 + 2x2 = 0, x1 −x3 = 0, x1 + 4x2 + x3 = 0, 2x2 + x3 = 0 ¾µ 3x1 + x2 + 2x3 = 0¸ x1 + x2 − 2x3 = 0¸ 5x1 + 3x2 − 2x3 = 0¸ x1 − x2 + 6x3 ¼ ¿µ 2x1 − 3x3 = 0¸ x1 + 4x2 + x3 = 0¸ 3x1 + 4x2 − 2x3 = 0¸ 7x1 + 4x2 − 8x3 = 0 µ x1 + 2x2 = 0, x1 − x3 = 0, x1 − 4x2 − 3x3 = 0¸ 4x1 + 2x2 − 3x3 = 0 µ x1 −5x2 −3x3 = 0¸ 3x1 −2x2 −x3 = 0¸ 9x1 +7x2 +5x3 = 0¸ 12x1 + 5x2 + 4x3 = 0 µ 4x1 − x2 − 2x3 = 0, 2x1 + x2 + 3x3 = 0¸ 3x2 + 8x3 = 0¸ 8x1 + x2 + 4x3 = 0 ½µ ½ �µ 2x1 + 2x2 + 3x3 = 0¸ 2x2 + x3 = 0¸ x1 + x3 = 0¸ 5x1 − 2x2 + 4x3 = 0 µ x2 − x3 = 0, 3x1 + 2x2 = 0, 6x1 + 7x2 − 3x3 = 0, 3x1 − x2 + 3x3 = 0 µ 5x1 + x2 = 0¸ x1 − 2x2 + x3 = 0¸ 7x1 + 8x2 − 3x3 = 0¸ 2x1 + 7x2 − 3x3 = 0 ½¼µ 2x1 + 3x2 − x3 = 0, x1 + 3x2 = 0, 3x2 + x3 = 0, 2x1 − 3x2 − 3x3 = 0º ¸ (ab, cd)º ½ ¿º x2 = 0¸ ¸ ½ º D¸ ½ º a, b, c¸ ¹ x1 −2x3 = 0, 3x1 −x2 +4x3 = 0, 5x1 − Lº d¸ (ab, cd) = −2º ¸ A(1, 4, 1)¸ B(0, 1, 1)¸ C(2, 3, −3) ¸ (AB, CD) = −4º B ¸ C ¸ Dº (AB, CD)¸ µ A(2, 1), B(−1, 3), C(1, 4), D(3, 5) µ A(3, 1), B(2, 5), C(1, 0), D(−2, 1) µ A(1, 3), B(5, −2), C(1, −1), D(2, 3) µ A(−1, 1), B(2, 3), C(7, 11), D(1, 4) µ A(5, 7), B(2, 3), C(3, 4), D(−1, 1) µ A(−4, 3), B(3, 2), C(−1, 5), D(2, 1) µ A(−2, 3), B(1, 1), C(0, 1), D(3, −5) µ A(2, 5), B(−3, 5), C(1, 15), D(1, 0) µ A(1, 0), B(7, −3), C(0, 1), D(1, −1)º ½ º A(2, 1), B(−1, 3) ¸ C(4, 5) ¸ D(−8, 3)º ½ A¸ ¹ ¹ �½ º A(1, 3)¸ B(2, 1)¸ C(−1, 4)¸ D(3, −1)º (AB, CD) R Dº ½ ¹ D {A¸ B ¸ C}º ¹ ¹ A(1, 2)¸ R º B(−1¸ 1)¸ C(3, 5) {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¸ (AB, CD) = D 1 º 2 ¹ ¹ Rº ½ º þ ¹ B(2, 1) ¹ (6, 1)¸ ¹ A(−2)¸ B(3)¸ C(−1)º D(5)¸ F (−7)¸ G(4)¸ H(2)¸ O(0)¸ E(1) R {A¸ B ¸ C}º ¹ ½ ¼º þ D C(1, 2)º A(1, −1) ½ ½º þ b¸ c¸ d º ¹ a¸ ¹ y = x, y = 2x, y = 3x, y = −x y = x − 3, y = 2x − 3, y = −x − 3¸ y = 5x − 3 µ y = 3x, y = −x, y = 0, x = 0 µ 2x − y + 7 = 0, x + y + 2 = 0, 6x + 5y + 13 = 0¸ x − 3y + 6 = 0 µ y − 3 = −(x + 2), y − 3 = x + 2, y − 3 = 3(x + 2)¸ y − 3 = 5(x + 2)º ½ ¾º A¸ B ¸ C ¸ D¸ a¸ A1 ¸ B1 ¸ C1 ¸ D1 ¹ µ µ a1 º ¸ (AB, CD) ½ (A1 B1 , C1 D1 )º �½ ¿º C ¸ Dº A¸ B ¸ þ ¹ ¸ ¸ A(2, −3), B(3, −1), C(4, 1), D(5, 3) µ A(1, −1), B(2, 1), C(0, 1), D(1, 5) µ A(5, 7), B(3, 4), C(2, 3), D(0, 1) µ A(4, −3), B(1, 5), C(−5, 9), D(13, −4) µ A(3, 1), B(4, −7), C(2, 9), D(7, −6)º µ ½ Cº A¸ B ¸ º D(x1 , x2 )¸ A(−3, 1)¸ B(2, 11)¸ C(1, 9)¸ (AB, CD) = −2 µ A(−4, 0)¸ B(0, 8)¸ C(1, 10)¸ (AB, CD) = 3 2 µ A(1, 2)¸ B(−3, 1)¸ C(5, 3)¸ (AB, CD) = 3 5 µ A(0, 5)¸ B(1, 7)¸ C(−2, 1)¸ (AB, CD) = 2 1 µ A(4, 1)¸ B(−5, 4)¸ C(−2, 3)¸ (AB, CD) = º 2 µ ½ C ¸ Dº º A¸ B ¸ þ ¹ ¸ ¸ A(3), B(8), C(7), D(13) µ A(−1), B(2), C(−3), D(4) µ A(5), B(−3), C(4), D(7) µ A(2), B(0), C(5), D(6) µ A(4), B(−2), C(9), D(8)º µ ½ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ º ¹ º þ ¸ ½ ½ º º º ¸ (AB, CD∞ ) = (AB, C)º A¸ B ¸ C ¸ D ½ ¼ ¹ �(AB, CD) + (AC, DB) + (AD, BC) = 0º ¸ ½ º a¸ b¸ c¸ dº (ab, cd) = sin ∠(a, c) sin ∠(a, d) : . sin ∠(b, c) sin ∠(b, d) ÿ ½½º º ÿ ¾¼¼º A¸ B ¸ C º ¸ ¹ Dº ¾¼½º a, b, c (L)º ¸ ¹ dº ¾¼¾º þ a¸ b¸ cº a¸ b¸ c ¸ d¸ A¸ B ¸ C ¸ ¾¼¿º D ¸ ¸ ¾¼ º D C ¸ AB º BD ABC ºþ BE D E AC º º Bº ¹ ¹ ¸ (AC, DE) = −1º ½ ½ �¾¼ a¸ b¸ º þ c º c ¸ a ¸ ¾¼ º ¸ bº ¸ ¹ ¸ ¹ º ¾¼ º ABC ¸ BC ¸ ¸ B AC A ¾¼ BC º º AB C¸ D = B C ∩ C B¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¸ º ¾¼ º ¸ ¹ º ¸ º ¾½¼º ABC º ¸ CA¸ CB AB ¸ AB º CM ¸ M CX ¸ ¾½½º ABCD m¸ ||AB ¸ m m||BC º O = AC ∩ BD ¸ AC ¸ BD ¸ º ½ ¾ ¸ �¾½¾º AB º AB ¸ º ¾½¿º AB Cº P ¹ ¸ ¹ AB º ¾½ a º c¸ bº ¸ ¾½ b a ¸ bº ABCD º º ¸ ¹ ¸ ¾½ º ABCD º º ¸ ¾½ º º AB º 3AB, 4AB, 5AB º ¸ ¾½ a||b¸ º ¸ AB ⊂ aº AB 3¸ ¸ 4¸ 5 º ¾½ º ¸ º ¸ ¸ º ¾¾¼º AB ¸ AB º X C M ¹ ¹ AB ¸ ¾¾½º MX = AB º ¸ º ¸ ¸ P ½ ¿ ¸ ¹ º �½¾º ¾¾¾º R ¹ {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¸ ¾¾¿º ¹ º ¸ 4x21 + x22 + 5x23 + 4x1 x2 − 12x1 x3 − 6x2 x3 = 0 2 2 2 µ 2x1 + x2 − x3 + 3x1 x2 − x1 x3 + 2x2 x3 = 0 2 2 2 µ x1 + 4x2 + x3 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x3 = 0 2 2 2 µ 5x1 + x2 + x3 + 2x1 x2 − 4x1 x3 = 0 µ x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0 2 2 2 µ 2x1 + 6x2 + 7x3 − 4x1 x2 + 6x1 x3 + 4x2 x3 = 0º µ ¾¾ 2x21 x23 + º x22 ¾¾ º − x23 + 3x1 x2 − x1 x3 − 2x2 x3 = 0 µ x1 − 2x2 + x3 = 0 µ x1 = 5λ − µ, x2 = −3µ, x3 = −2λ + µ µ 2x1 + x2 − x3 = 0 µ x1 = λ + µ, x2 = λ − µ, x3 = 2µº + 3x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 = 0 ¾¾ ¾¾ x22 − A(1, 2, −1)º º x1 x3 + x2 x3 = 0 º 2x21 − x22 − A(1, 1, −1)º x1 x2 + ¸ 3x21 + A(3, −2, 2) ¸ + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x3 = 0º 5x23 º ¾¾ x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = 0º ¹ A1 A2 A3 ¸ ½ ¸ �A1 A2 A3 ¸ ¹ E(1, 1, 1) A2 A3 º ½¿º ¾¾ 2x21 + x22 − 2x23 − º 6x1 x2 + 4x2 x3 = 0 µ ¹ A1 (1¸ 0¸ 0)¸ A2 (0, 1, 0)¸ A3 (0, 0, 1)¸ E(1, 1, 1)¸ M(2, −1, 5) µ 7x1 + 4x2 − 10x3 = 0 º ¾¿¼º (−4, 2, 1µ µ (6, 4, −1µ µ (2, 1, 1µ µ (1, 0, 1µ µ ¾¿½º ¹ 6x21 − 4x22 − x23 − 5x1 x2 + 3x1 x3 + 2x2 x3 = 0 2x21 + 3x22 − 6x1 x3 − 2x2 x3 = 0 4x21 − x22 + 3x1 x2 = 0 3x21 + 5x22 + 10x23 − 4x1 x3 − 6x2 x3 = 0º ¹ 3x1 − x2 + 6x3 = 0 x21 + x22 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 = 0 2x21 + x22 − 3x23 − 4x1 x2 − 2x1 x3 + µ x1 − 3x3 = 0 +6x2 x3 = 0 µ x2 = 0 4x21 + 15x22 + 2x1 x2 − 6x1 x3 + +10x2 x3 = 0 µ x1 + 3x2 + x3 = 0 3x21 + 5x22 + x23 + 7x1 x2 + 4x1 x3 + +5x2 x3 = 0º µ ¾¿¾º ¸ ½ �º ¾¿¿º P AB A B¸ ¾¿ ¾¿ Cº M (CP, KM) = −1¸ CP º P P P ¹ AB (AB, P P ) = −1º ¸ º P ¹ º ¸ P ¸ K ¹ P º P A1 , P A2 ¸ M N (P Q, MN) = −1º ¾¿ A1 A2 Qº ¸ º º ¹ ¸ ¹ A∈ ¸ Bº ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ B Aº ¸ ¾¿ ¾¿ º º ¹ AB ¸ P A O (A = O)º º P º A ¹ ¸ ¹ AO º ¸ ¾¿ ¸ AB º A º Oº A ¹ AO º ¸ ¸ ¹ ½ �AO º ¸ ¾ ¼º þ º ¸ ¸ º ¾ ½º º ¸ ¸ ¹ M∈ ¸ ¸ ¹ º ¾ ¾º Mº M¸ µ µ µ M M M º ¾ ¿º º ¾ P º ¹ ¸ ¾ º º þ ¹ P P ¾ º ¸ º º ¸ ¹ º ¸ P q P QRº ¹ º ½ �½ º þ ¾ ¾ ¸ º ¾ º º ¾ ¹ ¹ º º º ¹ º ¾ º ¸ º ¾ ¼º º ¹ º º ¾ ½º ¹ º º ¹ º ¾ ¾º ¹ º ¾ ¿º ¾ º º ¹ º ¹ º º º ½ �¾ ¾ º Aº Aº º ¸ ¸ ¾ ¹ º º º ¸ ¹ ¸ º ¾ ¾ º º º º º º ¾ ¼º ¹ ¹ º ¹ º ¹ º ¾ ½º ¹ º ¹ º ¾ ¾º º º ¾ ¿º º ¾ º º M ¾ º Mº ¸ º ¹ º M ¹ ½ �¾ º º ¸ ¹ ¸ ý ¾ º º º ¸ ¸ ¾ ý º º º ¸ ¸ ¹ º ½ º þ ¹ ¸ ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¹ º ¸ ¹ ¹ º ´ µ º ¸ ½ ¼ ¹ �º ¹ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¾ µ µ ¹ º º ¸ ¸ ¸ µ µ ¸ º ¾ ¼º µ µ µ ¸ ´ µ ´ ¹ µ ¹ º ¾ ½º M¸ ABCD º AB ¸ ¹ ABCD ¸ ´ µº ¾ ¾º ABCD º AB ¹ º ¸ ABCD ´ ¹ µº ¾ ¿º ¸ AB CD A¸ B ¸ C ¸ D ¹ º ½ ½ �´ ¾ µº AB CD A¸ B ¸ C ¸ D º ¸ ¹ º ´ µº ¾ º º º ¾ º ¹ º ¹ º ¾ º ¹ º ¹ ¹ º ¾ º ¾ º ¹ º º ¸ ¸ ¸ ¾ ¼º º º ¸ ¸ º ¹ ¹ º ¾ ½º ¸ º º ¾ ¾º ¹ º ¾ ¿º º ¹ º ¾ ¹ º º ¹ ½ ¾ �º ¾ º º ¹ º ¾ º º ¸ ¹ ¹ º ¾ º º ÿ ¹ º ¾ º º ÿ ¹ º ¾ ¹ º º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ º º ¾ ¼º ¹ º ¹ º ¾ ½º ¾ ¾º ¾ ¿º ¹ º º ¹ º º ¸ º ¾ ¹ º º ¸ ¸ º ¾ º ¸ º ½ ¿ ¹ M �Nº Nº Nº ¾ ¾ Nº M ¸ º ¹ º Nº ¸ ¸ ¹ º ¾ º ¾ º º º l¸ M º ¿¼¼º ¿¼½º ¿¼ ¿¼ ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º º ¿¼¿º ¿¼ º º ¿¼¾º ¿¼ ¹ º º º º º º º º ¸ ¹ º º ¿¼ º ¸ ¹ º ¿¼ ¹ º º ½ �º ¸ ¹ º ¿½¼º º º ¿½½º º ¹ ¿½¾º º º º ¿½¿º ¿½ ¿½ º º º º ¹ º Aº º A¸ º ¹ º ½ �ý ½ ü ¸ þº º º ÿ º ý ¾ º » º º º ü ¸ ¸ ½ º º ÁÁº ¾ ü ¸ º ÿº ýº ÿ ¿ ¸ º º ü º ¸ º º ¸ º » ¸ ½ º ÁÁº » º ü ¸ ½ º ü º ¹ º º ÿ º ¾ º » þº º ý º ¸ ½ º ÁÁº ý þº ¸ þº º ý º º » º ¸ þº º º » ¸ ½ º ü ý ¾ º ü º º ÿ º » º ¸ ½ ½ ¼º ¸ º �ý ¸ üº º þº В. ý » С.ºþº . º º º ¸ üº º » üº ½ ¸ ¸ ¸ ½ º º ¹ º º þ ¸ ½º ¸ º þº º þº ½¼ º ¸ º ½½ º º ¸ Ⱥ » ý ü ÿ ¸ ¾¼½¾º º » º ¸ ½ º ¼º » º ¸ ½ ½ ¼º �Оглавление Введение. Краткая историческая справка 3 ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 5 § 1. Определение проективного пространства и проективной плоскости § 2. Расширенная плоскость и расширенное пространство как модели проективной плоскости и проективного пространства § 3. Координаты точек на расширенной плоскости и в расширенном пространстве § 4. Проективные координаты точки на проективной плоскости § 5. Проективные координаты на проективной прямой § 6. Уравнение прямой на проективной плоскости § 7. Нахождение точки пересечения двух прямых. Уравнение пучка прямых § 8. Принцип двойственности § 9. Теорема Дезарга § 10. Частные случаи теоремы Дезарга и их применение к решению задач § 11. Группа проективных преобразований § 12. Проективные отображения и преобразования прямых § 13. Перспективные отображения прямых и пучков 5 9 12 18 23 24 27 31 34 38 41 48 51 ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 60 § 14. Двойное (сложное) отношение 60 178 �§ 15. Гармонические четверки точек и прямых § 16. Гармонические свойства четырехвершинников и четырехсторонников § 17. Проективная классификация линий второго порядка § 18. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой на проективной плоскости § 19. Касательная к линии второго порядка на проективной плоскости § 20. Полюсы и поляры линии второго порядка. Полярное соответствие § 21. Конструктивные теоремы теории линий второго порядка § 22. Геометрия на плоскости с фиксированной прямой § 23. Евклидова геометрия с проективной точки зрения Приложение. ЗАДАЧИ Раздел 1. Проективное пространство 1. Определение проективного пространства и проективной плоскости 2. Расширенная плоскость и расширенное пространство 3. Проективные координаты точки на прямой 4. Проективные координаты точки на проективной плоскости 5. Уравнение прямой на проективной плоскости. Уравнение пучка прямых 6. Принцип двойственности 7. Теорема Дезарга 8. Проективные преобразования плоскости 9. Проективные отображения и преобразования прямых и пучков Раздел 2. Основные факты проективной геометрии 10. Двойное (сложное) отношение 75 77 80 83 86 89 100 112 120 125 126 126 127 128 131 133 137 139 149 153 156 156 �11. Гармонические четверки точек и прямых. Гармонические свойства четырехвершинников и четырехсторонников 12. Проективная классификация линий второго порядка 13. Полюсы и поляры линии второго порядка 14. Конструктивные теоремы теории линий второго порядка 15. Линии второго порядка в евклидовой плоскости Библиографический список 161 164 165 168 170 176 � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Проективная геометрия Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. проективная геометрия. 4. проективное пространство. 5. задачи (геометрия). 6. решение задач. Description An account of the resource Проективная геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 180 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Наряду с теоретическим материалом, изложение которого сопровождается многочисленными примерами решения задач, в пособие включен сборник задач. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п., ссылки на внешние документы – приложения. Приложения можно открывать так же, как вложения, при этом происходит автоматический показ слайдов. Программа «Адобе Акробат» позволит установить необходимое время демонстрации каждого слайда. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 27.04.17 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova1.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova1.pdf</a> Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Геометрия задачи (геометрия) Математика проективная геометрия проективное пространство решение задач