1 5 3 http://www.journal-altspu.ru/files/original/72/60/cover.png 6be6477521255c504ae62a8d2ecc8321 http://www.journal-altspu.ru/files/original/72/60/lvova.pdf a8c2bd36a603581fe53849ce7db0a2d7 PDF Text Text �þ ý ü þü ü ü “ ü ” ºþº ÿ ý ¾¼½ Об издании - 1, 2, 3. ISBN 978-5-88210-822-8 �УДК 514(075) ББК 22.151я73 Л891 Львова, Л.В. Геометрия. Преобразования и построения [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л.В. Львова. – Барнаул : АлтГПУ, 2016. ISBN 978-5-88210-822-8 Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов по разделам «Преобразования плоскости» и «Геометрические построения на плоскости». Изложение теоретического материала сопровождается многочисленными примерами решения задач. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 24.03.2016 г. Деривативное издание Текстовое (символьное) электронное издание Системные требования: 1. ПК с процессором Pentium 133 или более мощным. 2. Операционная система Microsoft Windows (для работы с русским интерфейсом операционная система должна обеспечивать поддержку кириллицы). 3. Требования к оперативной памяти зависят от используемой операционной системы: для Windows – не менее 16 МБ. 4. Свободное место на жестком диске: 5-10 МБ. 5. Программа Adobe Reader 5.0 – 10.0, Adobe Acrobat 6.0, 7.0. Об издании - 1, 2, 3. © Алтайский государственный педагогический университет, 2016 �Объём издания - 1 174 КБ. Дата подписания к использованию: 23.05.2016 Федеральное г осударственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский г осударственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru Об издании - 1, 2, 3. �ÿ ½ ｺ þ ¸ ¹ º ½º½ º ÿ f ´ ¹ ¸ X µ Y¸ x X ¹ y º Yº Yº f :X→Y − X f (X) y = f (x) x f X x∈X y ∈Yº ½º¾ º f :X →Y ´ ½µ ¹ µ¸ X Y ´ ¾µ º µ¸ f (X) = Y ¸ Y º X ¿µ ¹ ¿ �´ µ¸ ¹ º þ ¹ ¸ ¹ º ﾺ ÿ º ¾º½ º Φ Φ º ¾º½ º ´ µº G ¹ Φ ¹ º G º þ ¹ º f ¸ g◦f g g◦f ¹ f g¸ ¸ (g ◦ f )(M) = g(f (M))º M ∈Φ ¸ ¹ f¸ gº º 1 ºü ◦ ¹ h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f ¹ �f ∈ G¸ g ∈ G¸ h ∈ Gº M Φ f (M) = M ¸ g(M ) = M ¸ h(M ) = M º (h ◦ (g ◦ f ))(M) = h((g ◦ f )(M)) = h(g(f (M))) = h(g(M )) = h(M ) = M ((h ◦ g) ◦ f )(M) = (h ◦ g)(f (M)) = (h ◦ g)(M ) = h(g(M )) = h(M ) = M º ¸ M ∈ Φ (h ◦ (g ◦ f ))(M) = ((h ◦ g) ◦ f )(M) ¸ ¸ h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f º ◦ 2 º G º Φ ¸ ¹ M ∈Φ Mº ¸ ¸ º º ¹ Φº e ¹ Φº ¸ M ∈Φ e(M) = M e ∈ Gº ¹ e G ¹ ¸ e◦f = f f ◦e = f ¹ f ∈ Gº ¸ M Φ f (M) = M º (e ◦ f )(M) = e(f (M)) = e(M ) = M = f (M) (f ◦ e)(M) = f (e(M)) = f (M)º ¹ ¸ e◦f = f f ◦ e = fº 3◦ º G º f Φº f ¸ Φ f ¸ ´ f µº ¸ ¹ f −1 ¸ ¹ f¸ M ∈Φ f¸ º M f (M) = M ¸ Φµ º f ´ º f (M ) = M ¸ f ¸ ¸ ¹ −1 ¹ ´f −1 M1 = M2 −1 (Φ) = Φ �f −1 (M1 ) = f −1 (M2 )µ Φº þ f º f (M) = M ¸ G ¸ M ∈Φ¹ f ∈ G ¹ º −1 −1 (f ◦ f )(M) = f (f (M)) = −1 −1 f (M ) = M = e(M)¸ (f ◦f )(M ) = f (f −1 (M )) = f (M) = −1 M = e(M ) ¸ ¸ f ◦ f = e f ◦ f −1 = e¸ −1 º º f ¹ fº ¸ G º ¾º½ º ¹ º ¾º¾ º H H G G¸ ¹ ¹ ¸ Gº ¾º¾ º ´ µº H ¸ G ¸ ¸ 2 º 1º f ∈ H¸ f ∈ H¸ g ∈ H¸ f −1 ∈ H º ¹ g ◦ f ∈ Hº �H º º Gº 1 ¸2 ¹ ¹ º º H G¸ ¹ 1 2 Gº ¸ 1 ¸ Hº 1◦ − 3◦ º 1◦ º ü H¸ Gº 2◦ º f ¹ f H −1 f ◦ f = e¸ e ∈ Hº −1 Hº 2 1 f −1 ◦ f ∈ H º ¸ G¸ Hº ∈ H e ¸ 3◦ º ¸ 2 º ¹ ¸ H H ¹ � ¸ ¿º½ º ¹ O ij | i | | j | | i | j | ½º | Oi j ¸ ¹ ¸ M ¹ (x, y) O ij M ¹ (x, y)¸ Oi j ¸ ¹ º ½ º ¹ ¸ º ¸ º M¸ N |M N | = |MN|º M¸N º ¹ º M(x1 , y1 ) N(x2 , y2 ) (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 º |M N | = (x2 − x1 )2 O ij º |MN| = M¸N M¸ N (x1 , y1)¸ (x2 , y2 ) ¹ Oi j + (y2 − y1 )2 = |MN|º �½◦ º ¹ º f º O ij ¸ Oi j ¹ ¸ ¹ Ax + By + C = 0 ´¿º½µ ¸ O ij º M ∈ ´¿º½µº M = f (M) ¸ ¹ M¸ ¸ f( ) M ∈ Oi j ¹ ´¿º½µ¸ º ¾◦ º = ¸ f ( )º σ º ¸ σ σ Oi j O ij O ij ¸ f¸ º Ax + By + C = 0¸ σ ¸ Ax + By + C > 0 ¹ Ax + By + C < 0. σ = f (σ) ´¿º¾µ Oi j ´¿º¾µº = f ( )º ¹ ¹ ¸ σ ¹ �¿º¾ º A¸ B ¸ C ¸ ´ µ −→ AC º ¸ ¹ ¹ −−→ BC º (AB, C) A¸ B ¸ C º ¸ −→ AC (AB, C) = −−→ . BC ¿◦ º ¹ º f O ij º ¸ Oi j O ij C ¹ ¸ ¹ A(x1 , y1)¸ B(x2 , y2 )¸ C(x, y)¸ −→ AC AB λ = −−→º CB ¸ ¹ ¸ x= x1 + λx2 , 1+λ A¸B¸C y= y1 + λy2 . 1+λ A¸ B ¸ C Oi j C (x, y) AB ´¿º¿µ λº (A B , C ) = (AB, C)º ½¼ ´¿º¿µ ¹ A (x1 , y1 )¸ B (x2 , y2 )¸ C λ = −(AB, C)¸ �¿º¿ º ý C A¸ B ¸ C AB ¸ A B¸ C λ > 0º ◦ º ¹ º ◦ º ¹ ¸ º þ ◦ ¸ ½ ◦ ◦ ◦ ¸ ¿ º ◦ º º f O ij O i j m º O ij A1 x + B1 y + C1 = 0, ¸ ¸ A2 x + B2 y + C2 = 0. ¸ ¸ tg ( , m) = ¸ m ¸ A2 B1 − A1 B2 . A1 A2 + B1 B2 m Oi j tg ( , m ) = tg ( , m)º ◦ ¹ ¹ ¸ ( , m ) = ( , m)º ¸ º º ½½ ¸ �º A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0¸ m A2 B2 = . A1 B1 ´¿º µ = f ( )¸ m = f (m) ´¿º ºµº ¸ mº ¿º½ º ¹ º ¿º f ¹ a −→ A = f (A)¸ B = f (B)¸ AB = aº º þ −−→ a =AB¸ a ¸ AB º a¸ ¹ a¸ ¾ ◦ º ◦ º ¹ ¸ ¹ º ½¾ �¿º½ º f Oi j O ij ∠(i, i ) = ϕ O (x0 , y0 )Oij ¸ M(x, y)Oij ¹ ¸ M (x , y )Oij x = x cos ϕ − εy sin ϕ + x0 ¸ y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0 ¸ ´¿º µ ε = ±1º ¿º½ º M (x, y) M ¹ M Oi j O ij º ¸ þ ¹ ¸ ¹ O ij Oi j M º þ (x, y) ´¿º µº M¸ ¹ ´¿º µ M M O ij º ¿º¾ º ´ O ij µº ¹ ¹ f º ¹ M(x, y) M (x , y )¸ f ´¿º µ¸ º º ½¿ �−→ i = OA¸ O = f (O)¸ A = f (A)¸ Oi j ¸ −−→ j = OB º B = f (B)¸ º ¹ O(0, 0)¸ A(1, 0)¸ B(0, 1) ´¿º µ O (x0 , y0)¸ A (cos ϕ+x0 , sin ϕ+ y0 )¸ B (−ε sin ϕ+x0 , ε cos ϕ)+ y0 º −−→ −−→ i = OA¸ j = OB i (cos ϕ, sin ϕ)¸ j (−ε sin ϕ, ε cos ϕ)º þ i j i ⊥j ¸ i j = cos ϕ(−ε sin ϕ) + sin ϕ(ε cos ϕ) = 0¸ | i |= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1¸ | j |= (−ε sin ϕ)2 + (ε cos ϕ)2 = 1º Oi j º ¾ M º Oi j (x1 , y1 )º ¹ º −−−→ O M = x1 i + y1 j º ¹ −−−→ OM¸ i ¸ j ¸ O ij º ¹ (x cos ϕ−εy sin ϕ, x sin ϕ+εy cos ϕ) = x1 (cos ϕ, sin ϕ)+ y1 (−ε sin ϕ, ε cos ϕ)º ¸ x1 = x¸ Oi j º ¿º¾ ½ º º M (x, y)º f ¸ ¿º½ y1 = y ¸ ¹ �¿º¿ º ´¿º µº ε = +1 ¸ Oi j O ij ε = −1 ¸ º ¿º º ¹ ¸ ¹ ¹ ´¿º µ¸ ε = +1 ε = −1º ¸ ¹ ¸ ¹ º ï º º½ º ¹ ´ µ ¹ ¸ ¸ º º M¸N M¸ N M N = MN º ¸ º º ½ ¹ �º½ º º º½ º ¹ º f º a ¸b a −−→ −−→ OA¸ b = OB¸ B = f (B) ´ º ¿º a¸ b −→ −−→ O a = OA¸ b = OB º b a = A = f (A)¸ º ¹ º −→ AB = −−→ −→ −−→ −−→ −−→ OB − OA¸ A B = O B − O A º º ¿ −→ 2 −−→ 2 −−→ −→ −→ AB = OB − 2OB OA + OA 2 , −−→ 2 −−→ 2 −−→ −−→ −−→ A B = O B − 2O B O A + O A 2 . ¸ f −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ |A B | = |AB|¸ |O B | = |OB|³ |O A | = |OA|º −→ 2 −−→ 2 −−→ 2 −−→ 2 −→ 2 −−→ 2 AB = A B ¸ OB = O B ¸ OA = O A º º ¸ −−→ −→ −−→ −−→ OB OA = O B O A ¸ º ab = a b º ½ ¸ �º½ º º f º º þ −→ −−→ OA¸ j = OB º f (B) ¹ −−→ −−→ OA¸j =OB ¹ ¹ O ij i= O = f (O)¸ A = f (A)¸ B = O ¸ A¸ B ¸ i = i¸ j º ¹ ¸ ¹ i j ¸ |i | |j | |i| |j| Oi j ¹ º M(x, y) M = f (M) M ¹ º Oi j º ¹ −−−→ OM = (x1 , y1 )º x1 i + y1 j º ¹ −−−→ OM i = i¸ j º −−−→ 2 2 x1 i +y1 i j ¸ O M j = x1 i j +y1 j º i 2=j 2= 1 i j =0´ µ¸ −−−→ −−−→ O M i = x1 ¸ O M j = y1 º þ º −−−→ −−→ 2 x1 = O M i = OM i = (xi + y j) i = x i + y ij = x¸ i 2 = 1¸ i j = 0º ü ¸ y1 = yº ¸ f M(x, y)Oij M (x, y)O i j ´ µ º º ½ ½¸ �º¾ º ¹ ¸ ¹ º º ¹ º ï º º½ º ¹ M ¸ ¹ M ½µ ¾µ MM ⊥ KM = KM K = MM ∩ ¸ º S º ¹ º º½ º º º O ij j⊥i þ O∈ ¸ i ¸ M(x, y) ¹ ¸ M (x , y ) º K = MM ∩ º −−→ −−→ −−→ OM = OK + KM ¸ −−→ −−→ −−→ OK = xi¸ KM = y j º þ OM = −−→ −−−→ ¹ OK + KM ¸ ¸ ½ º �¸ −−−→ −−→ KM = −KM º ¸ −−→ OM = xi − y j x = x, y = −y º ´ º½µ ´ º½µ ε = −1¸ ϕ = 0◦ ¸ x0 = y0 = 0º ´¿º µ ¸ º º½ º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º º¾ º P ¹ f¸ º º f (P ) = P ¸ P º 1◦ º ¹ º 2◦ º ¸ ¸ ½ ¹ º �a ¿◦ º K¸ a ¹ K¸ ¸ a ◦ ´ º ¹ µº a º ¸ a ¸ a ¸ º ◦ º ´ º º µº º º º ◦ º ¸ º º¿ º Φ¸ S º ◦ º ¸ O ¸ º ¾¼ �◦ º þ ¸ ¹ º ◦ º þ ¹ ¸ º ½¼◦ º þ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º ï º º½ º º º f¸ g M¸ N º M = f (M)¸ N = f (N) M = g(M )¸ N = g(N )º f ¸ M N = MN ¸ ¸ g ¸ M N = MNº M N = MN ¸ M N M¸ N g ◦ fº ¸ g◦f º ¾½ �º¾ º ¹ ¸ ¸ º f º ¸ A¸ B ¸ C º þ ¹ M = f (M)º M M º ¹ M = M¸ ¹ M¸ f (A) = A¸ f (B) = B ¸ ¸ M = Mº f (C) = C ¸ f ¸ AM = AM ¸ BM = BM ¸ CM = CM º ¸ A¸ B ¸ C MM ¸ º º º ¹ ¹ ¸ ¸ M ¹ M = M¸ f ¸ ¹ º º¿ º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ º f º B ¹ M ∈ / AB A¸ º þ M = f (M)º A¸ B ¸ M f º¾ º º ¾¾ M = M¸ �M¸ M = Mº f ¹ AM = AM ¸ BM = BM MM º A∈ ¸ ¸ B∈ ¸ A Sº S (B) = B ¸ S (A) = A ¸ MM ¸ º M º½ µ¸ B MM ¹ ´ ¹ M ¹ S ◦ fº ¹ A¸ B ¸ M (S ◦ f )(A) = S (f (A)) = S (A) = A¸ (S ◦f )(B) = S (f (B)) = S (B) = B ¸ (S ◦f )(M) = S (f (M)) = S (M ) = M º ¸ A¸ B ¸ M ¸ ¸ ¹ S ◦f ¸ º½ º º¾ S ◦ f = e¸ e ¹ º S = S ◦ e = S ◦ (S ◦ f ) = (S ◦ S ) ◦ f = e ◦ f = fº ¸ f ¹ S¸ = AB º º º º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º f º A M¸ º þ A¸ f (M) = M º¿ M = M¸ fº º f e ¾¿ ¹ �Sm ´m = AM µº M = Mº f ¸ A ∈ ¸ ¸ º AM = AM ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ MM º S ◦f A M (S ◦ f )(A) = S (f (A)) = S (A) = A¸ (S ◦ f )(M) = S (f (M)) = S (M ) = M º ¹ ¸ A M S ◦ f¸ ´ º½ µº ¹ º¿ ¹ e Sm ´m = AM µº S ◦ f = e¸ S ◦ f = Sm º f = S ´ º º¿ µº S ◦ (S ◦ f ) = S ◦ Sm º ¹ (S ◦ S ) ◦ f = S ◦ Sm º S ◦S = e f = S ◦ Sm ¸ e ◦ f = f¸ ∩m=A º º º ´ µº þ ¹ º f º ¸ º º þ M M = M¸ f (M) = M f ¹ º ¹ ¸ ¹ ¹ º ¸ MM S ◦ f¸ M = Mº M¸ ¾ �º ¸   e , S ◦ f = Sm ,   Sm ◦ Sp . S ◦ f = e¸ ¸ S ◦ f = Sm ¸ f = S ◦ Sm ´ º º µº S ◦ f = Sm ◦ Sp ¸ f = S ◦ (Sm ◦ Sp ) ´ ½º ¾º ¿º º¿ ¸ f =S º µº ï º º½ º ¸ Ta ¸ a¸ ¸ M ¹ −−−→ MM = aº M º ½º aº ¸ a = 0¸ Ta º þ ¹ Ta ¸ a = 0º ¾ �þ º Ta º þ O ij y − y = a2 º a(a1 , a2 )º þ M(x, y) M = Ta (M)º (x , y ) ¹ −−−→ Mº MM (x − x, y − y)º ¹ ¸ x − x = a1 ¸ x = x + a1 , y = y + a2 º ´ º½µ þ ¸ ´ º½µ¸ ¹ a(a1 , a2 )º ¸ ´ º½µ Ta º º½ º ¹ º º ´ º½µ ´¿º µº ´¿º µ ε = +1¸ ϕ = 0¸ x0 = a1 ¸ y0 = a2 ¸ ´ º½µº ¸ ¹ ¸ º º½ º ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ º ¾ �½◦ º ´ µ º ¾◦ º ¸ ¸ º ¿◦ º ¸ ¸ ¹ º Ta º ¸ ¹ ¹ aº = Ta ( )º ¹ ½ º þ K ∈ ¸ K L ∈ L º ¹ ¸ ¸ ¹ −−→ −−→ KK = LL º ◦ −−→ −−→ KK = a¸ LL = aº ¹ KK L L ¸ KL||K L ¸ º º || º º ¸ ¹ º ◦ º º Tb ◦ Ta = Ta+b º ¾ �M º −−−→ −−−→ M1 = Ta (M)¸ M = Tb (M1 )¸ MM1 = a¸ M1 M = bº −−−→ (Tb ◦ Ta )(M) = Tb (Ta (M)) = Tb (M1 ) = M MM = −−−→ −−−→ MM1 + M1 M = a + b¸ º º M = Ta+b (M)º M ¸ Tb ◦ Ta = Ta+b º ◦ º Ta −1 = T−a º º M = Ta (M)¸ −−−→ MM = a Ta M −−−→ M M = −aº Ta −1 (M ) = M º º ¹ ¸ ¹ ¸ a¸ −aº ï º º½ º a b −→ −−→ OA = a¸ OB = bº OA OB ¸ º¾ º ´ a µ a b¸ a {a, b} {a, b} b¸ º ¾ ¸ − ¸ ¹ b �a b¸ ¹ 0¸ º a ↑↓ b¸ −π º ∠(a, b) (a, b) a bº ¸ −π < ∠(a, b) πº º¿ º ϕ RO ¸ ¸ O ¹ ϕ ¸ M ½µ ¾µ ¹ OM = OM ∠MOM = ϕ M ´ ¹ µº þ º O ij ¹ ¹ ϕ RO ¹ ¸ º M ϕ M = RO (M) M(x, y)¸ M (x , y )º þ þ −−→ −−→ ∠(i, OM)¸ α = ∠(i, OM )º ¹ α = º ½¼ −−→ −−→ x = |OM| cos α¸ y = |OM| sin α¸ −−→ −−→ x = |OM | cos α ¸ y = |OM | sin α º OM = OM −−→ −−→ ∠(i, OM ) = ∠(i, OM) + ∠MOM ¸ ¾ ∠MOM = ϕº α = α + ϕº �−−→ x = |OM| cos(α + ϕ) = OM(cos α cos ϕ − sin α sin ϕ) = = (OM cos α) cos ϕ − (OM sin α) sin ϕ = x cos ϕ − y sin ϕ¸ −−→ y = |OM| sin(α + ϕ) = OM(cos α sin ϕ + sin α cos ϕ) = x sin ϕ + y cos ϕ¸ º º x = x cos ϕ − y sin ϕ, y = x sin ϕ + y cos ϕ. f ¸ ´ º½µº ´ º½µ ¸ f ¹ ºþ M(x, y) M (x y )º þ OM OM 2 2 OM = x + y OM = x 2 + y 2 = = (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + (x sin ϕ + y cos ϕ)2 = ¸ OM = OM º M = f (M)¸ x2 + y 2 º MOM −−→ −−→ OM OM xx + yy −−→ −−→ cos MOM = cos (OM, OM ) = −−→ −−→ = 2 = x + y2 |OM| |OM | x(x cos ϕ − y sin ϕ) + y(x sin ϕ + y cos ϕ) (x2 + y 2) cos ϕ = = = x2 + y 2 x2 + y 2 = cos ϕ ∠MOM = ϕº ϕ M = RO (M) ϕ f = RO º ¸ M ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ´ º½µ ϕº ¿¼ �º½ º º º ´ º½µ ´¿º µº ¸ ¹ ε = +1¸ x0 = ¸ y 0 = 0¸ ¸ ¸ ¸ º º½ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ º ½◦ º º ¾◦ º º º ϕ RO ¸ º ¹ ¸ = ϕ RO ( OA ϕ A = RO (A)º A ∈ ) O º ¹ ´A ¸ ∈ µ ¹ ¹ OA = OA ¸ ¿½ º ½½ �∠AOA = ϕ ∩ OA ⊥ º OABA ¸ B = º þ A ¹ Aº 180 º (180◦ − ϕ) = ϕº ◦ ¿◦ º ¸ ∠AOA + ∠ABA = ∠( , ) = 180 − ∠ABA = 180◦ − ◦ −1 (Rϕ = R−ϕ O) O º ϕ M = RO (M) Mº OM = OM ∠MOM = ϕº ϕ −1 (RO ) M¸ OM = OM ∠M OM = −∠MOM = −ϕº ¸ −ϕ RO º º ◦ º M ¸ ¹ ϕ ϕ+ψ Rψ º O ◦ RO = RO M º þ M1 = ϕ RO (M) ψ RO (M1 )¸ ¹ M = OM = OM1 ¸ OM1 = OM ∠MOM1 = ϕ¸ ψ ϕ ψ ϕ ∠M1 OM = ψ º (RO ◦ RO )(M) = RO (RO (M)) = ψ RO (M1 ) = M ¸ ¸ ¹ ¸ OM = OM ∠MOM = ∠MOM1 + ∠M1 OM = ψ ϕ ϕ+ψ (RO ◦ RO ((M) = RO (M)º ¸ ¹ ϕ + ψ¸ O ϕ ψ ¹ O ϕ + ψº ¿¾ �ï º º½ º ZO O ¹ M ¸ M ½µ ¾µ M ∈ OM OM = OM Oº ¸ M M ◦ 180 ZO = RO ¸ ¸ ◦ ½ ¼ º º º ¹ þ º O ij ¹ Z ¹ ¸ M ¸ M = Z(M) M(x, y)¸ M (x , y )º ¸ ¹ −−→ −−→ ¸ OM = −OM º −−→ −−→ OM(x, y)¸ OM (x , y )¸ º ½¾ x = −x, y = −y. þ ´ º½µ ¹ ´ º½µ¸ ¿¿ �º ¸ ´ º½µ ¹ º S(x0 , y0)¸ ¸ x − x0 = −(x − x0 ), y − y0 = −(y − y0 ). ´ º¾µ º½ º ¹ º º ¸ ´ º½µ ´¿º µ ε = +1¸ ϕ = 180◦ ¸ x0 = y0 = 0º ¹ º º½ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º ½ º ¹ ◦ º ¿ �¾◦ º ¸ ¸ º ¿◦ º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ º ◦ º ¹ º ◦ º ¹ ¸ º ¹ ¸ º ◦ º ZO ◦ ZO = eº ◦ º −−→ º ZO2 ◦ ZO1 = T2− O1 O2 M º þ M1 = ZO1 (M) M = ZO2 (M1 )º −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ O1 M1 = −O1 M ¸ O2 M = −O2 M1 º −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ MM = MM1 + M1 M = (MO1 + O1 M1 ) + (M1 O2 + −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ ¸ O2 M ) = 2O1M1 + 2M1 O2 = 2O1 O2 ¸ Mº ¸ M = T −−−→ (M)º 2O1 O2 ¸ M = (ZO2 ◦ ZO1 )(M)º ¸ ¹ ¿ �¹ º ï½¼º ½¼º½ º S ,a Ta S a º S ,a = S ◦ Ta º a ¸ S ◦Ta = Ta ◦S ¸ ¸ ºþ ¸ ¸ ¹ ¹ º þ S ,a º º O ij þ ¸ O ∈ a(a1 , 0)º T ¸ i º þ M(x, y) S a M(x, y) −→ M1 (x1 , y1 ) −→ M (x , y ). º ½¿ Ta : x1 = x + a1 , y1 = y. S : x = x1 , y = −y1 . ´½¼º½µ ¿ ´½¼º½µ ´½¼º¾µ ´½¼º¾µ �x = x + a1 , y = −y. ´½¼º¿µ ¸ ¹ ¸ ´½¼º¿µ¸ ¹ º ½¼º½ º ¹ º º ¸ ´½¼º¿µ ¹ ε = −1¸ ϕ = 0¸ x0 = a1 ¸ y0 = 0º ´¿º µ ½¼º½ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º ½◦ º º ¾◦ º ¸ ¸ ¸ º ¿ �¿◦ º ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ◦ º ¹ ¸ ¹ ϕ¸ ¸ ϕ¸ ¹ ´ µº ½ ï½½º ¹ N ½µ ¾µ ¿µ µ N N N N fº þ = 0¸ f = 1º f =2 = 3º ¸ ï º ¸ 0 N S ◦ S = eº ¸ ¿ 3º �½½º½ º ¹ ¹ ¸ ¸ º S º Sm ¸ mº m hº þ Mº ¹ M1 = S (M)¸ M = Sm (M1 ) ¸ M = (Sm ◦ S )(M)º ¸ ¹ MK = KM1 = MM1 ∩ µ¸ MM1 ⊥ M1 L = LM ´L = M1 M ∩ mµ¸ M1 M ⊥mº ¸ º ½ MM −−−→ −−−→ −−→ M KL = hº MM MM MK+ −−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ KL KM1 · M1 L + LM 2KM1 + 2M1 L 2KLº þ ´K º ¸ − → (M)º M = T2− KL M¸ ¹ ¹ Sm ◦ S = − →º T2− KL ½½º¾ º þ º º Ta º þ K ⊥aº K þ ¿ ¹ �KL −−→ KL = ¸ m¸ ½½º½ −−→ 2KL = a¸ − →º Sm ◦ S = T2− KL 1 2 aº L º Sm ◦ S = Ta º ½½º¿ º ¹ ¸ º S º Sm ¸ ¸ ∩ m = Oº m αº þ ¹ Mº M1 = S (M)¸ M = Sm (M1 ) ¸ M = (Sm ◦S )(M)º O m¸ ¸ º ¹ ¸ º ½ OM = OM1 ¸ ∠MOK = ∠KOM1 ´K = MM1 ∩ µ OM1 = OM ¸ ∠M1 OL = ∠LOM ´L = M1 M ∩ mµº ¸ OM = OM ¸ MOM ∠KOL = α ´ M µº 2KOM1 + 2MOL MOK + KOM1 · M1 OL + LOM 2α 2KOL 2αº ¸ M = RO (M)º ¹ 2α M¸ Sm ◦ S = RO º ¼ �º þ ½½º º ϕ RO º þ º ¹ O m α ¸ ϕ º 2 µ ½½º¾ Sm ◦ S = 2α RO 2· ϕ ϕ = RO 2 = RO º N =3 ½½º º ¹ º º ¸ ¹ m¸ pº Sm ◦ S = Ta ¸ ½½º½ 1 Ta ¹ ¸ ¸ Sp ◦Sm ◦S e◦S S º º º m¸ Sp ◦(Sm ◦S ) Sp ◦Ta ½½º Ta = Sm ◦ S º þ ¸ pº Sp ◦(Sp ◦S ) (Sp ◦Sp )◦S º ¹ º º ½ �º ½½º ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º º ¸ m¸ pº Sp ◦Sm ◦S Sp ◦ Sm ◦ S = (Sp ◦ Sm ) ◦ S . A = m ∩ p ϕ = (m, p) m pº A Sp ◦ Sm m ∩ p = A (m , p ) = ϕº Sp ◦ Sm ´½½º½µ m⊥ Sp ◦ Sm ¸ Sp ◦ Sm ¸ ½½º¾ 2ϕ RA º ½½º¿ ¹ (Sp ◦ Sm ) ◦ S = (Sp ◦ Sm ) ◦ S = Sp ◦ (Sm ◦ S ). ´½½º¾µ m Bº B Sm ◦ S m ⊥ º Sm ¸ ⊥p ◦S = ◦ 2·90 RB = ZB º Sp ◦ (Sm ◦ S ) = Sp ◦ (Sm ◦ S ). ´½½º¿µ ´½½º½ ¿µ º ½ Sp ◦ Sm ◦ S = Sp ◦ (Sm ◦ S ) = (Sp ◦ Sm ) ◦ S . ¾ ´½½º µ �p m ¸º Sp ◦Sm º Sp ◦Sm = Ta ¸ ¸ ½½º½ µ ¸ ¸ Ta ◦ S = S a a⊥p ⊥m ¸ ´ ¹ º ,a º ¹ ¸ Sp ◦ Sm ◦ S = S ,a º m p¸ º Sm ◦ S m ¹ Sm1 ◦ S 1 ¸ Sm ◦S = Sm1 ◦S 1 º ½½º ⊥p 1 m1 ¸ mº ¸ º º þ ¹ º S ,a aº 1 Ta = Sp ◦ Sm ¸ º Ta ◦ S ¸ Sp ◦ Sm ◦ S º ½½º º ´ S ,a = S ,a = p mº µ ½µ ¾µ ¿µ µ ´ µ µ º ¿ ¸ ¹ �¸ ¸ ´ ¹ ¸ ¹ µ ¸ º º ¹ º ï½¾º ÿ þ ｺ ¸ ¹ ¾º½ º þ ´ e ¸ ¹ f −1 fº ¹ ¹ º ¸ ¹ ¸ ½ ¾ º ½¾º½ º ¸ ¹ º º ½ º f g ¹ º ¸ º ¸ º ¸ g◦f f �g g◦f ¸ ¸ ´ ¸ ¾ º g◦f f ¹ ¹ º½ µº º f º f −1 ¸ º ½ ¸ ¾ f −1 ½¾º½ º ý Φ º º ´ ´Φ ¹ º ∼ = Φµ¸ Φ Φ =Φ ¸ Φ µ f¸ Φº ¸ ´ µ ¸ ½µ ¾µ ¿µ º ¹ º Φ=Φ Φ =Φ⇒Φ=Φ Φ = Φ, Φ = Φ ⇒ Φ = Φ º ½¾º¾ º ¹ ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ º ¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ �¸ º ¾µ ¿µ ´ ◦ ¸ º ¿¾µº ◦ ¸ ◦ ¸ º ¾ ¸ ¾ µ ◦ ´¿ ¸ �ÿ ¾ ｿº ½¿º½ º ¹ O ij | i |=| j |= k | i |= k | j |= k ¸ (x, y) M Oi j ´ Oi j ¸ ¼µº M O ij ¹ (x, y)¸ ¹ ¸ kº ¹ ¸ º º ¹ ¸ M¸ N |M N | = k |MN|º k¸ M¸N º º ¹ �O ij º N M M(x1 , y1 )¸ N(x2 , y2)º |MN| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 º M¸N M¸ N ¹ ¹ (x1 , y1 )¸ (x2 , y2 ) |M N | = ¹ Oi j º −−−→ 2 MN = º ½ ((x2 − x1 ) i + (y2 − y1 ) j )2 (x2 − x1 )2 i 2 + (x2 − x1 ) (y2 − y1 ) i j + (y2 − y1 )2 j k 2 (x2 − x1 )2 + k 2 (y2 − y1 )2 = k |MN|¸ k2 i j = 0 º i 2 2 =j 2 º ½◦ º º ¾◦ º ¹ ¹ = f ( )º ¸ ¿◦ º º ◦ º º ◦ º ¹ ¸ º = �◦ º ¹ º ◦ º ¹ ¹ º º º ◦ º ¹ ¸ ¹ º þ ¸ º ü ½¿º½ º O ij f Oi j k ¹ ¸ ∠(i, i ) = ϕ M(x, y)Oij O (x0 , y0 )Oij ¸ M (x , y )Oij x = k(x cos ϕ − εy sin ϕ) + x0 ¸ y = k(x sin ϕ + εy cos ϕ) + y0 , ε = ±1º ´½¿º½µ �º M ¹ M (x, y) ¹ Oi j M ¸ ¹ O ij º O i1 j1 ¸ º ½ 1 i1 = i , k i1 þ | i1 |=| 1 j1 = j . k ´½¿º¾µ j1 1 1 1 i |= | i |= k | i |=| i |, k k k | j1 |=| j | . O ij ¸ O i1 j1 M º (x1 , y1 ) O i1 j1 º þ ¹ ¸ O ij M O i1 j1 º þ º x = x1 cos ϕ − εy1 sin ϕ + x0 , y = x1 sin ϕ + εy1 cos ϕ + y0 , ε = ±1º (x1 , y1 ) þ ´½¿º¿µ M ¹ −−−→ OM (x, y)º {i1 , j1 } {i , j }º −−−→ 1 O M = x1 i1 +y1j1 = x1 i k ¸ +y1 ¼ 1 j k = 1 1 x1 i + y1 j , k k �−−−→ O M = xi + y j . −−−→ OM {i , j } 1 x1 , k x= y= x1 = kx, 1 y1 . k y1 = ky. ´½¿º µ ´½ º µ ´½ º¿µ¸ (x, y) ´½¿º½µº M¸ ´½ º½µ ¹ M M O ij º ½¿º¾ º ´ µº f ¹ M(x, y) M (x , y ) ¹ O ij ¸ M ¹ M f ´½¿º½µ¸ º ¹ ¾ º ½¿º½ ½¿º¾ ½¿º¿ º ¹ ´½¿º½µº ε = +1 ¸ Oi j O ij ¸ º ½ ε = −1 ¹ �½¿º¾ º ¹ ¸ ´½¿º½µ¸ ε = +1 ε = −1º ¸ ¸ ¹ º þ º þ ½¿º º º ¹ ¸ k > 0¸ kº ½¿º½ º f ¹ ¸ ¹ ¹ k > 0º a b a b = k 2 a bº ¸ ¹ a b ¹ ½¿º ¹ ¹ ´ º º½ ¸ º½ µº ¾ �½¿º ¹ ¹ º ½¿º¿ º k>0 ¹ ¸ ¹ kº ¸ ï½ º ÿ ½ º½ º ÿ O k= 0 ¸ M M −−→ −−→ OM = k OM. ´½ º½µ º ¾¼ º HOk ¹ O kº ¿ �½ º¾ º ÿ Φ Φ = HOk (Φ)º M ½µ M ¹ Oº M ¾µ ¿µ µ M k > 0¸ O¸ k < 0º OM =| k | OM º ¸ k=1 k = −1 º þ ºþ Oi j ¸ º HOk º M (x , y ) −−→ −−→ OM(x, y) OM (x , y )º ¹ M(x, y) M ¹ ´½ º½µ x = kx, y = ky. x0 , y − y0 ) −−→ SM (x − x0 , y − y0 )º ´½ º¾µ S(x0 , y0)¸ −−→ SM (x− ¹ �S x − x0 = k(x − x0 ), y − y0 = k (y − y0 ). ¸ ¸ ´ µ ´½ º¿µ ´½ º¿µ x = kx + a, y = ky + b. ý ¹ a = x0 − kx0 ¸ b = y0 − ky0 ¸ ´½ º µ ´ µ ¸ ´ k = 1µº M¸ N M¸N −−−→ −−→ M N = k MN . ´½ º µ º þ −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ MN = ON − OM ¸ M N = ON − OM ¸ −−→ −−→ −−→ −−→ OM = k OM ¸ ON = k ON −−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ M N ON − OM k (ON − OM) k MN º ½ º½ º ÿ ¹ k M N = |k| MN º | k |¸ ¹ −−−→ −−→ | M N |=| k | | MN | �½ º¾ º −−−→ −−→ M N ↑↑ M N ¸ −−−→ −−→ M N ↑↓ M N ¸ k > 0¸ k < 0º ½ º¿ º ÿ ¸ ¹ º ½◦ º ÿ ¹ º ¾◦ º ÿ ¸ ¸ ¸ º ¹ ¸ ¹ ¸ º ´k ¿◦ º ÿ = 1µ ¹ ¸ ¸ ¸ º ¸ º ¹ �◦ º ÿ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ r = | k | rº ◦ º þ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ º ω(A, r) º º ω A K1 AK ¸ A K2 K K1 K K2 O1 = AA ∩KK1 ¸ O2 = AA ∩ KK2 ¹ k1 k2 HO 1 HO 2 ¸ K K K1 K2 º ω (A , r ) AK AK ω¸ AA ¸ º ¹ ¹ º ¾½ A ¸ A¸ −−−→ −−→ A K1 ↑↑ AK ¸ k1 = þ −−−→ −−→ −−−→ −−→ A K1 = k1 AK ¸ A K2 = k2 AK −−−→ −−→ A K2 ↑↓ AK ¸ r , r r k2 = − . r ¸ k1 k2 ´½ º µ HOk11 HOk22 ¸ ¹ ´½ º µ¸ �ω ◦ º ωº 1 k −1 (HO ) = HOk º HOk (M)¸ M = −−→ −−→ OM = k OM 1 k M = HO (M ) M 1 k (HOk )−1 º 1 k º −−→ OM º ¸ M = (HOk )−1 (M )¸ ¸ (HOk )−1 (M ) = HO (M ) ◦ −−→ OM = M º ¹ 1 k = HO º k2 k1 k1 k2 HO ◦ HO = HO º HOk1 O M º M1 = HOk1 (M) M = HOk2 (M1 )º M = (HOk2 ◦ HOk1 )(M)º þ ¹ −−→ −−−→ −−→ −−→ OM = k2 OM1 k2 (k1 OM) (k2 k1 ) OM º ¸ M = HOk1 k2 (M) M HOk2 ◦ HOk1 (M) = HOk1 k2 (M)º ¹ º HOk2 º ◦ º k2 k1 HO ◦ HO = 2 1 k1 k2 HO , Ta . º ´½ º µº ¹ ¸ �¸ ¸ k1 k2 = 1µ ´ ◦ ¹ k1 k2 = 1µ¸ ´ º º ÿ ¹ º H º ´½ º¾µ ∆= k 0 = k 2 > 0. 0 k ∆ > 0 º ´ µº A¸ A O ∈ AA Mº M º ½µ ¾µ ¿µ Mº º OM = ¸ AM = m m m¸ A ∈ m M = ∩m º º H O¸ A M = ∩m¸ H( ) = ¸ A ∈ m A ∈ m H(M) = H( ∩ m) º ¾¾ Aº ¾ ◦ ◦ ¿ O∈ H( ) ∩ H(m) ¹ ´ ¸ º ï½ ºµ H(m) = m ¸ º ∩m = M º �º þ B B M ∈ OA¸ ¸ B∈ / OA ¸ B ¸ A ¸ A¸ M º ï½ º ½ º½ º þ ¹ k ¹ º Pk º O ºþ H O º H −1 ¹ k¸ H ¹ ¹ 1 º k f = P k ◦ H −1 ¹ ¸ M N −1 M1 = H (M)¸ N1 = H −1 (N) M = P k (M1 )¸ º N = P k (N1 )º ¹ M1 N1 = 1 MN, k ¸ N = f (N) º M M N = k M1 N1 . M N = MN º N f ◦H (P k ◦H −1 )◦H ¼ M = f (M)¸ ¸ f k −1 P ◦(H ◦H) �Pk ◦ e P kº ï½ º ÿ ½ º½ º ¹ ¹ ¸ º º k1 P k1 ½ º P k2 ¸ k2 ¹ P k2 ◦ P k1 k1 k2 º ¹ ¸ ´ º P k2 k1 ¹ ¾º½ µº ¹ ◦P M N k2 k1 k2 k1 M = (P ◦ P )(M)¸ N = (P ◦ P )(N) ¹ k1 M N = k2 k1 MN º M1 = P (M) N1 = P k1 (N)¸ M = P k2 (M1 )¸ N = P k2 (N1 )º ¹ M1 N1 = k1 MN ¸ M N = k2 M1 N1 º M N = k2 k1 MN P k2 ◦ P k1 º k ¾ º P º Pk k¸ ¹ k −1 (P ) 1 k −1 º ¸ (P ) ¹ k ¸ 1 º k ½ ¾ º ¸ ¸ º ½ ¸ ¸ ¹ ¹ �½ º½ º ý Φ ¸ Φ¸ Φ ∼ Φ¸ ¸ Φ ¹ Φº ½ º¾ º ¹ º º ½µ ¾µ ¿µ ¸ Φ∼Φ´ µ Φ ∼Φ ⇒ Φ∼Φ ´ Φ ∼ Φ¸ Φ ∼ Φ ⇒ Φ ∼ Φ ¹ µ ´ µº ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ½ º¾ º º ¾ �½ º¿ º ½µ ¾µ ¿µ µ º º ½µ ´ ¸ ½¾º¾ µ º ¾µ ¿µ ◦ ◦ ´ ¸ º ¾ µ¸ ´ ◦ º ´ µ¸ ½ ◦ ¸ ¾ ◦ ´ º º ¾ µ ¸ ¸ ¸ ◦ ¸ µ ◦ ´½ º µ ï½ º ¿ ´ º½µ µ �ÿ ¿ ü ï½ º ü ½ º½ º O e1 e2 O e1 e2 º ¹ M ¸ (x, y) M O e1 e2 ¸ ¹ O e1 e2 (x, y)¸ ¹ ¹ º º ¾¿ ¸ ¹ º ¹ �º ¸ ´ ¹ º ｺµ º ½◦ º ü º ¾◦ º ü ¹ ¹ = f ( )º ¸ ¿◦ º ü ¹ º ◦ ºü ¹ ¸ ◦ º ºü ¹ ¹ º ½ º½ º ü ¹ ¹ º �◦ ºü ¹ ¸ ¹ º þ ½ ◦ ¸ ◦ ◦ ¸ º º ü ¹ ¸ º ¸ º f AB ¸ CD AB¸ C D A = f (A)¸ B = f (B)¸ C = f (C)¸ D = f (D)º ◦ ¹ ¸ ◦ ½ ¸ ¸ º º AB µ CD º D C BD ¸ AB −−→ −−→ F B = CD ¸ ¹ B ¹ ¸ ¹ Fº ¹ º ¾ ¹ CF BD º ◦ F = f (F )º ¹ �−−→ −−→ F B =CDº CFBD þ ¹ ¿º¾ −−→ AB (A F , B ) = −−→ . FB −→ AB (AF, B) = −−→ , FB ¹ ´ (AF, B)º ¸ −−→ −−→ AB AB −−→ = −−→ = (A F , B ) = (AF, B) = CD FB µ A¸ B ¸ C ¸ D A¸ B¸ C ¸ D þ (A F , B ) = µ¸ −→ −→ AB AB −−→ = −−→ . FB CD º º ¹ E∈ / ¹ m m E −− → −−→ EG = CD º ¹ E = f (E)¸ G = f (G)¸ m = f (m)º E ∈ m¸ G ∈ m¸ m ¸ −−→ −−→ º ¾ ¹ EG = CDº µ ´ = mµ −−→ −→ AB AB −−→ = −−→ . EG EG −−→ −−→ −−→ EG CD ¸ E G º −−→ −−→ AB AB −−→ = −−→ . CD CD −−→ CD ¹ �½ º¾ º ü ¹ º ½ º½ º ¹ ´ A¸ B ¸ C µº A¸B¸C º A ¸ º −−→ −−→ {A , A B , A C }º ¹ A¸ B B¸C C º º −→ −→ R = {A, AB, AC} R = ¹ fº f ¹ A A¸ B B¸ C C ¸ A(0, 0)R A (0, 0)R ¸ B(1, 0)R B (1, 0)R ¸ C(0, 1)R C (0, 1)R º º ¾ º º ¹ f g¸ ¹ A A¸ B B¸ C Cº þ ¹ M −−→ M = f (M) M = g(M)º M(x, y)R º AM −→ −→ −→ −−→ −→ −−→ xAB + y AC º xAB = AM1 ¸ y AC = AM2 º ¹ AM1 MM2 º ◦ A M1 M M2 �g¸ g(M2 )¸ M1 = g(M1 )¸ M2 = ◦ ¸ −−−→ −−−→ −−→ −−→ A M1 AM1 A M2 AM2 −−→ = −→ = x, −−→ = −→ = y. AB AC AB AC −−−→ −−→ −−→ A M = xA B +y A C ¸ º º M (x, y)R º f R R¸ M (x, y)R ¸ ¹ ¸ M M f (M) = M ¹ f = gº Mº g(M)º ¸ ½ º¿ º ¹ f R R¸ ¹ R1 R1 ¸ R1 ¸ R1 = f (R1 ) º ½ º¾ º ¹ f O e1 e2 O e1 e2 ¸ e1 = a1 e1 + a2 e2 ¸ e2 = b1 e1 + b2 e2 O (x0 , y0 )Oe1 e2 ¸ M(x, y)Oe1 e2 M (x , y )Oe1 e2 ¹ x = a1 x + b1 y + x0 , y = a2 x + b2 y + y0 , ∆ a1 b2 − a2 b1 = 0º ´½ º½µ �º ¹ M (x, y) M ¹ M O e1 e2 ¸ O e1 e2 º þ ¸ O e1 e2 O e1 e2 ¹ M º þ (x, y) ´½ º½µº M¸ ¹ ´½ º½µ M M ¹ O e1 e2 º ½ º¿ º ´ µº ¹ f M(x, y) M (x , y ) ¹ O e1 e2 ¸ M M ´½ º½µ¸ f ¹ º ¸ ½ º¾ ½ º º ½ º¿ º ü ´½ º½µº ¸ ∆>0 O e1 e2 ¸ º ¼ O e1 e2 ∆<0 ¹ �½ º¾ º ü ¸ ´½º½ º½µ¸ ¹ ∆>0 ¹ ∆ < 0º º ü ¸ ¹ ¹ º ï½ º ½ º½ º ¹ ´ µ ¹ ´ µ xx¸ ´ xxµ k M ¸ M ½µ ¾µ MM −−−→ −−→ XM = k XM ¸ ¹ X = MM ∩ xxº º ¾ ½ �k > 0¸ ½µ xx¸ ¸ M M k < 0¸ M ¾µ M ¹ ´ ⊥xx k = −1µº þ º ¹ O e1 e2 xx¸ e2 e1 ¸ ¸ O ∈ xx¸ M(x, y) M (x , y ) ¹ −−→ rº OM = xe1 + y e2 = −−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ OX + XM ¸ OM = OX + XM = −−→ −−−→ OX + k XM = xe1 + kye2 º −−→ ¸ OM = x e1 + y e2 º º ¾ x = x, y = ky. ´½ º½µ þ ¹ ´½ º½µ¸ ¹ ´ µº ½ º½ º ¹ º º ¸ ´½ º½µ ¹ ¹ ´½ º½µ ¾ ¸ �´½ º½µ b2 = k ¸ a1 = 1¸ b1 = a2 = 0¸ x0 = y0 = 0 ´½ º½µº ½ º½ º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º º ½◦ º ¹ ¹ º ¾◦ º ¹ ¸ ¸ º ¿◦ º ¹ ¸ ¸ ¹ º ½ º¾ º Φ º ¿ Φ �◦ º ¸ ◦ º º ¸ ¸ º ½ º¿ º ÿ a ¸ ¹ b ¹ a a ¸ b b º º ◦ º þ ¹ º º r ¹ xx ¹ ¸M M = r(M) º p ¹ MM ω(O, OM)º þ xx X Yº a = XM ¸ b = Y M a = XM ¸ b = Y M º ¾ ¸ ¹ ¸ º �a = r(a) º º b = r(b)º ω¸ a ⊥b º a⊥b ¸ XY ∠XMY = 90◦ ¸ ∠XM Y = 90◦ ¸ p xx p xx¸ MM ⊥xxº þ a b a = MM ¸ b M xx a = a b bº xx¸ M M r ºþ Oº p þ ¸ ¹ ¹ xxº º ´ º µº xx Mº ¸ º M ¾µ ¿µ µ µ ¸ Mº º AM X = AM ∩ xx XA m AA ¸ M ∈ m M = XA ∩ mº º ¸ º ¿¼ M¸ ¸ ¸ XA¸ ¸ º A ¸ º ½µ A º mº AM xxº ¸ M ¸ º º XA ¸ ¸ M Mº ¹ ¹ ¸ AM AA ¸ xx¸ �ï½ º ÿ ½ º½ º º º f ½ º g ¸ ¹ R R ¸ R1 R1 R1 º ½ º¿ R1 R R º ¹ R = f (R) R = g(R )¸ R = (g ◦ f )(R)º ¹ ¸ M M(x, y)R º M = f (M) M = g(M )¸ ¸ f g ¸ M (x, y)R M (x, y)R º M = (g ◦ f )(M) ¸ ¹ Mº ¸ g ◦ f ¸ R R º ¾ º f ¸ ¹ R Rº ¹ f −1 R Rº þ M M = M = f (M)º f ¹ f −1 (M )º ¸ M(x, y)R M (x, y)R º ¸ ¹ −1 f ¸ f¸ f −1 º º ¸ ¹ ¹ º �½ º½ º ý Φ ¸ Φ¸ ¹ ¹ ¸ Φ ¹ Φº ½ º¾ º ü ¸ º º ¸ ¹ º ü ¹ ¸ ¸ º º ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¸ ¸ ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ½ º¿ º ¹ ½µ ¾µ ¸ ¹ �¿µ ¹ ´ µº º ï¾¼º ¹ º ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ º f Ψ ´Ψ = Φ1 ∩ Φ2 µ Φ1 ¸ Φ2 Ψ = f(Ψ)¸ Φ1 = f(Φ1 )¸ Φ2 = f(Φ2 )¸ f(Ψ) = f(Φ1 ∩ Φ2 ) = f(Φ1 ) ∩ f(Φ2 ) = Φ1 ∩ Φ2 = Ψ . º ½º AB ¸ ¸ O ¹ ¹ º º ¸ ¹ O AB º A m⊥ M =m∩ ¸ ¹ ¹ º ¿½ ¹ �B p⊥ Z ¾ ¸ P = p∩ Oº = Z( )º ◦ m º ¹ O∈ AO = OB ¸ B = Z(A) p ¹ A Bº p = Z(m)º Z(M) = Z(m ∩ ) = Z(m) ∩ Z( ) = p ∩ = P º ¸ M P O º Z(AM) = BP º ¹ ¸ AM = BP º ¾º BA BC ABC a a ¸ K = a ∩ BA¸ L = a ∩ BC ¸ L = a ∩ BC ¸ K = a ∩ BA¸ L = a ∩ BC º K K b b¸ L L ¹ ◦ ¿ c cº PP ¸ ¸ P = b∩c P = b ∩c ¸ Bº º K º ¿¾ H K = H(K)º B ¹ ◦ ¾ º b = H(b)¸ K K H(L) = H(a ∩ BA) H(a) ∩ H(BA) Lº c c L L¸ ¸ ◦ ¿ ¸ c = H(c)º ¸ H(P ) H(b ∩ c) H(b) ∩ H(c) b ∩ c P ¸ º º B ∈ PP º ¿ ◦ ¹ a = H(a) º ¹ a ∩ BA = P P �¿º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º f¸ º ABCD ABC Dº ¹ ¹ þ º ¿¿ ¹ ADE ´E = AB ∩ CD ¸ E = A B ∩ C D µº ¸ ADE ¹ ¸ S¸ ADE¸ º K BC ADº ¹ EK º AD ´ K BC AD ¸ ADº ABC Dµ ABCD º AD¸ EK¸ ¹ º S(B ) = S(A E ∩B C ) = S(A E ) ∩ B C ¹ S(B C ) = D E ∩ B C = C ¸ º º EKº ¸ L = B C ∩E K BC¸ ¸ ¸ L BC ABCD ¸ ¼ �L ∈ EK º ¹ S(B ) = C º S(D ) = A ¸ BD CA F = BD ∩CA F = BD ∩ CA¸ f EK º ¸ ¸ E = AB ∩ CD ¸ F = BD ∩ AC ¸ K BC º ½ EK º þ ¹ F ¸ ¹ AD L �ÿ ÿ ï¾½º º ü þ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ º 1◦ º 2◦ º ´ µ ¸ ¹ º 3◦ º ¸ ¹ ¸ º 4 ◦ 5 ◦ º ¸ º º ¸ ¹ ¸ º 6 ◦ º ¹ ¸ 7◦ º º ¸ º 8◦ º ¸ º ¾ ¹ �7◦ ü ¸ 8◦ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ º ¹ ¸ º ü 1◦ µ ¸ 2◦ µ ¸ 3◦ µ ¹ ¸ ¹ º º þ 1 4◦ ◦ ¸ 3◦ ü 2◦ 2◦ º º 1◦ µ ¸ ¹ ¸ ´ µ 2 ◦ µ ¹ ¸ º º ü ¹ ¸ ¿ ï¾ º �½º ¸ º ¾º ¸ ¹ º ¿º ¸ º º ¸ ¹ ¸ º º ¹ ¸ º º ¸ ¸ ¹ º º º º º º ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ º ½¼º ¸ º ï¾¾º º ¸ ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ ´ ¹ ¸ µº ¸ º ¹ �¸ ¸ ¹ ¸ ¸ º ¹ ¹ ¸ ¸ º þ ¸ ¹ º ¸ º ¹ ¸ ¹ ¹ º ¹ º ¹ ¸ º º ¹ ¸ ¸ ¹ º ¸ ½º ¸ ¾º º ¸ º ¿º ¸ º º ´ ¹ µº º ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¹ �¸ º º ¸ ¸ ¹ º º µ µ µ º º ¹ µ µ µ µ µ º ½¼º ¹ º ½½º ¸ ¸ ¹ ¹ º ½¾º ¹ º ½¿º ¹ º ﾿º º �Φ10 ω(O, r)¸ ´ aµ O ¸ ¹ ¹ r a º 2 a¸ ω(O, r)º ¸ Φ10 º º ½µ ¾µ ¿µ µ µ A∈ω ω (A, a) B ∈ (ω ∩ ω ) C ∈ AB ¸ AC = CB ω1 (O, OC) = Φ10 ¸ r2 − OC = Φ12 º ¿ a2 º 4 ´ ¸ ¹ ¸ ω¸ O r √ aµ a2 + r 2 º ¹ a¸ ω(O, r)º Φ12 º º ½µ ¾µ ¿µ µ P ∈ω P E⊥P O Q ∈ P E¸ P Q = a ω (O, r )¸ r = OQº ω = Φ12 ¸ r Φ13 ´ ω(O, r) √ r 2 + a2 º º ¿ ¸ ¹ ϕµ O r¸ r ¹ �ϕ 2 ¸ ´r = r/ sin ϕ µº 2 ω(O, r)¸ ϕº Φ13 º º ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ P ∈ω P E⊥P O ϕ ϕ ◦ µ 90 − 2 2 ∠P OF = 90◦ − ϕ 2 Q = P E ∩ OF ω (O, r )¸ r = OQº ω = Φ13 ¸ r = r º sin ϕ2 º ¿ ϕ ∠P QO = 2 Φ14 ´ AB ¸ ¹ ϕµ ´ ¹ µ r= a º 2 sin ϕ ϕ¸ AB = aº Φ14 º º ∠BAC = ϕ ¾µ AD⊥AC ¿µ S ∈ AB ¸ AS = SB ¸ SE⊥AB µ O = AD ∩ SE ½µ º ¿ ¹ �µ µ µ µ O = SAB (O) ω(O, r)¸ r = OA ω (O , r) AGB∪ AG B ´G ∈ ω ¸ G C G = SAB (G)µº AGB∪ AB ¸ AG B = Φ14 ¸ r= a º 2 sin ϕ Φ15 ´ a : cos(90◦ − ϕ) = 2 ¸ ¹ A m¸ nµ B ü º AB º m¸ nº Φ15 º º AX ¾µ C ∈ AX ¸ AC = m ¿µ {D, E} = AX∩ ω (C, n) µ p BE ¸ C ∈ p µP = p ∩ AB µ q BD ¸ C ∈ q µ Q = q ∩ AB µ S ∈ P Q¸ P S = SQ µ ω(S, SP ) = Φ15 ¸ AP AC m AQ AC m = = ¸ = = . P B CE n QB CD n ½µ Φ16 ´ ¸ ¹ A pµ ¹ ¸ º ¿ B ¹ �AB K AB ¸ p2 + a2 AK = º 2a AB ¸ pº Φ16 º º BE⊥AB X ∈ BE ¸ BX = p ¿µ AX µ Y ∈ (AB ∩ ω(A, AX)) µ Y F ⊥AY º ¿ µ G = Y F ∩ AX µ H ∈ AG¸ AH = HG µ K ∈ (AB ∩ ω (A, AH)) µ KL⊥AB º ºþ ABX º KL = Φ16 º ◦ ∠B = 90 ¸ AB = a¸ BX = pº ¸ AX = 2 2 2 2 a +p º Y ∈ ω¸ AY = a + p º ¹ BX⊥AB ¸ GY ⊥AY BX Y G AB AX AX · AY p2 + a2 = º AG = = º ¹ AY AG AB a 1 p2 + a2 AH = AG¸ ¸ AH = º K ∈ ω¸ 2 2a p2 + a2 AK = ¸ ¸ KL⊥AB º 2a ½µ ¾µ Φ17 ´ ¸ ¹ A qµ AB B ¹ S ¹ a ´r = r¸ 1 2q 2 − a2 µº 2 ¼ √ q 2 �AB = a¸ q º Φ17 º º P ∈ AB ¸ AP = q ¾µ AE⊥AB ¿µ Q ∈ AE ¸ AQ = q µ ω (B, P Q) µ C ∈ (ω ∩ AE) µ S ∈ AB ¸ AS = SB ¸ SF ⊥AB µ M = SF ∩ BC µ ω(S, r)¸ r = SM º ½µ º ω(S, r) = Φ17 º º º ¼ AP Q ¸ ¹ √ P Q = q 2 + q 2 = q 2º þ ABC ¹ √ ∠A = 90◦ ¸ AB = a¸ BC = P Q = q 2º √ AC = (q 2)2 − a2 = 2q 2 − a2 º ¸ SF AC ´ AB µ S ¹ AB ¸ ¸ M BC º 1 SM = AC ABC º ¹ 2 1 ¸ r = SM = 2q 2 − a2 º 2 ï¾ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º º ü ¸ ºþ ´ ½ ¹ �¸ ¸ µ¸ ¸ ¹ º ¹ Φ1 Φ2 Φ3 ¸ Φ1 ¸ Φ2 ¸ º º¸ ¸ ¹ º º ¹ ´ µ¸ ¹ º ¹ ¸ º ¸ ¹ º ¸ º º ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ º ¸ ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¸ º α¸ b¸ hº ¾ �ABC ∠A = α¸ ¾µ b = AD ¸ ∠BAD = ∠DAC ¿µh = AH ¸ AH⊥BC º ½µ º ü ABC º ¸ ºþ α¸ hº b AHD ¸ ¹ AH AD º ¸ ´ º º B µº C ¹ HD ¸ AB AC AD ¸ º αº B ¸ ½ ¹ C ¹ HD º ü º b hº b > h¸ AHD º º AHD ∠H = 90◦ ¸ AH = h¸ AD = b α ¾µ 2 α ¿µ ∠DAE = ¸ 2 α ∠DAF = ¸ E 2 ½µ ¹ µ µ F AD º HD B = AE ∩ HD C = AF ∩ HD ¿ ¾ �ABC º µ º ü ¸ ∠DAC = ½µ α 2 ∠BAD = ∠EAD = α º 2 ´ º ¿µº ∠A = ∠BAD + ∠DAC = α α + αº ¾µ AD = b ´ º 2 2 ¿µ AH = h¸ AH⊥BC ´ º ½µ ´ HD ´ º µµº ½µ¸ º AD ¹ B ´ º ¿µº C AHD µ ´ b>h ¹ º b = h¸ º þ º ¹ ¹ AD º D ´b ¸ H = Dº ¹ ¸ B H = hµ¸ ⊥AD ¸ ¸ º º α < 180◦ ¹ ¸ b = h¸ ¹ C AE AF º þ α < 180◦ ¸ b hº ý º ¿ ´ º ¾ ¹¾ µº ï¾ º ¸ ¹ º ¹ ´ µ¸ ¸ º ¹ �º ¸ ¹ ¹ º þ ¸ º Φ Φ º Φ Φ ¸ ¸ º Φ = Φ ∩Φ ¹ ¸ ¸ ¸ º ½º ¸ ¹ ¹ º r ¸ A¸ º º ω(O, r) A ∈ ω ¸ ω∩ = {B} ´ ü º µº ¸ ω ω º O ¸ OB º ¹ ω º ¹ OB⊥ ¸ ¸ B rº ¸ Oº ¸ O A ¸ º Oº ¸ Φ ¿ r Φ º Φ ¸ ¸ rº º ¹ º Φ6 ¸ ¹ ¸ ¹ �rº Φ ¸ º r ¹ ¸ ω1 (A, r)º O¸ O ∈ (Φ6 ∩ ω1 )º Φ6 ω1 ¹ A º ¸ º ü º º ½µ ¾µ ¿µ µ ω1 (A, r) Φ6 µ M ∈ ¸ µ m⊥ ¸ M ∈ m¸ µ{E, F } = m∩ω2 (M, r)¸ µ a ¸ E ∈ a¸ µ b ¸ F ∈ b¸ µ Φ6 = a ∪ b O ∈ (Φ6 ∩ ω1 ) ω(O, r)º º O ∈ ω1 ´ ¿µ¸ OA = r ¸ A ∈ ωº O ´ º¿µ¸ OB = r OB = r ¸ ¸ Bº ¹ ¸ ¹ º OB B ∈ ωº ω º ω1 ¸ ¸ Φ6 º º h AB OA + OB ¸ ¸ A º h AB º OA + OB = r + r = 2r ¸ h 2r º h 2r º º h = 2r ¸ ¸ ¸ O ∈ Φ6 OB⊥ º º þ h < 2r ¸ ¹ ¹ �A ¸ b r¸ a r ω1 º ¾º ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º a¸ hº ABC ½µ ¾µ ¿µ BC = a AD = h¸ AD ∠(BE, CF ) = 90◦ ¸ BE CF º º ü º ¹ ¸ O = BE ∩CF º ¸ ½µ ¾µ ∠BOC = 90◦ º Φ6 BC º ABC O BC ¸ O Φ1 º Φ6 º ¹ 1 3 ¸ h¸ ¹ ¸ BC º 1 h¸ 3 º ü Φ1 º ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ º µ º BC = a BC = a S ∈ BC ¸ BS = SC ω(S, SB) m BC O ∈ω∩m SO A ∈ SO ¸ OA = 2SO ABC º º 1 3 h �O A OK AD BC ¸ h O∈m ¸ ¸ OK = º ¹ 3 SOK SAD SO : SA = OK : AD = AD = 3OK = 3 · h3 = hº O AS 2 : 1¸ A 1 : 3º ´ º µ¸ BE CF ∠BOC = 90◦ ω ´O ∈ ω ¸ BE⊥CF ¸ ¸ ¸ º µº º º ï¾ º ¹ º ¹ ¸ ¹ ¸ º þ ¹ º º º ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ º þ º ´ ´ ¸ ¸ µ¸ ¸ ¸ ¹ �µ ¾ º½ º º ¹ º a, b, c, d, ; αº ABCD AB = a¸ BC = b¸ CD = c¸ DA = d¸ ∠(AB, DC) = αº º ü º ¹ ¸ ¹ ABCD AB E º Aº B EC = AB = a ´ ¹ −−→ BC ¸ º ¹ Cº þ ECD CD = c¸ ¹ µ ∠ECD (AB, CD) α EC AB µº ECD AED ´ º B ABCE º ¹ ü º º ECD ∠ECD = α¸ EC = a¸ CD = c ¾µ A ∈ (ω1 (E, b)∩ ω2 (D, d))¸ AE ¸ AD ¿µ p AE ¸ C ∈ p µ q EC ¸ A ∈ q µ B = p∩q µ ABCD º º º EC = a¸ AE = b¸ CD = c¸ DA = d º ABCE ´ ½µ ¹ µ¸ �AB = EC = a¸ BC = AE = b ∠(BA, CD) = ∠ECD = αº º AD + ED ¸ º ¹ ω1 ∩ ω2 A º ¸ |AD − AE| ED < |b − d| ED ECD ¹ √ < b + dº 2 2 ED = a + c − 2ac cos αº ¹ º ¸ ´ µ¸ a¸ b¸√c¸ d¸ α |b − d| a2 + c2 − 2ac cos α < b + d. þ º þ º ¹ ¸ º þ ¸ ¸ ¹ Φ1 ∩ Φ2 Φ2 ¸ Φ1 Φ2 ¸ ¹ º þ ¹ ¹ º ´ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ µ¸ ¹ ¹ ¹ ´ º µ¸ ´ ¸ µ ¾ º¾ º º º ¸ ¹ ¸ º ω(O, r)¸ P º ½¼¼ �ABCD AC ∩ BD º º ü ½µ ¾µ º ABCD ∠AP B = 90◦ ¸ A P ¿µ µ µ µ = P A = P B¸ ¸ B ¸ ◦ R90 P 90◦ º ¹ B ω ω B¸ C C ¾µ ¿µP ¸ º º þ ½µω A ∈ ω¸ B ∈ ω ¹ ω¸ D º º 90◦ = RP (ω) 90◦ µ O = RP (O)¸ µ ω (O , r) B ∈ω∩ω ◦ A = R−90 (B) P 90◦ C = RP (B) ◦ D = R90 P (C) ABCD º º ABCD P ¸ º ¼ ∠AP B = ◦ ∠BP C = ∠CP D = 90 P A = P B = P C = P Dº B ∈ ω ◦ ¾º B ∈ ω ´ º¾µ A = R−90 (B) ´ º¿µ P A ∈ ωº ¸ º º ¸ ¸ ¹ ¹ º ¸ ½¼½ ¸ ¸ ¹ �¸ ¸ º ¹ ¸ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ¾ º¿ º ABC ¸ AB : BC = m : n ´m¸ n AC º ∠A¸ µ ¹ α¸ m¸ n¸ aº ABC ∠A = α¸ ¾µ AB : BC = m : n¸ ¿µ BM = a¸ M ∈ AC ¸ AM = MC º ½µ º º ½ ü º ABC ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ º ¸ ¸ µ µ ¸ ¸ AB C ∠A = α¸ AB = m¸ B C = n M ∈AC¸ AM =M C BM E∈BM¸BE=a p AB ¸ E ∈ p ½¼¾ ¹ ¹ º º ¿µ ¸ AB C ¸ ¾µ ¹ º ¸ ½µ ¹ �µ µ µ M = p ∩ AC MB EB ¸ B ∈ AB BC B C ¸ C ∈ AC º º ½µ º ¹ ∠A = α ¹ ½ BC B C ´ º µ AB = m¸ B C = n ´ º ½µ ¸ AB : BC = m : n º ¾µ ¾ ¿µ B BME B M BM ´ º ´ º µ ¸ B C BC AB AM = , AB AM ´ º º µ¸ BM = B E = aº µ AB AC = . AB AC AM AC = AM AC AM = 1/2 AC ¸ AM = 1/2 AC ¸ AC BM º º º M ¹ ¹ º º þ ¾ º HKLM ¸ AC º ABC K ∈ AB ¸ L ∈ BC ¸ M ∈ AC ¸ H ∈ ABC º HKLM ½µ ¾µ ¿µ µ ¸ K ∈ AB ¸ L ∈ BC ¸ M ∈ AC ¸ H ∈ AC º ½¼¿ ¹ �ü º º ¿µ ¸ ¸ º º ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ µ K ∈ AB K H ⊥AC H K LM ¹ L = AL ∩ BC LK L K ¸ K ∈ AB LM L M ¸ M ∈ AC KH K H ¸ H ∈ AC KLMH º ¿ º A º L LK L K K Lº K AB ¸ ¸ º ü M ¸ º HKLM ¹ M¸ H H ¹ ¸ ¹ H KLM HKLM º º º ï¾ º ü ¸ º a¸ b¸ ¸ x = f (a, b, ..., )¸ x xº ½¼ ººº ¹ º ¹ �º º ¹ ¹ º ´ ½º ¾º ¿º º º º º º º ½¼º µ x=a+b x = a − b ´a > bµ x = ma ´m ∈ Nµ a x= ´n ∈ Nµ n ma x= ´m ∈ N, n ∈ Nµ n ab x= c a2 x= c √ x = √ab x = √a2 + b2 x = a2 − b2 ´a > bµ ¹ º ½º √ 3a b2 + c2 x= 5c º x º ¸ ¹ ¹ ½µ º ¾µ ½¼ √ b2 + c2 ay z= º µ c y= ´ º µ �¿µ x= 3z 5 ´ º µº º º ¾ º½ º ¹ ´ µ n f (a, b, . . . , ) ¸ f (ka, kb, . . . , k ) = k n f (a, b, . . . , )º k>0 ¸ ½ ½¼ ½º ¾ º½ º ½¸ x= a1 a2 . . . an , b1 b2 . . . bn−1 a1 ¸ a2 ¸ . . .¸ an ¸ b1 ¸ b2 ¸ . . .¸ bn−1 ¹ º º ¹ ¹ ½¼ �x1 = a1 a2 x1 a3 xn−2 an , x2 = ,..., x = . b‘1 b2 bn−1 ¾ º½ º ½µ x= ¾µ x= ¹ an bn−1 αk 2 a1α1 aα 2 . . . ak bn−1 ´α1 + α2 + . . . αk = nµº ¾ º¾ º ¹ x= Pn+1 Pn+1 (a1 a2 . . . ak ) Pn (b1 b2 . . . bm ) , Pn ´ ¹ ¹ µ n+1 n¸ a1 ¸ a2 ¸ ººº¸ ak ¸ b 1 ¸ b 2 ¸ ººº¸ bm º Pn+1 º ¹ n + 1¸ ¹ ´α1 + α2 + . . . αk = n + 1¸ A∈ Aaα1 1 aα2 2 . . . aαk k Rµ¸ Pn Bbβ1 1 bβ2 2 . . . bβmm ´β1 + β2 + . . . + βm = n¸ B ∈ Rµ nº þ a1 ¸ a2 ¸ . . .¸ ak ¸ b1 ¸ b2 ¸ ½¼ c ´ . . .¸ bm µ x �Pn+1 /cn x=c . Pn /cn−1 x1 = Pn+1 /cn α1 α2 a1 a2 . . . aαk k A cn þ x1 ½¸ ¾¸ ½ ¸ ¸ ¾ º½ ¸ ´ µº ü ¸ ¹ ½º ¹ ¸ x2 = Pn /cn−1¸ B x bβ1 1 bβ2 2 . . . bβmm cn−1 c¸ x1 ¸ x2 x= cx1 º x2 ¾ º¿ º ¹ ¸ x= R2 (a, b, . . . , ), R2 º º d þ a¸ b¸ º º º ¸ R2 d ºþ d ´ x= a¸ b¸ ººº¸ ¾ x= ¸ √ ½¼ µ y = R2 d ¹ d ¹ º dy º �º ¹ ¸ ¸ ¸ ½ ¿¸ ¹ ¸ ¸ º ¾º º ¹ ¸ º ¸ √ 4 x = a4 + b4 º º x= √ 4 a4 + b4 = ¹ √ a4 + b4 = a b4 2 a + 2= a a b2 a a2 + ¸ ½µ ¾µ ¿µ b2 y= ´ º µ a z = √ a2 + y 2 ´ x = az ´ º µº º ¹ µ ¸ ¹ eº y = f (a, b, . . . , ) ¹ ¸ a¸ b¸ º ººº¸ º ¹ a b x = ef , , . . . , e e e e yº e ¸ ½¸ ¸ ¸ ¹ a¸ b¸ º º º ¸ ½¼ ¸ eº 2 º �x ¸ ¹ yº eº ¿º ¸ y ½µ ¾µ ¿µ µ ¹ y = a2 y = ab b y= a √ y= a þ º ¹ ¸ ½µ y ¾µ y ¿µ y µ y a2 a2 =a =e 2= ´ º µ e e a b ab = = ab = e ´ º µ ee e b b/e eb = =e = ´ º µ a a/e a a a √ √ = a=e = e2 = ea e e 2 ´ º µº ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ º º þ ¸ ¹ ½½¼ �¸ º þ ï¾ º ´ ¾ º µ ¹ º º ABC º KLMH ½µ H ∈ AC ¸ M ∈ AC ¿µK ∈ AB µ L ∈ BC º ¾µ º ü º ¸ ABC KLMH º AC = a¸ h¸ E = BD ∩KL x BD = ¹ º KL||AC ¸ ABC ∼ AC KBL ¸ ¸ º = BD KL BE AC · BE = KL · BD º þ ¹ ¹ ¸ x= ah º a+h a(h − x) = xhº º º BD⊥AC ¸ D ∈ AC y =a+h ½µ ¾µ ½½½ º �¿µ µ µ µ µ µ ah y DE = x¸ E ∈ BD m AC ¸ E ∈ m¸ K = m ∩ AB ¸ L = m ∩ BC KH⊥AC ¸ H ∈ AC LM⊥AC ¸ M ∈ AC HKLM ¹ º x= HKLM ¹ ¹ HK = KLº ¸ KL AC ¸ KH⊥AC ¸ LM⊥AC DE = x¸ DE⊥AC ¸ BD AC KH = LM = xº ABC ∼ KBL = KL BE ah ah a h− KL = = KL · hº = a+h a+h x = KH º º º ¸ º ¸ ¹ ah x= ¸ a+h ah ah + h2 − ah h2 x < h ´h−x = h− = = > 0µº a+h a+h a+h ï¾ º ¸ º º ½½¾ �¹ ¾ º½ º ´ µº ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ´ º ¿ ¸ º ¿¼ ¹¿½¾µº ¾ º½ º ¹ ¹ ¸ e ¸ º º ¹ º ¸ º ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º þ ¹ ¸ ½½¿ �º ¸ º ¹ ¸ º º º ½º ¸ ¹ º R ¸ S S º x= √ πR2 = 2πR · º =S R º 2 º¸ 2 2πR¸ R=1 º 2π º S º x = πR2 ¸ º º º ¹ ¸ πº π ¸ ¸ º þ ½ ¾ ¹ º ¹ º ¹ º π º ¹ ¸ ´ º µº º ´ ¾º ´ º º µº ¹ µ¸ ¹ º a ¸ º ½¸ ¸ x x3 − 2a3 = 0. ¹ 3 x − 2 = 0. ¹ ¸ ¾º ¾ ½½ ¹ �±1¸ ±2¸ ¸ ¸ º x3 − 2 = 0 ¸ ¸ ¸ º º ¿º 1 3 ϕ ϕº ¸ 1 ϕ ¸ α = ϕ 3 º cos ϕ = cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α − sin 2α sin α = (cos2 α−sin2 α) cos α−2 sin α cos α sin α = cos3 α− 3 sin2 α cos α = cos3 α − (3 − 3 cos2 α) cos α = 4 cos3 α − 3 cos αº x b cos α = ¸ cos ϕ = 2 2 x b ¸ ¹ 2 2 ¸ ½¸ ¸ ¸ α ϕ º ϕ < 90 ◦ º x3 − 3x − b = 0º b = 1 x3 − 3x − 1 = 0º ±½ ´ ϕ = 60◦ µ ¹ ¸ º ´ 60◦ µ¸ º ¹ ¹ ¸ º ï¾ º ÿ º ½½ �¹ º º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ ¸ º ¹ º ¾ º½ º ´ ¹ þ µº ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ½ ¾ º ¾ ´ º ¿¾¿¹¿¾ µ º ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ º ¸ ´ ¹ ¸ ¸ ¹ µ¸ º AB º ½ ÿº ¾ º ´½ ¹ ºµº ¹ ¸ ¸ ½½ ÿ ´½ ¾ ºµº ¹ �Oº M ¸ º º ½µ ¾µ ¿µ µ µ º C∈ / CA¸ CB ¸ CO D = MB ∩ CO N = AD ∩ CB MN ¸ ¹ º ´ ¹ µ ¹ º ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ º º ½ ¿µ ´½ ÿ ¸ ¹ ´½ ¿¿µº º ¾ º¾ º ´ ¹ µº ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º º ¾ ´ º ¾ ½ ¾ ¿ º ´ ¸ ´½ µ ½½ ¿ µº ½ µ¸ �º þ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¸ º ü µ ¸ µ ¹ ¸ ¸ h¸ ¸ h ¹ ¸ ¹ A µ AB > h ¸ ¹ ¸ B¸ AB > h¸ ¹ ¸ ¹ B hº ¹ A ü ´½ ¾¾µº ½½ ¹ �µ ¸ ¹ µ ¹ ¸ AB µ Φ¸ ¹ Φ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ º º ¸ ¹ º º ¹ ¸ º º º ¹ º þ½ ¼ ºü º ü º ¾ º¿ º þ ¸ ¸ ´ ¸ ¸ µº º ¾ º ½½ ¹ �¸ ¹ º þ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º¸ ¸ ¹ ½ º ½¾¼ �» üº ü ¹ º ¾ ¸ ½ ü ¸ ýº ¸ ¿ ýº º » ýº ºýº ý ü º ¸ ýº ¸ ½ − º º ü ¸ º º ¸ ½ ü ¸ º þº º ý ¸ » þ º º ¸ þº º º º ÿ ¾ º » º ¸ ½ º » º º ¸ º Áº ¸ º » ÿ º ü ¹ º ü º ¹ º º ¸ º ü º » º ü ½ ¼º º º þº º þ º ½¾½ ¸ º ¸ ½ º º �ÿ º ¸ ½ ºýº º º » º º ü ¹ º ¸ ¼º ¸ ýºÿº ýºÿº ½½ º ü ø ¸ üº º º ÿ º » üº ¸ ½ ½¼ ¸ ½ º » º ø ¸ ºüº ¹ º º ¸ þºþº » þºþº º ¹ ¸ ¾¼¼¼º ½½ ¸ üºþº ÿ ½¾ ¸ ½ ¿º ¸ º º ÿ ¸ ½ ½¿ ¸ º º º º ½ º º ¹ º º » º º º º º ÿ º ¸ » üºþº ¾ ÿ ¸ ½ º º Áº ÿ ¸ ½ º º ÁÁº º ÿ º ¾ ½¾¾ º » º » �ÿ ½º ｺ ﾺ º º º º º º º º º º º º ¿ º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ÿ º º º º º º º º º º º º º  ¸ º º º º º º º º º º º º º ï º ï º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º ½ ï º º º º º º º º º º º º º º º º ÿ ¾½ ï º º º º º º º ¾ ï º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ï º º º º º º ¿¿ ï½¼º º º º º º ¿ ï½½º º º º º ¿ ï½¾º ÿ º º º º º º ¾º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ｿº ï½ º º º º º º ÿ º º º º º º º º º º º º º ¿ º º º º º ¼ ï½ º ½¾¿ �ï½ º ÿ ÿ º º º º º º º º º º º ½ ¿º ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ï½ º ü º º º ï½ º ï½ º º º ½ ÿ º º º º º º º º º º ï¾¼º ÿ º º º º º º º º º º º º º º º º ÿ º º º º º º º º ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ï¾½º º ü ï¾¾º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ﾿º º º º º º º º º º º ï¾ º º º º ï¾ º º º ½ ï¾ º º º º º º º º º º º º º º º ï¾ º ü º º º º º º º º º º º º º º ý ï¾ º º º º ï¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½¾ ½½ ½¾½ � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Геометрия. Преобразования и построения Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. преобразования. 4. плоскости. 5. преобразования плоскости. 6. аффинные преобразования. 7. геометрические построения. Description An account of the resource Геометрия. Преобразования и построения [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 1 компьютерный файл (pdf; 1.18 MB). — Барнаул : АлтГПУ, 2016. — 124 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов по разделам «Преобразования плоскости» и «Геометрические построения на плоскости». Изложение теоретического материала сопровождается многочисленными примерами решения задач. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 23.05.2016 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2016 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova.pdf">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova.pdf</a> аффинные преобразования геометрические построения Геометрия Математика плоскости преобразования преобразования плоскости http://www.journal-altspu.ru/files/original/72/88/_.png 210728705699031fc9b258ea2e4695b2 http://www.journal-altspu.ru/files/original/72/88/Lvova_.pdf 0027534d601c32c07ab8f98b2d62ab75 PDF Text Text ½ �þ ý ü þü ü ü ü ºþº þ ¾¹ ü ¸ ý ¾¼½ ÿ �УДК 514.144(075) ББК 22.151.32я73 Л891 Львова, Л.В. Проективная геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л.В. Львова. – 2-е изд., доп. – Барнаул : АлтГПУ, 2017. ISBN 978-5-88210-858-7 Рецензенты: Родионов Е.Д., доктор физико-математических наук, профессор (Алтайский государственный университет); Кизбикенов К.О., кандидат физико-математических наук, доцент (Алтайский государственный педагогический университет) Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Наряду с теоретическим материалом, изложение которого сопровождается многочисленными примерами решения задач, в пособие включен сборник задач. ____Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п., ссылки на внешние документы – приложения. Приложения можно открывать так же, как вложения, при этом происходит автоматический показ слайдов. Программа «Адобе Акробат» позволит установить необходимое время демонстрации каждого слайда. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 26.01.2017 г. Деривативное издание. Текстовое (символьное) электронное издание. Системные требования 1. ПК с процессором Pentium 133 или более мощным. 2. Операционная система Microsoft Windows (для работы с русским интерфейсом операционная система должна обеспечивать поддержку кириллицы). 3. Требования к оперативной памяти зависят от используемой операционной системы: для Windows – не менее 16 МБ. © Алтайский государственный педагогический университет, 2017 �Объём издания – 70 250 КБ. Дата подписания к использованию: 27.04.17 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru �þ º þ ¹ ´½ ´½ ½ ½ µ ¹ µ¸ ¹ ü ÁÎ º º ¹ º¸ ´½ ¿ ½ ¾µº ¸ ¹ ´½ ¾¾µ ¹ ¸ ÿ ´½ µ ¹ º ´½ ¼ ½ µ ´½ ¼½ ½ µ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¹ º º º ½ ¸ ¹ º º ü üº º ´½ ´½ ¾½ ½ µ ¹ ½ ¾ µ ¹ ¹ º ¹ ¸ º ½ ¾ ¸ º ¿ ´ÿ ¹ �µ º º ÿ ¹ ¹ º þº º ´½ ¿ ºüº ü üº ½ ¼ µ º þ ¹ º ¸ ü ´½ ½ ¾½µ þ ´½ ¸ º ½ ¾¾µ ¹ ¸ ¸ ¹ º üº ¸ ºüº ÿ º ¸ º º ¹ º ¹ º þ üº º ¹ ¸ º º º ¹ º ´½ ¼µ ¹ ºüº ÿ º þ º �ÿ ½ ü þ þ ï ½º ½º½ º ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º Á I1 º º a¸ I2 º A B¸ A Bº A �B¸ ¸ A Bº I3 º º ¸ º I4 º A¸ B ¸ C ¸ ¸ º º I5 º A¸ B ¸ C ¸ ¸ º I6 º A α¸ I7 º B a α αº β A¸ Bº I8 º ¸ º I9 º ¸ ¸ ¹ º º ½º º ¾º ¸ ¹ ¸ º a ¿º A ¹ º º º º ¸ ´ ¹ µº º º º º º º �ÁÁ II1 . º A¸ B ¸ C D¸ a¸ a A¸ B C ¸ D¸ C ¸ Dº A¸ B A¸ B ¸ C ¸ D º II2 . A¸ B C ¸ D¸ A Bº II3 . B¸ C ¸ D C ¸ D¸ B¸ A¸ C¸ D A¸ a¸ ¹ º II4 º C¸ D E a A¸ B ¸ C ¸ D ¸ E A¸ E ¸ D¸ a A¸ B ¸ C ¸ D ¸ E A¸ B ¸ C¸ E A¸ B º II5 . C¸ D C¸ E D¸ E A¸ B º II6 . A¸ B C ¸ D A ,B C ,D aº A¸ B ¸ A¸B C ¸D a C¸ D ¹ º A a S SA A¸ ¹ a A ¹ aº º A¸ B ½º a ¸ ¸ A¸ B ¸ A¸ B º ¹ �A¸ B ¸ B A¸ º ¾º A¸ B ¸ ¸ º P ¸ A¸ B a B ¿º ´ ¸ P aº D¸ P |CD F¸ aº µ P A P |AB ¸ ½ ¿ ¸ ¸ C E E D¸ F º º ½ ºµ ÁÁÁ III1 . ¹ P |AB D P |AB ¸ C¸ E ´ ¹ º ´ü a a¸ ºµ P |AB P¸ ¹ ¹ ¸ ½µ ¹ ¾µ ¿µ º ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ´ µ º �½º¾ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¹ I1−2 ¸ I3 ¸ I9 II1 − II6 III1 º ï ¾º ½º º ¸ ¸ ¹ º º ¸ º þ ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ º �¾º½ º ´ µ ¹ ¸ ½µ ¹ ¾µ µ ¸ µ ¸ ¹ º ¾º½ º ¹ º ¸ I1−2 ¸ I3 ¸ I9 ¸ º º I1−2 º A B A B ½µ º ¸ ¹ ¹ º º ¸ A Bº ¸ A B A ¾µ ¸ ¹ º ¸ B b¸ A ½¼ �a||bº ¹ a b¸ º ¸ Bº B º A a ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º A ¿µ B ¸ ¹ ¸ ¹ º I3 º ¹ ¸ º ¸ º þ ¹ º I9 º a a ½µ bº b ¸ º a||b¸ ¸ º º º a ¾µ ¸ ¸ b ¹ aº ¾º ¹ ¸ ½½ ¹ �¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ º ¹ ¹ º ´ µº ï ¿º ½º ¹ þ ¹ Oe1 e2 ¸ ¹ M ¹ (x, y) º ¿º½ º ¹ (x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸ x3 = 0¸ M(x, y)¸ x1 x2 x= , y= . x3 x3 ½¾ ¹ �º M(x1 , x2 , x3 ) (x1 ¸ x2 ¸ x3 )º M(x1 , x2 , x3 )¸ ¸ λ = 0¸ M ¹ (λx1 , λx2 , λx3 )¸ Mº (x, y, 1) Mº ¸ ✛ ¹ ¸ M ¹ ¹ ¸ ✚ þ ¹ (x, y, 1). ✘ ✙ M(x1 : x2 : x3 )¸ º P∞ ¹ ¸ ax + ¸ by + c = 0. þ ax1 + bx2 + cx3 = 0. a b ¹ ¸ º c¸ ax1 + bx2 + cx3 = 0 (b, −a, 0)¸ ¹ ¹ P∞ º ¹ (x1 , x2 , 0) ¸ P∞ . P∞ ¹ P∞ (x1 , x2 , 0) (x1 , x2 , 0)º P∞ (x1 , x2 , 0)¸ ¸ λ = 0¸ (λx1 , λx2 , 0)¸ ¹ P∞ º ¸ ½¿ �★ ✥ P∞ (x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸ x3 = 0¸ (b, −a, 0). ✧ ✦ ¾º ÿ ¹ ´ πµ ¹ º O e1 e2 π µ M(x, y) −−→ OM = xe1 + y e2 º −→ e3 = SO¸ S ∈ πº π¸ −−→ −→ −−→ SM = SO + OM = xe1 + y e2 + e3 ¸ −−→ SM (x, y, 1) {e1 , e2 , e3 }º m¸ ¹ −−→ −−→ m = λSM SM º ´λ = 0 µ m(λx¸ λy ¸ λ)º þ ¹ λx = x1 ¸ λy = x2 , λ = x3 º ¸ m(x1 , x2 , x3 )¸ (x1 , x2 , x3 ) (x, y, 1). º ¹ º º½ (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) þ (x¸ y ¸ 1)¸ −−→ SM º m¸ ½ ¹ ¹ ¹ �¿º¾ º m þ M¸ −−→ m||SM º ¸ M¸ ¹ (x1 , x2 , x3 ) M ¸ ¸ m¸ ¹ (x, y, 1)¸ ¹ (x, y) º P∞ µ ¹ π¸ º¾ ax+by+c = 0. p p (b, −a, 0) ¹ º þ p|| ¸ p = be1 − ae2 ¸ º º ¹ {e1 ¸ e2 ¸ e3 }º m ¸ ¹ p (m||p)¸ m = λp m(λb, −λa, 0)º x1 = λb¸ x2 = −λaº m(x1 , x2 , 0)¸ (x1 , x2 , 0) (b, −a, 0)º þ ¹ (x1 ¸ x2 ¸ 0)¸ p|| . P∞ (x1 , x2 , 0)¸ (b, −a, 0)¸ (b, −a, 0)¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ (b, −a, 0). ½ �¹ (x1 , x2 , 0) P∞ m¸ m|| (b, −a, 0)¸ a ¹ ¹ b πº º O(0, 0, 1)¸ X∞ (1, 0, 0) O e1 ¸ Y∞ (0¸ 1¸ 0) ¿º½ ¹ O e2 . ✬ ¸ (x1 , x2 ¸ x3 ) µM ¸ m¸ ´ ¹ M¸ ¹ {e1 , e2 , e3 }º ✫ ¿º ✩ ✪ þ ¹ O e1 e2 e3 º ¹ M (x, y, z)º ¿º¿ º ¹ ¹ (x1 , x2 , x3 , x4 ) M ¸ x= x1 , x4 y= ½ x2 , x4 z= x3 . x4 �M ¸ ¹ (x1 ¸ x2 ¸ x3 ¸ x4 )¸ (x, y, z, 1). α ax + by + cz + d = 0¸ ¼ ¹ a¸ b¸ c º þ ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0º a¸ b¸ c º ¹ (x1 , x2 , x3 , 0) ¸ ¹ º α. ¹ ¹ º ¸ ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0, x4 = 0. ¹ a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + d1 x4 = 0, a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 + d2 x4 = 0. x4 = 0¸ º ¹ ¹ ¹ ¸ (x1 , x2 , x3 , x4 )¸ ½ x4 = 0º �¹ º (x1 , x2 )¸ (x, 1)¸ x ¹ ¹ ¸ ¹ (1, 0)º ¹ ¸ e1 (1, 0) ¸ ¹ º ï º ¹ ¸ ¹ ¹ º ý ¸ ¹ º π º¿ ¹ ¸ ¹ º þ Ó π¸ S¸ ¹ ¹ ½ �e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ Sº e1 ¸ e2 ¸ e3 A1 ¸ A2 ¸ A3 þ ¹ S πº A1 A2 A3 ¸ ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 A1 ¸ A2 ¸ A3 º ¹ ¸ E¸ e = e1 + e2 + e3 ¸ Se¸ πº º½ º ¸ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E¸ ¸ ¹ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e ¹ ¹ ¹ e = e1 + e2 + e3 , ´ µ¸ B = {e1 , e2 , e3 } {e1 ¸ e2 ¸ e3 } º½ º º ¸ B = {e1 , e2 , e3 } e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸ e3 = λe3 ¸ ´λ = 0µº B ¸ ¹ ¹ º B ½µ B e1 e1 A1 ¸ ¹ e2 = λ2 e2 ¸ e3 = λ3 e3 º º ¸ º º e1 = λ1 e1 º ü ¸ ¸ ¹ e = e1 + e2 + e3 ¸ e = e1 + e2 + e3 º ½ �λ1 λ λe = λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 e λ2 λ3 = 1, λ = 1, λ = 1º + λλ2 e2 + λλ3 e3 º B ¸ λ1 = λ2 = λ3 = λ¸ ¸ e = λ1 e λ 1 ¸ e1 = λe1 , e2 = λe2 , e3 = λe3 . ¾µ B B ¸ e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸ e3 = λe3 º e1 ||e1 ¸ e2 ||e2 ¸ e3 ||e3 º ¸ e1 e1 ¸ e2 e2 ¸ e3 e3 A1 ¸ A2 ¸ A3 º ¸ e = e1 + e2 + e3 = λe1 + λe2 + ¸ e λe3 = λ(e1 + e2 + e3 ) = λeº e Eº ¸ B B º º¾ µ º (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) ´ ¹ ¹ M R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E} −−→ m ´m||SM µ B = {e1 ¸ e2 ¸ e3 }¸ º ¸ M(x1 , x2 , x3 ) ⇐⇒ m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . ¾¼ ¹ �º¾ ¹ ¹ ¹ º º º ¹ º ¸ º¾ M M ¸ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E º m¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e m ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ e ¹ ¹ ¹ ¹ º m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ¸ e = e1 + e2 + e3 ¸ e = e1 + e2 + e3 ¸ m = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ¸ e1 = λe1 ¸ e2 = λe2 ¸ e3 = λe3 ¸ ´λ = 0µ¸ m = ρm¸ ´ρ = 0µº m = ρ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) = (ρx1 )e1 + (ρx2 )e2 + (ρx3 )e3 º ¸ m = x1 (λe1 ) + x2 (λe2 ) + x3 (λe3 ) = (x1 λ)e1 + (x2 λ)e2 + (x3 λ)e3 º þ m ¹ B ρx1 = λx1 ¸ ρx2 = λx2 ¸ ρx3 = λx3 º x1 = ρ ρ ρ x1 , x2 = x2 , x3 = x3 . λ λ λ ¾½ �(x1 ¸ ¸ x2 ¸ x3 ) (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) ρ λ M ´ µº º¿ º R ßA1 , A2 , A3 , E R ßA1 , A2 , A3 , E º (x1 , x2 , x3 ) M ¹ (x1 , x2 , x3 ) ρx1 = λ1 c11 x1 + λ2 c12 x2 + λ3 c13 x3 ¸ ρx2 = λ1 c21 x1 + λ2 c22 x2 + λ3 c23 x3 ¸ ρx3 = λ1 c31 x1 + λ2 c32 x2 + λ3 c33 x3 ¸ (c11 , c21 , c31 )¸ (c12 , c22 , c32 )¸ (c13 , c23 , c33 ) A1 ¸ A2 ¸ A3 R ¸ λ1 , λ2 , λ3   λ1 c11 + λ2 c12 + λ3 c13 = b1 ¸ λ1 c21 + λ2 c22 + λ3 c23 = b2 ¸  λ1 c31 + λ2 c32 + λ3 c33 = b3 (b1 , b2 , b3 ) Rº E ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º º ¹ º ú û ¾¾ �ï º ¹ ¹ º R = {A1 ¸ A2 ¸ E} º½ ¸ A1 ¸ A2 ¸ E ¸ e = e1 + e2 º ¸ ¹ B = {e1 , e2 } ý ¹ Rº º¾ µ ¹ ´ º ¹ (x1 , x2 ) M R E ßA1 ¸ ¹ m B Rº ße1 ¸ ¹ e2 ´ º¾ µ A2 ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¹ º º½ A(1, 0)¸ º ¹ R = {A1 , A2 , E}º B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ D(2, 0)¸ F (2, −1)º ¾¿ �º S ∈ SE þ SA1 ¸ SA2 ¸ SE º q SA1 r¸ SA2 º SA2 ∩ q º P ¹ K = SA1 ∩ r ¸ L = −→ −−→ −→ SP = e¸ SK = e1 ¸ SL = e2 º þ B = {e1 , e2 } R¸ e = e1 + e2 º ¸ ¹ e1 SA1 ¸ e2 SA2 ¸ e SE ¹ ºþ ¹ a ¹ A(1, 0) e1 ¸ A A1 º ü ¹ ¸ B A2 ¸ C E º D ¹ ¹ d 2e1 º ¸ D = A1 º ¸ 2e1 − e2 º ï º ¹ ¸ f ¹ −→ f = SQº SQ F f = F ¹ º º º½ R = {A1 , A2 , A3 , E}º º A(a1 , a2 , a3 ) ¸ ¾ B(b1 , b2 , b3 )º �A Bº º º x3 ) M ∈ ¸ m = αa + β b¸ M(x1 , x2 , x3 ) a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 ) m(x1 , x2 , A¸ B ¸ M º a¸ b¸ m ¸ ´ µ   x1 = αa1 + βb1 , x2 = αa2 + βb2 ,  x3 = αa3 + βb3 . ´ º½µ ¹ m¸ ´ º½µ º a¸ b x1 x2 x3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = 0º ´ º¾µ ¸ ´ º¾µ º ´ º¾µ ¹ ¹ A(a1 , a2 , a3 )¸ B(b1 , b2 , b3 )¸ C(c1 , c2 , c3 ) º a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = 0. ´ º¿µ ´ º¾µ ¾ �a2 a3 a a a a x1 − 1 3 x2 + 1 2 x3 = 0 b2 b3 b1 b3 b1 b2 u1 = a2 a3 a a , u2 = − 1 3 , u3 = b2 b3 b1 b3 a1 a2 . b1 b2 u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0. ´ º µ ´ ´ º µ º þ u1 ¸ ´ º µ¸ µ u2 ¸ u3 ¹ ¹ ¸ º ¹ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ¸ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 u1 : u2 : u3 = u1 : ¸ u2 : u3 º º½ º u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ´u1 ¸ u2 ¸ u3 µº ¹ ¸ ¹ º º (u1 , u2, u3 ) (u1 ¸ u2 ¸ u3 )º º½ º ¹ º ¸ A(2, 1, −3) ¾ B(0, 2, 1)º AB ¹ �x1 x2 x3 2 1 −3 0 2 1 = 0. 7x1 − 2x2 + 4x3 = 0 ï º º º ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E}º þ I9 µº ´ º½ º º (u1 , u2, u3 ) m(v1 , v2 ,3 )º S º º S(x1 , x2 , x3 )º m¸ S ¸ ¹ ¹ ¸ m u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0, v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 = 0. x1 ¸ x2 ¸ x3 ¸ S ¸ ´ º½µ  x2 1  u1 x x3 + u2 x3 = −u3 ,  v1 x1 + v2 x2 = −v3 . x3 x3 ¾ ´ º½µ ¸ x3 x3 = 0º ¹ ´ º¾µ �¸ x1 ∆1 x2 ∆2 = , = , x3 ∆3 x3 ∆3 ´ º¿µ ¸ ∆3 = u1 u2 , ∆1 = v1 v2 ∆2 = u1 −u3 v1 −v3 −u3 u2 −v3 v2 u2 u3 , v2 v3 = u1 u3 . v1 v3 =− ´ º µ ´ º¿µ x1 x3 x2 x3 = , = . ∆1 ∆3 ∆2 ∆3 x1 : x2 : x3 = ∆1 : ∆2 : ∆3 ¸ º º S (∆1 , ∆2 , ∆3 )º ¸ S(∆1 , ∆2 , ∆3 ) ´ º µ¸ S= u2 u3 u1 u3 u1 u2 ,− , v2 v3 v1 v3 v1 v2 ¹ ¹ ¹ º ´ º µ º º½ º S ¹ Sº ¸ ¾ �¸ º (u1 , u2 , u3) ¹ m(v1 , v2 , v3 )º º ¹ ¸ º S ∈ p¸ ´ º µ¸ p(p1 , p2 , p3 ) S = ∩m ¹ u2 u3 u u u u p − 1 3 p2 + 1 2 p3 = 0, v2 v3 1 v1 v3 v1 v2 u1 u2 u3 v1 v2 v3 = 0. p1 p2 p3 ´ º µ ´ º µ ¸ (u1, u2 , u3 ) m(v1 , v2 , v3 )º ¹ (u1 , u2 , u3)¸ m(v1 , v2 , v3 )¸ p(p1 , p2 , p3 ) S(x1 , x2 , x3 )¸ º p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 = 0. ´ º µ ´ º µ x1 ¸ x2 ¸ x3 º þ p3 m¸ x3 = 0 p1 ¸ p2 ¸ º ✗ ✖ ¸ ¸ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ¸ º º½ º º 2x1 − x2 + x3 = 0 ¾ x1 + x2 − ✔ ✕ �º 2 −1 1 1 1 −1 = 0. u1 u2 u3 þ 3u2 + 3u3 = 0, ¸ ¸ u 2 + u 3 = 0º S(0, 1, 1) mº º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ º¾ E ¹ A1 º ¸ ¹ M(1¸3¸−2) 2x1 − x2 + 5x3 = 0º a¸ º ½µ ¸ ¹ EA1 º ¹ x1 x2 x3 1 1 1 = 0. 1 0 0 þ ¸ ¹ x2 − x3 = 0. P∞ ¾µ a ´ º ´ º µ u1 u2 u3 2 −1 5 = 0. 0 1 −1 ¿¼ ¹ �¸ 2u1 − u2 − u3 = 0. ¸ P∞ (2, −1, −1). b¸ M¸ ¿µ a MP∞ ¹ ¹ x1 x2 x3 1 3 −2 = 0. 2 −1 −1 b 5x1 + 3x2 + 7x3 = 0. ï º R = {A1 , A2 , A3 , E}º º ¹ M(x1 , x2 , x3 ) −→ (x1 , x2 , x3 )¸ (u1 , u2 , u3) −→ M (u1, u2 , u3 )¸ º M º ¸ M¸ ¸ M º ¸ ½µ ¹ ¸ ¿½ ¸ ¹ �¾µ M ∈ ¸ M∈ ¸ º M ¸ º M ∈ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0. ¸ ✤ ✣ º ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ º º½ º T¸ ¸ ¹ T¸ º T ←→ ←→ ←→ ¸ ¸ ¸ ¸ ←→ º º¸ ¸ Tº ¿¾ ¹ ✜ ✢ �←→ ½º º ¾º ¹ I1−2 µ ←→ ´ ¿º I9 µº ´ ←→ ¸ ¸ º º¾ º ¹ ¸ ¸ ¹ º º º½ ¸ º ´ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ºµ T¸ ¸ Tº º ¹ ¸ ¹ º ¸ Tº ¹ Tº ¹ T T ¸ ¿¿ º �º þ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ←→ ←→ ←→ ←→ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ←→ º ý ¹ º ½µ ¾µ ¹ º ï º º½ º ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ º º½ º A ¸ A¸B ´ A B ¸ BC B C ¸ AC ABC A B C B¸C C µº AC º ¿ ¹ ¹ AB �º½ º ´ ºµ AA ¸ BB ¸ CC ¸ ABC ABC ¸ ¹ ¹ L¸ P = AB ∩ A B ¸ Q = BC ∩ B C ¸ R = AC ∩ A C ¹ º º þ ¸ ¹ ÓÓ ¹ ¹ ¹ A → a¸ B → b¸ C → c¸ A → a ¸ B → b ¸ C → c¸ L → º L ∈ AA ¸ = αa + α a º ü L ∈ BB L ∈ CC ¸ = βb + β b = γc + ¹ γ cº º º αa + α a = β b + β b ¸ β b + β b = γc + γ c ¸ γc + γ c = αa + α a ¸ αa − β b = −α a + β b ¸ β b − γc = −β b + γ c ¸ γc − αa = −γ c + α a º ¿ �αa − β b a b¸ AB º þ º ¸ −α a + β b ABºü ¸ αa − β b AB P −α a + β b ¸ AB ¹ Pº ¸ p = αa − β bº ü ¹ q = β b − γc¸ ¸ º ¹ ¸ ¸ ¸ º r = γc − αa Q¸ Rº p + q + r = (αa − β b) + (β b − γc) + (γc − αa) = (αa + β b + γc) − (αa + β b + γc) = 0º ¹ ¸ p¸ q, r ¹ ¸ ¸ P ¸ Q¸ R º º¾ º ´ ºµ ABC ABC P = AB ∩ A B ¸ Q = BC ∩ B C ¸ R = AC ∩ A C ¹ AA ¸ BB ¸ CC ¸ ¸ ¸ ¹ L. ¸ ¹ ¸ º ¿ �º¾ ABC º ABC ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ L ¸ ¸ ¹ ¸ º ½º º ¸ º ½¼ ½¼ ¸ º ¹ ¸ º þ Ü ¹ º º ¾º º ú ½û¸ ú ¾ûº º º¾ ¸ ¹ ¸ Bº ¸ º A P ¸ LB B B CQ ¹ ´ µ¸ º A A LC ¸ P ¸ L B¸ C P BQ¸ ¹ Qº ´ µº ¿ �º ¹ A, C, R ¸ ¹ º º¿ º ¸ ¹ ¸ LA º ¸ LA º A L¸ A ¹ º ¹ BB CC ¸ BP BB P CR¸ B P C R L¸ A¸ A µº CC R ´ ´ ¹ ¸ ¹ µ¸ B ¹ C¸ B BC ¸ B C ¸ P R CC R C¸P Qº Rº ¸ BB P Q º ï ½¼º ¹ º ¹ L L L ¿º L º L ½º ¸ ¾º º ¸ ¸ º ¸ ¿ º º �½º AA ∩ BB ∩ CC = L ¸ AB ∩ A B = P ¸ BC ∩ B C = Q¸ AC ∩ A C = R¸ P ∈ ¸ Q ∈ ¸ R ∈ º ¾º AA ||BB ||CC = L¸ AB ∩ A B = P ¸ BC ∩ B C = Q¸ AC ∩ A C = Rº ¿º AA ∩ BB ∩ CC = L¸ AB||A B ¸ BC||B C ¸ AC||A C º º AA ||BB ||CC = L¸ AB||A B ¸ BC||B C ¸ AC||A C º º º º º ½¼º½ ºµ º´ ¹ ¸ ¸ ÓÓ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ º ¹ ¹ ¹ ¹ �¹ ¸ ½ ¾¸ ¿ ¹ º þ ABC ¿ ABC ¹ ¸ º ¹ º þ ¹ ¸ ¹ ºþ ¸ ¹ º º þ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¹ ¸ º ½¼º½ º a||b C ¸ Cº ¹ ¸ º º ü º ¹ ¸ ´ º AA = a¸ µº BB = b¸ C ¸ CC B ∈ bº ¸ ¸ º ¹ A¸ A ∈ a B ¸ P = AB ∩ A B º ¸ Q ¾ ¹ Pº ¹ R BC ¼ �AC º BQ C A Rº ¹ ¸ º ½º ¾º ¿º º º º º º A ∈ a, A ∈ a¸ B ∈ b, B ∈ b P = AB ∩ A B ¸ P ∈ R = AC ∩ Q = BC ∩ C =B Q∩AR CC º º ½¼ º ABC A B C º þ P = AB∩A B ¸ Q = BC∩B C ¸ R = AC∩A C º ¸ ABC ABC ¹ ¹ ´ µº CC CC AA ||BB ¸ ¹ º ¸ ¸ º º ¾º þ ¸ º ú û ¹ º ï ½½º ÿ ½º ÿ º ½ ¹ �½½º½ º ´ R µ A2 ¸ A3 ¸ E R ßA1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E {A1 ¸ º ¹ M ¸ (x1 ¸ x2 ¸ (x1 , x2 , x3 ) M x3 ) R ¹ ¹ R¸ ¹ ¹ º M(x1 , x2 , x3 )R R ¾µ f : R → R R Rº M ½µ f A1 (1, 0, 0)R º º ü E E º ½½º½ R¸ R R1 M A1 (1, 0, 0)R ¸ A1 A1 A2 A2 ¸ A3 A3 ¸ ¹ º R1 º ¹ ¸ M = f (M) M(y1 , y2, y3 )R1 ¸ M (y1 , y2, y3 )R1 ´ ¹ µº f ¸ R f R¸ ¹ ¹ ¾ �R1 R1 ¸ R1 = f (R1 ) ¸ R1 º º ½½º½ ¸ º ¿¾ ¿¿º ¹ º ¹ º º 1◦ . º f : R → R g : R1 → R1 º ¸ g◦ f º þ R1 ¹ R1 R = f (R) R = g(R )¸ M M = f (M) M = g(M )º f R R¸ M (x1 , x2 , x3 )R º g R R = g(R )º ¸ R = (g ◦f )(R)º ¸ M(x1 , x2 , x3 )R º ¹ M = (g ◦ f )(M)º ¸ ¹ ü ¸ R ¸ M (x1 , x2 , x3 )R M º ¾µ M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R g◦f 2◦ . ü ¹ R º ¹ ¸ ¸ ½µ g R→R M(x1 , x2 , x3 )R g◦f ´ µº ¹ º ¸ ¹ º ¿ �3◦ . º ¹ ¸ ¸ ¹ eº e ¸ ¹ º ¸ µ e:R→R ´ ¸ º 4◦ . º ¹ º ¹ f ¸ ¸ ¹ f −1 ¹ º º M ¸ f :R→R f −1 : R → Rº þ M = f −1 (M )º f ¹ ¹ ¸ M = f (M)º M(x1 ¸ x2 ¸ x3 )R M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º f −1 ¸ R (x1 , x2 , x3 )R (x1 , x2 , x3 )R º ¹ R M M ¸ ¹ f −1 º ¹ ¹ ¹ º �º ½½º¾ ¹ Φ ý ¸ ¹ Φ¸ ¹ Φ ¸ ½½º¾ Φº ¹ º ¸ º º ¸ ¹ ¸ º º ¸ ¹ ¸ º º ¹ ¸ ¹ º ¾º ¹ ½½º¿ ¸ º º A¸ B ¸ C ¸ D ¹ ¹ �½½º½ º þ ¹ º ½½º¿ º´ A¸ B¸ C¸ D º A¸ B ¸ C ¸ D C¸ Dº ¸ ºµ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ ¹ ¹ ¸ A¸ B¸ º R ¸ Rº ¹ º ¸ º ½½º º ´ ºµ þ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , |(aij )| = 0¸ (i, j = 1, 2, 3). ¹ ¹ ´½½º½µ �º f :R→R M(x1 ¸ x2 ¸ x3 )R ½µ º x3 )R º ¸ ¸ ¹ M = f (M)¸ f M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º M (x1 ¸ x2 ¸ ¹ ¹ M R ´ R ¸ µº þ ¹ ¹ ´ º¿ µ¸ M ρx1 = λ1 c11 x1 + λ2 c12 x2 + λ3 c13 x3 ¸ ρx2 = λ1 c21 x1 + λ2 c22 x2 + λ3 c23 x3 ¸ ρx3 = λ1 c31 x1 + λ2 c32 x2 + λ3 a33 x3 º λi cij = aij (i, j = 1, 2, 3)º ¹ |(aij )| = |(λi cij )| = λ1 , λ2 , λ3 þ ´½µº λ1 λ2 λ3 |cij | = 0, |(cij )| = 0. ¾µ þ ¹ f ´½½º½µ¸ ¹ ´ ½½º µº ¹ º º º f :R→R ¸ u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 ¹ �Rº ¸ M¸ (x1 , x2 , x3 )R ¹ º M (x1 , x2 , x3 )R M ∈ M ¸ ¸ º ï ½¾º ½¾º½ R = {A1 , A2 , E} {A1 , A2 , E } R º f R = º ¸ M ∈ (x1 , x2 ) ¹ ¹ (x1 , x2 ) M ∈ ¸ ¹ R¸ º ¸ ¹ f º ½¾º½ º f f −1 ¸ ¹ º �º ½¾º¾ f ¸ ¸ g◦f ¹ º ½¾º¿ g ¹ º ¹ º ½¾º½ ½¾º¿ ½½º½ º C A¸ B ¸ C º ½¾º º ½¾º ¸ ¸ A A¸ B¸ A¸ B º ρx1 = a11 x1 + a12 x2 ¸ ρx2 = a21 x1 + a22 x2 ¸ a11 a22 − a12 a21 = 0º ¸ B¸ C ¹ ¹ Cº ¹ ¹ �½¾º ¸ ½¾º ¸ ¹ ï ½½º ½¾º º ´Ç ¹ ºµ º f = f ( )¸ ¹ ¹ f¸ º º þ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} ¸ A1 ∈ ¸ A2 ∈ ¸ A3 ∈ ¸ E ∈ º A1 = f (A1 )¸ A2 = f (A2 )¸ A3 = f (A3 )¸ E = f (E) = f ( )º ¸ A1 ∈ ¸ A2 ∈ ¸ A3 ∈ ¸ E ∈ º ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E }¸ M(x1 , x2 , x3 )R R = {A1 ¸ M (x1 ¸ x2 ¸ x3 )R º E3 = A3 E ∩ A1 A2 ¸ E3 = A3 E ∩ A1 A2 º ¸ E3 = f (E3 )º º ½½ R3 = {A1 , A2 , E3 }¸ R3 = {A1 , A2 , E3 }º R3 R3 º ¼ f �M∈ ¸ M (x1 , x2 , 0)R M M(x1 , x2 , 0)R (x1 , x2 )R3 º ¹ (x1 , x2 )R3 º f ¸ M(x1 , x2 , )R3 ¸ M (x1 , x2 )R3 º ½¾º½ ¹ º ï ½¿º ½º º ¸ º ý ¹ ´ µ ¹ º ¸ ¹ ¹ u1 x1 +u2 x2 +u3 x3 = 0º u1 , u2 , u3 u(u1 , u2, u3 )¸ ¹ ¹ º ½¿º½ r = {a1 , a2 , e} ¹ º ¸ a1 ¸ a2 ¸ e a1 ¸ a2 ¸ e a1 + a2 = eº ½ ¹ ¸ ¹ �½¿º¾ ¹ º m ¹ ¹ ¹ {a1 ¸ a2 }º ¸ ¹ º ¹ º ¹ ¸ ½ º ¾º º Π(L) Lº ½¿º¿ ¹ º Π(L) M∈ ¸ LM ∈ Π(L)º ½¿º½ ¹ º Π(L) º º R E ∈ ¹ þ ¹ A1 ∈ ¸ º A1 ¸ A2 ¸ E3 ¸ ¾ ¸ A2 ∈ E3 = LE ∩ A3 ∈ ¸ R3 ¸ º �R3 Π(L) r3 {LA1 ¸ LA2 ¸ LE}º M ¹ M(m1 , m2 )R3 º M(m1 , m2 , 0)R º M ¹ Π(L) ¹ LM º ¸ ¹ LM Π(L) r3 (m1 , m2 )¸ M º º ½¾ LA1 ¹ x2 = 0 Rº LA1 ¸ ¹ a1 (0, 1, 0)º LA2 x1 = 0 ¹ ¹ ¹ a2 (1, 0, 0)º LE x2 x2 x3 0 0 1 1 1 1 a1 x1 − x2 = 0º LE a2 ¸ ¸ = 0, ¹ ¹ e3 (1, −1, 0) e3 = −a1 + a2 º r3 −a1 ¸ a2 º Π(L) LM LA1 Π(L)¸ LA2 LM r3 º x2 x2 x3 0 0 1 m1 m2 0 ¿ = 0, ¹ �m2 x1 − m1 x2 = 0, m(m2 , −m1 , 0) ¹ LM º m {−a1 , a2 }º m = α(−a1 ) + βa2 , (m2 , −m1 , 0) α(0, −1, 0) + β(1, 0, 0)º m2 = β ¸ m1 = αº ¸ m = m1 (−a1 ) + m2 (a2 )º ¸ LM(m1 , m2 )r3 º ü ¹ º ½¿º (L) ¹ ¸ M =m∩ º m ⊂ Π(L) ¹ º Π(L) ½¿º¾ º ¹ ¸ ½¿º½ º ½¿º M ∈ ¸ ¹ ¹ º L M ∈ M = LM ∩ ¸ º ¹ �½¿º¿ ¹ º º º Lº f ¹ ¸ ϕ : ψ : Π(L) → ϕ º → Π(L) ψ ¹ ¹ ´ ½¿º½¸ ½¿º¾µº R = {A1 , A2 ¸ ¸ E} ¹ ¸ R {A1 ¸ A2 ¸ E } º ½¿ ¹ r = {LA1 , LA2 , LE} Π(L)¸ ¹ M¸ (x1 , x2 ) R¸ ϕ ψ LM (x1 , x2 ) LM(x1 , x2 ) M Rº f = ψ◦ϕ M (x1 , x2 )R ¸ º r¸ ¹ (x1 , x2 ) ¸ M(x1 , x2 )R ¹ ¹ ¹ ¹ �Π(L) m ∈ Π(L) m ∈ Π(L )¸ m∩ ½¿º Π(L ) ¹ ¹ ¸ ¹ º ½¿º L º ¹ ¹ º Π(L) º Π(L ) ¹ ¸ ½¿º¿ º ¹ ¸ º ½¿º Π(L )µ L ´ º ´ ºµ Π(L) ¸ Lµ ´ ¸ ¸ ¸ ¹ Π(L )µ ¹ ¹ ¹ º �º º f : L → º ½¿º¿ ¹ C= ∩ º º f: → ¸ C = ∩ º º½ AA ∩ BB A¸ Lº B B ¹ ¹ A ∈ ¸ B ∈ ¹ A = f (A)¸ B = f (B) º L= g A C º ½¿º¿ º g¸ ¸ ¹ f, A¸ B ¸ C A¸ B¸ C º ¹ ½¾º ¸ f g º f ¸ º ½¿º º ´ ºµ þ º º f : → ¹ ¹ ¹ ¹ �º ¸ ¹ º f ¹ º A¸ B¸ C A¸ B¸ C ¹ A = f (A)¸ B = ¸ f (B)¸ C = f (C)º ¹ 0 = B0 C0 ¸ B0 = AB ∩A B ¸ C0 = AC ∩ A C¸ A0 = AA ∩ 0 º ϕ: → 0 A¸ ψ : 0 → ψ ◦ ϕ = fº ¸ º½ ¹ Aº ¸ ϕ A¸ B ¸ C ¹ A0 ¸ B0 ¸ C0 ψ 0¸ C0 A0 ¸ B0 ¸ A¸ B¸ C 0 º ¹ ψ ◦ ϕ¸ A¸ B ¸ C ¸ f¸ A¸ B¸ C º ¹ ¸ ½¾º º ½¿º½ ¸ º þ ¹ ¹ º ¹ º �¿º ½¿º½ f : M∈ º → ¸ A¸ B ¸ C º M = f (M)º º º = B0 C0 B0 = AB ∩ A B ¸ C0 = AC ∩ A C ¾µ M0 = A M ∩ 0 ¿µ M = AM0 ∩ ¸ M º º M = (ψ ◦ ϕ)(M) = f (M) ½µ ¹ A¸B¸C 0 ½¿º¾ º f : Π(L) → Π(L ) b¸ c º½ Π(L )¸ m = f (m)º ¸ a¸ b¸ c Π(L) m ∈ Π(L)º ¸ º a¸ ¹ �ÿ ¾ þ þ ÿ ´ ï ½ º ½ º½ ´ ¸ C¸ D µ µ º A¸ B ¸ C ¸ D a¸ b¸ c¸ d c = λa + µb¸ d = νa + ρbº (AB, CD) (AB, CD) = A¸ B ü º µ ρ : , λ ν ¹ ¹ A¸ B ¸ ´½ º½µ C¸ D �´ µ º º A(1, 0, −1)¸ B(−2, 1, 3)¸ C(3, −1, −4)¸ D(0, −1, − 1)º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ º AB º x1 − x2 + x3 = 0º C ∈ AB º ¹ (AB, CD)º x1 x2 x3 1 0 −1 −2 1 3 = 0, ¸ C ∈ AB º C 3 − (−1) + (−4) = 0. ¸ D ∈ AB º ü (3, −1, 4) = λ(1, 0, −1) + µ(−2, 1, 3). 3 = λ − 2µ, −1 = µ µ = −1¸ λ = 1º ü ¸ (0, −1, −1) = ν(1, 0, −1) + ρ(−2, 1, 3) ´½ º½µ¸ ¹ ¸ ρ = −1¸ ν = −2º þ (AB, CD) = ¸ −1 −1 : = −2. 1 −2 ½ AB º ¸ �½ º½ ´ µ ¹ ¹ º ´ µº º (AB, CD) º a ½µ b a = αa¸ b = β b c = λa +µb, d = ν a +ρb. (AB, CD) = µ ρ : . λ ν c d a bº c = (λ α)a + (µ β)b, d = (ν α)a + (ρ β)b. c d λ α = λ, µ β = µ, ν α = ν, ρ β = ρº þ a b λ = λ , α µ µ = , β (AB, CD) = ν = ν , α ρ ρ = . β µ ρ µα ρα µ ρ : = : = : . λ ν λβ νβ λ ν ¸ ´ µ ¹ ¹ b A ¹ a B ¾ a bº �d c ¾µ ¹ c = αc¸ d = β d c d = λ a + µ b, = ν a + ρ b. λ µ a+ b, α α ν ρ d= a+ b. β β c= λ = λ, α µ = µ, α ν = ν, β ρ = ρ. β ´½ º½µ (AB, CD) = µ ρ µα ρβ µ ρ : . : = : = λ ν λα νβ λ ν ½ º¾ º ¹ (AB, CD) R = {A, B, C}¸ º º (AB, CD) = d1 ¸ d2 D d1 , d2 ´½ º¾µ ´ µ D ¹ Rº º A¸ B ¸ C ¸ ¹ c = a + bº ¿ ¹ �D(d1 , d2) ⇔ d = d1 a + d2 b. λ = 1¸ µ = 1¸ ν = d 1 ¸ ρ = d 2 º ¸ (AB, CD) = 1 d2 d1 : = . 1 d1 d2 ¸ ¹ (ab, cd) ½ º¾ º ½ º¿ º ´ ºµ ¹ ´ µº f A¸ B ¸ C ¸ D ¸ A¸ B¸ C = f ( )º ´ ¸ ¸ A¸ B B¸ C C D ¸ µº ¹ D ¸ A D ¹ ¸ R¸ R = f (R)¸ (AB, CD) = (A B , C D )º ½ º º º ¸ ¹ ¹ �º ½ º ¹ º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ B(b1 , b2 )¸ C(c1 , c2 )¸ D(d1 , d2 )º a1 c1 (AB, CD) = b1 c1 R = {A1 , A2 , E} A(a1 , a2 )¸ ¹ a2 a1 c2 d1 : b2 b1 c2 d1 a2 d2 b2 d2 º ´½ º¿µ º c = λa + µb¸ d = νa + ρbº (c1 , c2 ) = λ(a1 , a2 ) + µ(b1 , b2 )¸ (d1 , d2 ) = ν(a1 , a2 ) + ρ(b1 , b2 )º c1 = λa1 + µb1 , c2 = λa2 + µb2 d1 = νa1 + ρb1 . d2 = νa2 + ρb2 ¸ λ= c1 b1 c2 b2 ,µ = ∆ a1 c1 a2 c2 ,ν = ∆ d1 b1 d2 b2 ,ρ = ∆ a1 d1 a2 d2 , ∆ �∆= a1 b1 . a2 b2 a1 a2 c1 c2 (AB, CD) = a= (AB, CD) þ c1 c2 b1 b2 : ½ º º a1 a2 d1 d2 d1 d2 b1 b2 = ´½µ a1 c1 b1 c1 a2 c2 b2 c2 : a1 d1 b1 d1 a2 d2 . b2 d2 A¸ B ¸ C ¸ D a1 b1 c1 d1 , b= , c= , d= a2 b2 c2 d2 ¹ R = {A1 , A2 , E}º (AB, CD) = º a1 a2 = a2 c2 c1 c2 a). ü a1 a2 c1 c2 þ c−a d−a : . c−b d−b ´½ º µ ´½ º¿µº 1 a 1 = a2 c2 = a2 c2 (a−c) = −a2 c2 (c− 1 c 1 �b1 b2 = −b2 c2 (c−b), c1 c2 a1 a2 = −a2 d2 (d−a), d1 d2 b1 b2 = d1 d2 −b2 d2 (d − b). ¹ ´½ º¿µº −a2 c2 (c − a) −a2 d2 (d − a) (c − a) (d − a) : = : . −b2 c2 (c − b) −b2 d2 (d − b) (c − b) (d − b) (AB, CD) = º ¹ ¸ ´½ º µ¸ ´½ º µ º 1◦ º ¸ (CD, AB) = (AB, CD). 2◦ º ´ ¸ µ¸ (AB, DC) = ¹ 1 . (AB, CD) 3◦ º ¸ ¹ (BA, DC) = (AB, CD). 4◦ º ¸ ¹ B C A D (AC, BD) = 1 − (AB, CD); (DB, CA) = 1 − (AB, CD). �5◦ º A¸ B ¸ C ¸ D α, ¹ 1 1 1 α , 1 − α, , 1− , . α 1−α α 1−α 4◦ º þ ¹ ´½ º µº (AC, BD) = 1− b−c+c−a d−b+b−c b−a d−a : = · = b−c d−c b−c d−a c−a c−b c−b d−b c−a d−b c−b d−b − = − · − + d−a d−a d−a c−b d−a d−a c−b c−a c−a d−a c−a c−b d−b · = − + − : c−b d−a d−a d−a d−a c−b d−b 1 − (AB, CD)º 5◦ º αº (AB, DC) = ´ (AB, CD) = 1 α 2◦ µ (AC, BD) = 1 − α ´ 4◦ µº 4◦ ¸ (AB, DC) (AD, BC) = 1 − 1 α−1 = , α α (AC, BD) (AC, DB) = 1 1−α �2◦ µº ´ 2 ◦ ¸ ¸ ¹ (AD, BC)¸ ¸ (AD, CB) = 1◦ 3◦ ¸ α . α−1 º 1◦ − 3◦ ¹ º ¹ ´½ º½µ ´½ º µº º ¹ ¹ º º ½ º a, b, c, d L A, B, C, D (AB, CD) = (ab, cd). º º þ ¹ R = A1 = A¸ E ∈ LC º {A1 , A2 , A3 , E} ¸ A2 = B ¸ A3 = L¸ A¸ B ¸ L ¹ A(1, 0, 0)¸ B(0, 1, 0)¸ L(0, 0, 1)¸ ¸ a¸ b ¹ x3 = 0¸ x2 = 0¸ x1 = 0º ¹ a b ¹ ¸ a(0, 1, 0)¸ b(1, 0, 0). º½ �¹ (AB, CD) (ab, cd)¸ c¸ d º C¸ D c = A3 E ¸ º x1 x2 x3 1 1 1 0 0 1 x1 − x2 = 0. C = c∩ ¸ = 0, c(1, −1, 0)º ¸ ¸ x1 − x2 = 0, x3 = 0. C(1, 1, 0)º ¸ D ∈ A1 A2 ¸ d = A3 D D(d1 , d2 , 0)º x1 x2 x3 d1 d2 0 0 0 1 d2 x1 − d1 x2 = 0º = 0, ¸ d(d2 , −d1 , 0)º (AB, CD) ¹ ´½ º½µ¸ (1, 1, 0) = λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0), (d1 , d2, 0) = ν(1, 0, 0) + ρ(0, 1, 0). λ = 1, µ = 1, ν = d1 , ρ = d2 º ¼ �(AB, CD) = µ ρ d1 : = . λ ν d2 (ab, cd) ¹ (1, −1, 0) = λ(0, 1, 0) + µ(1, 0, 0), (d2 , −d1 , 0) = ν(0, 1, 0) + ρ(1, 0, 0). λ = −1¸ µ = 1¸ ν = −d1 ¸ ρ = d2 º (ab, cd) = 1 d2 d1 : = = (AB, CD). −1 −d1 d2 º ¹ ¹ ¸ ´½ º½µ ´½ º µº º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ b¸ c¸ d a¸ ¹ {0, e}º −→ −−→ −→ −−→ OA = ae, OB = be, OC = ce, OD = de¸ e ¹ −→ −→ −→ º AC = OC − OA = ce − ae = −−→ −−→ −−→ (c − a)e, BC = (c − b)e, AD = (d − a)e, BD = (d − b)e. −→ AC c−a −−→ = c − b , BC −−→ AD d−a −−→ = d − b , BD ½ �´½ º µ −→ AC (AB, CD) = −−→ : BC −−→ AD −−→ BD ´½ º µ º º A¸ B ¸ C ¸ ½ º¾ (AB, C) −−→ BC ¸ º −→ AC ¸ º −→ AC (AB, C) = −−→. BC þ (AB, CD) (AB, CD) = ¸ ½ º (AB, C) . (AB, D) ´½ º µ A¸ B ¸ C º ¸ D∞ (AB, C) = (AB, CD∞ ) º ¾ ¸ ¹ ´½ º µ �(AB, CD∞ ) = lim (AB, CD), D−→D∞ −−→ −→ −−→ AD AB + BD lim (AB, D) = lim −−→ = lim = −−→ D−→D∞ D−→D∞ BD D−→D∞ BD −→ AB lim −−→ + 1 = 1, D−→D∞ BD (AB, CD∞ ) = (AB, C) = (AB, C). D−→D∞ (AB, D) lim º ½ º a¸ b¸ c¸ d (ab, cd) (ab, cd) = k3 − k1 k4 − k1 : , k3 − k2 k4 − k2 ´½ º µ k1 , k2 , k3 , k4 a¸ b¸ c¸ dº º ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ O ij º y = k1 x¸ y = k2 x¸ y = k3 x¸ y = k4 x Oj ¸ S(1, 0)¸ a¸ b¸ c¸ d C(1, k3 )¸ D(1, k4 )º º x = 1º ¹ A(1, k1)¸ B(1, k2)¸ Oj ¿ �A(k1 )¸ B(k2 )¸ C(k3 )¸ D(k4 )º ´½ º µ (AB, CD) = ½ º k3 − k1 k4 − k1 : . k3 − k2 k4 − k2 (ab, cd) = (AB, CD)º ´½ º µº ½º (ab, cd) ¹ L ¹ º ¹ ´½ º µ L(x0 , y0 )º ¸ º½ ¸ ¾º a¸ b¸ c¸ d dµ Oy ¸ ´ ¹ º þ (ab, cd) = lim k−→∞ k3 − k1 k − k1 : . k3 − k2 k − k2 a¸ b¸ c¸ d (ab, cd) = sin ∠(c, a) sin ∠(d, a) : . sin ∠(c, b) sin ∠(d, b) ´½ º µ �ï ½ º ÿ ½ º½ º ÿ ¸ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ ¹ ¸ (AB, CD) = ¸ −1º ¹ D A¸ B ¸ C º ÿ ¸ C¸ D A¸ B º ÿ º ½ º½ º ¸ ¸ A¸ B ¸ C Dº º ¹ A B ¸ C ´ ¸ ¹ 1 −1 D = −1 D ¸ (1, −1)º ½ º¾ µ¸ (AB, CD) = ´ ½ º½ µ¸ D º ¸ C¸ D (d1 , d2)º (AB, CD ) ¹ ¹ º ¸ −1¸ D (AB, CD ) = d2 = −d1 ¸ º ¹ A¸ B ¸ d1 d2 º D (d1 , −d1 )º �´ ½º D (1, −1) D ¹ º¾ µ¸ ¸ Dº Dº ´ ½µº º 1º A¸ B ¸ C ¸ D C ¸ D¸ B ¸ A 2◦ º A¸ B ¸ C ¸ D A¸ B ¸ D ¸ C 3◦ º A¸ B ¸ C ¸ D B ¸ A¸ D ¸ C ◦ ¸ º ¸ º ¸ º ¸ ¹ º º �ÿ ï ½ º ½ º½ º XY ZW ¸ ¹ X¸ Y ¸ Z¸ W ¸ º X¸ Y ¸ Z¸ W ¸ XY ¸ YZ XW ¸ XZ ZW ¸ YW º A = XY ∩ ZW ¸ B = XW ∩ Y Z ¸ S = XZ ∩ Y W º AB ¸ AS ¸ BS ¸ ¸ º ½ º½ ºµ þ ´ º ´ ¹ º ½ µ ½µ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ´ D = AB ∩ XZ µ ¸ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ �¾µ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ´ ¸ ¹ X ¸ Z ¸ S ¸ Dµ ¿µ ¹ ¹ ¹ ¸ ´ ¸ SA¸ SB ¸ Y W ¸ XZ µº º A¸ B ¸ C ¸ D ¸ AB º AD XD Yº A → X¸ B → Z¸ C → S ¸ D → Dº ¹ »¸ (AB, CD) (XZ, SD)º ½ º Y A¸ Y B ¸ º½ Y C ¸ Y Dº (AB, CD) = (XZ, SD). Wº XD AD X → B ¸ Z → A¸ S → C ¸ D → D ¸ (XZ, SD) = (BA, CD). ´½ º½µ ¹ ´½ º¾µ �´½ º½µ ´½ º¾µ (AB, CD) = (BA, CD). ´½ º¿µ 1 . (AB, CD) ´½ º µ (BA, CD) = (AB, CD)2 = 1 (AB, CD) = +1 (AB, CD) = −1º (AB, CD) = +1º (d1 : d2 ) D R = {A, B, C} ½ ´ º ´½ º¾µµ d1 = d2 D(1, 1)¸ º º C¸ ¸ C D ¹ º (AB, CD) = −1º ´½ º¿µ ½ ´½ º µ º (XZ, SD) = −1 (SA, SB, SC, SD) = (AB, CD)¸ (SA, SB, SC, SD) = −1 ¿º ´½ º½µ ¹ ¾º »¸ ½º ´ ½ º¾ º º ¾µº ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ x¸ y ¸ z ¸ w ¸ x∩y z ∩ w¸ y ∩ z x¸ y ¸ z ¸ w w ∩ x¸ x ∩ z y ∩ w ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ �¸ º ¹ ¹ º ¸ º ´ ¹ µ º ´þ µ ¾º º ï ½ º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ½ º½ ´ º µ ¹ M(x1 , x2 , x3 )¸ ✞ ✝ a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0, º ´½ º½µ aij xi xj = 0, i,j ¼ ¹ ☎ ✆ �i¸ j aij aji ¸ º º F (x1 , x2 , x3 ) = ½¸ ¾¸ ¿ º þ (aij ) a i,j ij xi xj ¹ º º M (x1 , x2 , x3 ) (x1 ¸ x2 ¸ x3 )¸ ¸ ¹ ¸ ¹ aij ´½ º½µº º ¸ ¹ ¸ ¸ º ¸ ¹ ¹ º ½ º½ º ´ ºµ º 1)X1 2 + X2 2 + X3 2 = 0; 2)X1 2 + X2 2 − X3 2 = 0; 3)X1 2 + X2 2 = 0; 4)X1 2 − X2 2 = 0; 5)X1 2 = 0. ¸ ¸ ½ ¹ ¹ ¹ ¹ �½µ ¾µ ¿µ µ µ º ½¸ ¾ ¿¸ ¸ º º ¸ ¹ ¹ º ¹ ½ F (x1 ¸ x2 ¸ x3 )º X1 ¸ X2 ¸ X3 ¸ x1 , x2 , x3 ¹ ¸ ¸ x1 = c11 X1 + c12 X2 + c13 X3 ¸ x2 = c21 X1 + c22 X2 + c23 X3 ¸ x3 = c31 X1 + c32 X2 + c33 X3 ¸ |(cij )| = 0. ¸ ¹ (x1 , x2 , x3 ) (X1 , X2 , X3 )º ¹ ¸ ½ ´½ º½µ º ¹ ¸ º º ¸ ½µ ¾ �¸ ¹ ¾µ ¸ ¸ ï ½ º ¹ ¹ º þ ¹ γ¸ aij xi xj = 0, i, j = 1, 2, 3 ( ) ´½ º½µ i,j ¸ A(a1 ¸ a2 ¸ a3 )¸ B(b1 ¸ b2 ¸ b3 )º x1 = αa1 + βb1 , x2 = αa2 + βb2 , x3 = αa3 + βb3 , (x1 , x2 , x3 ) ´½ º¾µ M ∈ xi = αai + βbi . γ ¸ ´½ º¿µº ´½ º¿µ ´½ º½µº aij (αai + βbi )(αaj + βbj ) = 0. i,j ¿ ¹ ´½ º¿µ þ ´½ º½µ º ´½ º¾µ �α2 aij ai aj +αβ i,j i,j i,j aij bi aj º i aij bi aj +β 2 aij ai bj + aij bi bj = 0. i,j þ j aij bi aj = i,j aji bj ai = i,j aji ai bj . i,j (aij ) (aij = aji )¸ aji ai bj = i,j aij ai bj . i,j ¸ aij ai bj = i,j α2 aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ i,j aij bi aj , i,j aij bi bj = 0. ´½ º µ i,j i,j þ P = aij ai aj , Q = i,j aij ai bj , R = i,j aij bi bj . ´½ º µ i,j ´½ º µ P α2 + 2Qαβ + Rβ 2 = 0. ´½ º µ �α¸ β β 2º ´½ º µ α β P 2 + 2Q β= º 0º α + R = 0. β ´½ º µ ¹ α º β ¸ ¹ γ ¸ ¸ ´½ º µº þ ½µP ¹ = 0º ´½ º µ ¸ µ µ µ α β α β α β ¹ α β 2 1 α = β 2 1 α , 1 β 2 , þ º γ µ µ γ γº µ ¾µ P = 0º ´½ º µ 2 α Q + R = 0. β P =0 P = aij ai aj = 0 ´½ º½µ ´½ º µ aij ai aj γ¸ ´½ º µ ´½ º µ¸ A A ∈ γº ¹ ¸ �α R =− º β 2Q µ Q = 0¸ µ Q = 0¸ R = 0 ¹ γº ¸ ´½ º µ ¹ ⊂ γº º þ µ Q = 0¸ R = 0¸ ´½ º µ þ º A¸ ¸ γº ï ½ º ½ º½ º A AM M A º ½ º½ ¹ º γ i,j aij xi xj = 0, γ i,j º aij ai xj = 0. ´½ º½µ A(a1 , a2 , a3 ) ´½ º¾µ ¸ ¹ �A, B(b1 ¸ b2 ¸ b3 µ º ¹ x1 = αa1 + βb1 ¸ x2 = αa2 + βb2 ¸ x3 = αa3 + βb3 ¸ xi = αai + βbi . ´½ º¿µ ¹ γº ¹ ´½ º¿µ ¹ ´½ º½µº aij (αai + βbi )(αaj + βbj ) = 0. º ¾¼ i,j º α2 aij ai aj +αβ( aij bi aj )+β 2 aij ai bj + i,j i,j i,j aij bi aj þ i aij bi aj = i,j aji ai bj = aji bj ai = i,j aji ai bj . (aij = aji )¸ ¸ aij ai bj = aij bi aj . i,j aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ i,j j¸ i,j (aij ) aij ai bj º i,j α2 aij bi bj = 0. i,j i,j aij bi bj = 0. ´½ i,j º µ �A ∈ γ¸ β(2α aij ai aj = 0º aij ai bj + β i,j β 2 α ¹ aij bi bj ) = 0. i,j aij ai bj + i,j β α aij bi bj = 0. ´½ º µ i,j γº ¸ ( αβ )1 =0 ´½ º µº ¹ ´½ º¿µº ¹ γ x1 = αa1 , x2 = x1 : x2 : x3 = a1 : a2 : a3 ¸ Aº ¹ αa2 , x3 = αa3 º γ¸ ´½ º µ ¼ 2 β α 2 =− aij ai bj i,j aij bi bj = 0. i,j aij ai bj = 0º i,j aij ai xj = i,j aij ai (αaj +βbj ) = α i,j ¼º aij ai aj +β i,j aij ai bj i,j M aij ai xj = 0º ¸ ¸ º x21 + ½ º½ º 2 x2 − 4x1 x2 + 6x2 x3 = 0 (1, −1, 1). ¹ ¹ �º ¹ A(a1 , a2 , a3 ) a1 x1 + a2 x2 − 2a1 x2 − 2a2 x1 + 3a2 x3 + 3a3 x2 = 0º º ¹ x1 − x2 − 2x2 + 2x1 − 3x3 + 3x2 = 0 ¸ x1 − x3 = 0º ¸ ½ º¾ º ¹ A ¸ ¸ ¸ ¹ º ï ¾¼º º ½º ¹ ¾¼º½ º ¹ B A B γ¸ A ¹ M1 ¸ M2 γ Aº ¸ A Bº ¸ 1º ◦ º ¹ º �¾¼º½ º γ aij xi xj = 0 ´¾¼º½µ i,j A3 ¸ E} R = {A1 ¸ A2 ¸ A(a1 ¸ a2 ¸ a3 ) ¸ ¹ γº A(a1 , a2 , a3 ) γ ✞ ✝ ¸ i,j aij ai bj = 0. B(b1 , b2 , b3 ) ¹ ☎ ✆ ´¾¼º¾µ º AB xi = αai + βbi . ´¾¼º¿µ AB γ¸ ´¾¼º¿µ α2 i,j i,j β α β ´¾¼º½µº aij ai bj + β 2 aij ai aj + 2αβ 2 A ∈ γ¸ 2 aij ai aj + 2 i,j α1 β1 aij bi bj = 0. i,j β = 0º α β ¹ ¹ aij ai bj + i,j aij bi bj = 0. ´¾¼º µ i,j ´¾¼º µ α2 ¸ β2 ¼ ¹ M1 �M2 AB γº ¹ M1 ¸ M2 α1 ai + β1 bi α2 ai + β2 bi º M1 ¸ M2 ¸ A¸ B ¹ ´ (M1 M2 , AB) = −1º þ (M1 M2 , AB) = (AB, M1 M2 ), µ¸ ¸ ¹ ¸ β1 β2 : = −1. α1 α2 β1 α2 = −1. β2 α1 β1 α2 +α1 β2 = 0 ¸ ¸ β1 β2 ¸ α1 α2 + = 0, β1 β2 º º ´¾¼º µ ¼º þ Q= aij ai bj = 0. i,j A þ B ´¾¼º¾µ¸ ¹ ¹ γº 2 ◦ º º B γ¸ B ½ A γº A ¹ ¹ �B º ¹ Aº aij ai bj = 0. i,j (aij ) (aij = aji )¸ aij ai bj = i,j aji ai bj . ´¾¼º µ i,j i j¸ aji ai bj = i,j aij aj bi i,j aji ai bj = i,j aij bi aj . ´¾¼º µ i,j ´¾¼º¾µ¸ ´¾¼º µ ´¾¼º µ aij bi aj = 0, i,j ¸ ¸ A B γº 3◦ º º º A¸ A ∈ γ¸ ¹ γº aij ai aj = 0. i,j ¹ ´¾¼º¾µ bj = aj ¸ º º ¾ A �Bº 4 ◦ A ¸ º ¸ ¸ º º B A A ∈ γº C γ¸ A A BC ¹ ¹ γº B¸ C A (bi )¸ (ci )¸ (ai ) BC º xi = αbi + βci º º aij ai xj = i,j aij ai (αbj + βcj ) = i,j α aij ai bj + β i,j B aij ai cj . i,j C A¸ aij ai bj = 0 aij ai cj = 0 i,j i,j aij ai xj = 0, i,j º º M Aº º º ¾º ¿ ¹ M(xi ) �¾¼º¾ γ º ¹ Aº M¸ γ¸ A A ¹ aij xi xj = 0 ¹ ¹ γº ¾¼º¾ º γ i,j (a1 , a2 , a3 )¸ A A i,j aij ai xj = 0. ´¾¼º µ º γº A ¹ M(x1 , x2 , x3 ) ∈ ¸ M Aº A M ´¾¼º µ i,j aij ai xj = 0. M ¹ ¸ ´¾¼º µ º ¸ ¹ ´¾¼º µ x1 , x2 , x3 º ¸ º ¾¼º½ º γ¸ γ ¸ ¹ A Aº γ �A∈γ ´¾¼º µº ¹ Aº ´Á ºµ γ A¸ A ∈ γ º γº ¸ A º ´ ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ ½ º º ¾½µ m A {M1 , M2 } = m ∩ γ ¸ B : (M1 M2 , AB) = −1¸ p A {P1 , P2 } = p ∩ γ ¸ C : (P1 P2 , AC) = −1¸ BC = ¹ º º Aº BC BC ´ ¸ º ¾½ B C ¹ ¹ A Aº º ½ ºµ ¾¼º¿ bº ¸ A ¸ º´ A ∈ b¸ º ºµ a¸ ¹ γ B B ∈ aº aij xi xj = 0 ¹ γ A¸ B A(ai )¸ B(bi )º a a x = 0 a b x = 0 ¸ i,j ij i j i,j ij i j a bº A ∈ b¸ ø b i,j aij bi aj = 0. þ i,j �(aij ) aij bi aj = aij ai bj i,j ´ º ï ½ º i,j ï ½ ºµº ¸ aij ai bj = 0, i,j B ¾¼º AT1 T1 T2 ¸ º γ¸ AT2 A¸ γ¸ T1 A º ¹ T2 ¸ γº ¹ ¸ AT1 γ T1 ´ A ∈ AT1 T1 A´ T1 ∈ a¸ a a = T1 T2 º A γ a T1 T2 ¸ º ´ ¹ ¸ γº ¹ ¾¼º ºµ γ AT1 ¹ ¹ T2 ∈ aº ¸ ¾¼º ¹ ½µº ¸ µº ü º ¾¾ ¸ aº AT2 ¹ �º t1 T1 ¸ t2 º º ¾¼º¿ A ∈ t1 ¸ AT1 = t1 ¸ AT2 = t2 ´ÁÁ γ a º ½µ ¾µ º µº ¸ A º Aº º AT1 ¸ AT2 T1 T2 = a γ¸ ´ ¸ Y Z¸ Wº XY ZW ¸ γ T1 ∈ a¸ A ∈ t2 ¸ T2 º º ¾¼º ¹ A∈γ A ¾¼º µº γ º XW X¸ Z¸ Y ¸ γ BC ¹ B = XZ ∩ Y W ¸ C = XY ∩ ZW ¸ A γº º Q = Y Z ∩BC ´ P = XW ∩ BC ¸ º ¾¿µº XY ZW XW A ¹ ¹ ¸ ¸ P ¹ ¹ XW º ¾¿ BC ¸ 2◦ º X, W, A, P º P ¹ A ¹ �γ ¸ ¸ Aº ü a = P Q = BC º ´III γ ¸ P ∈ a¸ a Q ∈ aº µº A ∈ γº ¸ A º ½µ ¾µ ¿µ ´ º ¸ ´ º ¾¿µ XW ¸ Y Z A B = XZ ∩ Y W ¸ C = XY ∩ W Z ¸ BC = a ´ ¾¼º ºµ º ¸ ¾ ºµ ´IV ´ µº º ¿ ºµ γ ¹ ¸ A º ½µ ¾µ ¿µ γº º A ∈ γº ´ γº º ¾ µ XW ¸ Y Z ¸ ST B = XZ ∩ Y W ¸ C = Y T ∩ SZ BC = a º A º XY ZW º ¾¼º B∈a ü Aº ¹ C º¾ Aº ¸ BC = a¸ Y ST Z a º º BC ¹ Aº º A ∈ γ¸ A ¸ A º γ¸ ¹ �II µº ´ ¿º ¾¼º¿ º a A γº A aº ¾¼º½ ¸ º ºµ ´ γ a ¹ º A aº º ´ º º¾ º ¾ µ ½µ ¾µ ¿µ µ B ∈ a¸ C ∈ a b c A= b∩c B∈a ¸ aº ¸ c A= b∩c ¸ B¸ C¸ º º b ¸ aº C aº ü ¹ �¾¼º º ¸ ¹ ¹ ´ µº ¸ ¹ ¹ º 1º 2◦ º ◦ ´ µº ¹ º 3 ◦ º γ aij xi xj = 0 ¹ i,j u1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , u2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , u1 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , (x1 ¸ x2 ¸ x3 ) ¸ º ï ¾½º ½º ÿ ½¼¼ (u1 ¸ u2 ¸ u3 ) ¹ �¾½º½ º ´ ºµ Π(L) ¹ Π(L )¸ ¸ ¹ º ¸ ¹ L¸ L º ´ ¸ º µº Π(L) ½º Π(L ) ¸ ¹ LL ¸ º ¾½º¾ º º ´Ç ºµ L¸ L ¸ (L )¸ º ¹ γ M ∈ γ¸ ¹ (L) LM L M¸ º º ¾º º ½¼½ ¹ �¾½º½ º ¹ º ¾º ¾½º¾ º Ai ¸ i = 1¸ 2¸ 3¸ 4¸ 5¸ 6¸ ¸ ¹ A1 A2 ¸ A2 A3 ¸ ¸ A3 A4 ¸ A4 A5 ¸ A5 A6 ¸ A6 A1 ¸ µº ¾½º¿ ¸ ´ ¹ º ¹ ¸ º ¾½º¿ º ´ ´ A1 A2 A3 A4 A5 A6 P R γ¸ = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ = A3 A4 ∩ A6 A1 Q ¹ µ ¹ A2 A3 ∩ A5 A6 ¸ ¹ º º = ºµ þ ¹ ½¼¾ �¸ ¹ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¹ A4 º A1 (1, 0, 0)¸ A2 (0, 1, 0)¸ A3 (0¸0, 1)¸ A4 (1, 1, 1) A5 (a, b, c)¸ A6 (a , b , c )º γ º¾ a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0. ´¾½º½µ A1 ∈ γ a22 = 0¸ a33 = 0º a11 = 0º ü ´¾½º½µ a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3 = 0, A4 ∈ γ ¸ A5 ∈ γ ¸ A6 ∈ γ ¸   a12 + a13 + a23 = 0, a12 ab + a13 ac + a23 bc = 0,   a12 a b + a13 a c + a23 b c = 0. ´¾½º¾µ a12 ¸ a13 ¸ a23 ¸ ´¾½º¾µ¸ ¹ º ¸ 1 ∆ = ab ab þ 1 ac ac 1 bc = 0. bc ´¾½º¿µ ¸ aa (bc − cb ) − bb (ac − ca ) + cc (ab − ba ) = 0, ½¼¿ ´¾½º µ �A5 ¸ A6 º P ¸ R¸ Q º ¸ ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 º x3 = 0¸ x1 = 0¸ x1 x2 x3 1 1 1 = 0¸ A3 A4 x1 − x2 = 0¸ 0 0 1 x1 x2 x3 1 1 1 = 0¸ A4 A5 a b c (c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0, x1 x2 x3 a b c = 0¸ A5 A6 a b c (bc − cb )x1 − (ac − ca )x2 + (ab − ba )x3 = 0¸ x1 x2 x3 A6 A1 cx2 − b x3 = 0. a b c = 0¸ 1 0 0 P = A1 A2 ∩A4 A5 º A1 A2 A2 A3 ¸ A1 A2 A4 A5 x3 = 0, (c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0. ¸ ü P (c − a, c − b, 0)º A2 A3 ∩A5 A6 x1 = 0, (bc − cb )x1 − (ac − ca )x2 + (ab − ba )x3 = 0 ½¼ Q = �Q(0, ab −ba , ac −ca )º R = A3 A4 ∩ A6 A1 º ¸ ¸ º x1 − x2 = 0, c x2 − b x3 = 0. ¸ ¸ x2 = b ¸ x3 = c º P ¸ Q¸ R þ R(b , b , c )º º ¸ ¹ P ¸ Q¸ R ∆ = c−a c−b 0 ab − ba b b 0 ac − ca c = = (c−a)(ab −ba )c +(c−b)(ac −ca )b −(c−a)(ac −ca )b = (ab −ba )(cc −ac )+(ac −ca )(cb −bb )−(ac −ca )(cb −ab ) = (ab − ba )cc − ac (ab − ba ) + (ac − ca )(ab − bb ) = (ab −ba )cc −ac ab +ac ba +ac ab −ca ab −(ac −ca )bb = (ab − ba )cc − (ac − ca )bb + (bc − cb )aa . ´¾½º µ ¸ ¸ P ¸ Q¸ R ºµ ¾½º ∆ = 0º þ º º ´ ¹ P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩ A5 A6 ¸ R = A3 A4 ∩ A6 A1 ¹ ¸ º A1 A2 A3 A4 A5 A6 ½¼ ¹ �º ¸ ∆ =0 ¸ P ¸ Q¸ R ´ ∆=0´ µ¸ ¹ γ µº ´ µ ¹ ´ µ¸ ´ µ ´ ¹ µ¸ ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ º µ ´ º ½¼ ´ ¹ µ¸ ¹ ¹ �¾½º º ´ ¹ ºµ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ º º A1 A2 A3 A4 A5 ¸ γº A5 = A6 A1 A2 A3 A4 A5 A6 º P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩ A5 A6 = A2 A3 ∩ p ´p γ A5 µ¸ R = A3 A4 ∩ A6 A1 = A3 A4 ∩ A5 A1 º º ¾½º º ´ º¾ ¹ ºµ ¸ ¹ ¹ ¹ º º ¹ A1 A2 A3 A4 ¸ γº ½¼ �µ A1 = A5 ¸ A3 = A6 A1 A5 A2 A3 A6 A4 º º P = a1 ∩ a3 ¸ ´a1 A3 µ¸ ¹ ¸ A1 ¸ a3 ¹ Q = A1 A2 ∩ A3 A4 ¸ R = A2 A3 ∩ A4 A1 º µ A2 = A5 ¸ A4 = A6 A1 A2 A5 A3 A4 A6 º ¸ a2 ∩ a4 ¹ S = ¸ ´a2 A2 ¸ a4 A4 µ º º¾ º º¾ ¾½º º ´ ºµ ¸ ¹ ¹ º º º º γ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ A4 ¸ A5 º ¹ ½¼ �γ ´ º ¿¼µº º ½µ ¾µ ¿µ µ º P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ P ¸ A2 A3 ∩ = Q¸ A3 A4 ∩ = R¸ A6 = QA5 ∩ RA1 º º ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 º º ¿¼ ¹ P¸ Q R º A6 ¸ ¸ º γº º ý ¿º ¾½º º ¹ ¸ º ¾½º º ¸ ¹ º ¾½º º ´ ¸ ºµ ý ¸ ý ¸ a1 a2 a3 a4 a5 a6 º γº ½¼ º ¹ ¹ ¹ ¹ f �A1 A2 a1 a2 A3 q p a3 r A6 L a6 A5 f ´ai µ Ai (i 3¸ 4¸ 5¸ 6) 2¸ A4 ¸ a4 a5 γº ¹ = 1¸ ¹ º º ¿½ ¹ A1 A2 A3 A4 A5 A6 P = A1 A2 ∩ A4 A5 ¸ Q = A2 A3 ∩A5 A6 ¸ R = A3 A4 ∩A6 A1 ¹ º º ¸ P ¸ Q¸ R ¹ p¸ q ¸ r ¸ ´ µ a1 ∩ a2 ¹ a4 ∩ a5 ¸ a2 ∩ a3 a5 ∩ a6 ¸ a3 ∩ a4 L a6 ∩ a1 ¸ º ´ ý µ º ´ µ ý ¸ ¹ a1 ¹ ¹ ¸ a5 ¸ p r ¹ ¹ a4 L ¹ ¸ § ¸ ¸ ý ↔ ½½¼ q a3 ¹ ¸ a2 º ¿¾ ↔ ¹ ↔ º �¾½º º ´ ý ºµ ¸ ¸ ¸ º ´ ¹ A4 ¸ ´ A1 L A3 a3 a2 A2 q r º ¿¾µº a1 p s ¹ ¹ ¸ ý a4 ¹ ý ºµ ¸ a1 ¸ ¸ º ¾½º½¼ ¹ A3 q A1 p L r a2 a3 A2 º ¿¿º º ¿ º ½½½ ¹ ¹ ¸ �¾½º½½ º ´ ý ºµ ¸ ¸ ¹ ¸ ý ´ º ¿¿µº ý º ÿ ï ¾¾º ¹ ½º ¾¾º½ ¹ º ¹ ¸ º ¾¾º½ ¹ ¹ ¹ º º ºþ ¹ ¸ ¹ f g ¹ ¸ ¸ g◦f ½½¾ ¹ �¸ ¹ º þ ¹ ¹ f ¸ ¹ ¸ ¹ f −1 ¹ ¹ ¸ ¸ f¸ ¹ º º þ ¹ º f ¹ ¹ ¹ ¸ A1 E A2 ºþ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} ¸ ¸ f º A3 ¹ ¸ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , ∆ = |(aij )| = 0, i, j = 1, 2, 3º A1 (1, 0, 0)º ¸ A2 (0, 1, 0) ¸ ´¾¾º½µ A1 A1 (x1 , x2 , 0)º A1 A1 a31 = 0º ü A2 (x1 , x2 , 0)¸ ¹ ´¾¾º½µº ¸ a32 = 0º ´¾¾º½µ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 , ½½¿ ´¾¾º¾µ �∆ = a33 (a11 a22 − a12 a21 ) = 0º þ º f ¹ ´¾¾º¾µ¸ ¹ ¹ ¸ = A1 A2 º ¸ º ¾¾º¾ ¸ ¹ ´¾¾º¾µ º ÿ ¹ º º þ x= ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ´¾¾º¾µ x1 x x2 x , y = , x = 1, y = 2. x3 x3 x3 x3 ρx1 a11 x1 a12 x2 a13 = + + , ρx3 a33 x3 a33 x3 a33 a21 x1 a22 x2 a23 ρx2 = + + ρx3 a33 x3 a33 x3 a33 a1 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 , b1 = , c1 = , a2 = , b2 = , c2 = . a33 a33 a33 a33 a33 a33 ´¾¾º¾µ x = a1 x + b1 y + c1 , y = a2 x + b2 y + c2 , ½½ ´¾¾º¿µ �∆ = a1 b2 − a2 b1 = 0º ´¾¾º¿µ¸ ¸ x¸ y º ¸ ¹ ¹ ¹ º ¹ º ¾º P2 º ¾¾º¾ P2 ¸ ºü P2 \ A2 ¸ º º º º ¸ ¹ A2 P2 ´ µ¸ ü º A2 P2 ¸ ¹ ¹ º ¹ º ¾¾º¿ º a¸ b A2 P2 ¸ a∩b º º ¸ ½½ �¸ º ¾¾º¿ º ü a¸ a¸ bº b f ¹ A2 a||b¸ a = f (a)¸ b = f (b)º P2 a¸ b ¹ º f (C ) = C º º a||b¸ C ¸ C b a º C ∈ P2 A2 ¸ ´ ¹ µº P2 ¹ A¸ B a ¸ a ¾¾º ¸ º º AB A2 AB = a¸ a P2 º A2 A¸ B a ¹ ¸ º ½½ �º (AB, C) A¸ B ¸ C (AB, CD )¸ (AB, C) = (AB, CD )º ¾¾º ¾¾º º a D = a∩ ¸ º ¹ C AB ¸ ¹ A¸ B ¸ D ¾¾º ºµ ü º º D =a∩ ¸ ¸ a = AB º ´ ¹ ¹ A2 f º A¸ B ¸ C A2 aº ü A¸ B ¸ C f (a)º a P2 D D P2 ¸ º º ¹ ¹ ¸ f A¸ B¸ C a D a ∩ fº ¹ (AB, CD ) = (A B , C D )º (AB, C) = (A B , C )º ½½ ¹ a = ¹ ¹ A2 ¹ �¾¾º º ¹ P2 ¹ A2 ¹ ¸ ¿ ´ º º ¿ µº µ ¹ ¸ ´ ¹ º ¿ µ ¸ µ ´ µ µ º ¿ º þ ¹ A2 º º ü ½º ½º ¾º ¾º ¿º º º ¿º º ½½ ÿ ¹ �º º º º º ¾¾º º ¹ A2 º ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º ¾¾º º A2 ¹ ¸ ¸ ¹ º ´¾¾º µ ¾¼º¿ ¸ ¹ ¸ º ¾¾º½¼ º ü ¹ º ¸ ´ ¾¼º¿ µº ½½ �ï ¾¿º ¹ ¸ ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ½º ü º ÿ P2 A1 ∈ ¸ ¸ A2 ∈ x21 + x22 − x23 = 0º ¹ ¾¿º½ ¸ ¹ R = {A1 , A2 , A3 , E} A3 ∈ / ¸ E ∈ / º ¹ x3 = 0º γ¸ γ I (i, 1, 0)¸ J (−i, 1, 0)º º ¸ I¸ J¸ ¹ ¸ ¸ I¸ J ¾¿º¾ ¹ ¹ º º ¹ P2 ¸ ¹ ¹ ¸ º ¸ ¹ 1◦ . ¹ ½¾¼ �¹ º 2◦ . ¹ ¸ º 3. ◦ ½µ I ¸ I J J I ¸ J J Iº þ º 1◦ ∆ = a33 (a11 a22 − a12 a21 ) = 0º ½º I ü ¹ ¹ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 , I ¹ ¾µ J ´¾¿º½µ f º ¹ I = I ´¾¿º½µº ρi = a11 i + a12 , ρ = a21 i + a22 . J J =J −ρi = −a11 i + a12 , ρ = −a21 i + a22 . a11 = a22 , a12 = −a21 . ´¾¿º¾µ ρx1 = a11 x1 − a21 x2 + a13 x3 , ρx2 = a21 x1 + a11 x2 + a23 x3 , ρx3 = a33 x3 . ½¾½ ´¾¿º¾µ ´¾¿º½µ ´¾¿º¿µ �x= a= x x1 x2 x , y = , x = 1, y = 2 x3 x3 x3 x3 a11 a21 a13 a23 , b= , x0 = , y0 = . a33 a33 a33 a33 ´¾¿º¿µ x y = ax − by + x0 , = bx + ay + y0 , ´¾¿º µ ∆ = a2 + b2 > 0º þ cos ϕ = √ a a2 + b2 , sin ϕ = √ b a2 + b2 . x = k(x cos ϕ − y sin ϕ) + x0 , y = k(x sin ϕ + y cos ϕ) + y0 , k= √ a2 + b2 º º ¾º ü ¸ ¸ I J I¸ x = k(x cos ϕ + y sin ϕ) + x0 , y = k(x sin ϕ − y cos ϕ) + y0 , ½¾¾ J �k= a2 + b2 º ¹ º ✬ ✫ √ ✩ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ✪ º ¾º ¾¿º¿ º a b ¹ ¸ A = a∩ ¸ B = b∩ I¸ J¸ ¾¿º ¹ º º (II J , AB) = −1º º ¸ ¹ I¸ Jº ¸ ¹ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 . O(x0 , y0 ) r ¸ º ½¾¿ ¹ �¾¿º A º |AB| B A ¸ ¹ Bº ¸ A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 )¸ |AB| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . þ ¹ ´ µ ¾¿º º ¸ ¹ ¹ º k = 1 ¸ x = x cos ϕ − εy sin ϕ + x0 , y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0 , ε = +1 −1º ´ µ ½¾ �º ü ü ½¾ �½º þ ü þ ½º ¹ ¸ ½º a A ¹ º ¾º º ¿º þ º º þ ¸ º º ¸ ´ a¸ b º ¹ µº ¸ ¸ A ¹ ¸ ¹ ¸ A º a¸ bº ¸ º ½¾ �º ¸ ¹ º º ¸ ¹ º ½¼º A α β¸ α βº ½½º ½¾º ¸ ¹ aº a þ ¸ ¹ aº ½¿º ½ º ½ º º º º ¾º ¸ ½ ½ a α¸ α ºþ β º A º º ½ ½ º º A º B a a ¾¼º αº A¸ B ¸ C¸ º ½¾ �¾½º α¸ β γ¸ ¸ º ¾¾º a b A ¸ ¹ ¸ a bº ¾¿º ¹ º ¾ º þ ¸ ¸ º ¾ ¾ º þ º º ¸ ¾ º º ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ ¹ º ¾ ¾ º º º ¿º ¿¼º R = {A1 ¸A2 ¸ E}º A(2, 3)¸ B(−2, 3)¸ C(1, −1)¸ D(1, 4)¸ F (5, −3)¸ K(−4, 1)¸ L(−3, 1)¸ M(2, 5)¸ P (3, −2)¸ H(−1, 3)¸ T (2, −1)º ¿½º R = {A1 ¸A2 ¸ E}º A(1, 2)¸ B(−3, 2)¸ C(−1, 1)¸ D(2, 1)¸ ½¾ �F (2, −1)¸ K(2, −3)¸ L(5, −3)¸ M(1, 4)¸ N(3, −1)¸ P (5, 2)¸ T (3, −4)¸ µ A1 (1, 0)¸ µ A2 (0, 1)º ¿¾º ¹ þ A1 (1, 0) A2 (0, 1) E ¹ ¸ A(1, 2)¸ B(−3, 2)¸ C(−1, 1)¸ D(1, 4)¸ F (3, −4)¸ G(4, −1)¸ K(−2, 3)¸ L(−5, 2)¸ M(5, 1)¸ H(−1, 3)¸ S(4, 3)¸ T (2, 1)º ¿¿º R = {A1 ¸ A2 ¸ E} {O, a}º ¸ µ A1 ¸ A2 = O a= −−→ OE µ A2 ¸ A1 = O a= −−→ OE µ E ¸ A1 = O a= −−→ OA2 ¸ M(x1 , x2 )¸ x1 ¸ x2 º ¿ º E(1, 1) º ¹ A1 A2 ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¿ º R = {A1 , A2 , E}¸ E º ¹ M¸ A1 A2 λº ¿ º R = {A1 , A2 , E}¸ E A1 A2 º ¿ µ µ º º (2, 1)¸ (3, 4)¸ A1 ¸ A2 º E R = {A1 , A2 , E}¸ P∞ µ (−2, 1)¸ µ (1, 3)¸ µ(−1, 3)¸ µ (1, 4)¸ µ (−3, 2)¸ µ (2, 5)º ½¾ ¹ ¸ µ (−1, 2)¸ µ (3, 2)¸ �¿ A2 ¸ E º R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¹ A1 ¸ P∞ ¸ ¸ ¹ ¿ º ¿ A1 ¸ E º R = {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¹ A2 ¸ P∞ ¸ ¸ ¹ ¿ º ¼º E}º C(3, 1) A(1, 2) R = {A1 , A2 , B(−2, 1) ¸ R = {A, B, C}¸ ¹ M º ½º A2 , E} R = {A1 , A2 , E }¸ 1) A1 = A2 , 2) A1 = E, 3) A1 = A1 , 4) A1 (2, −1), 5) A1 (−1, 1), 6) A1 (2, 1), 7) A1 (4, −1), 8) A1 (3, 4), 9) A1 (1, −2), 10) A1 (5, −3), 11)A1 (1, 5), A2 = A1 , A2 = A1 , A2 = E, A2 (−1, 1), A2 (2, 3), A2 (−3, 1), A2 (2, −1), A2 (2, 5), A2 (3, 1), A2 (3, −4), A2 (5, 3), E = E; A1 = A2 ; E = A2 ; E (1, 0); E (1, −2); E (−1, 2); E (−3, 1); E (4, 3); E (3, 8); E (−1, 5); E (1, 3). ½¿¼ R = {A1 , �º ¾º A3 , E}º A2 E ∩ A1 A3 ¸ E3 = A3 E ∩ A1 A2 º R = {A1 , A2 , E1 = A1 E ∩ A2 A3 ¸ E2 = ¿º R = {A1 , A2 , A3 , E} P (1, 2, −1)º P1 = A1 P ∩ A2 A3 ¸ P2 = A2 P ∩ A1 A3 ¸ P3 = A3 P ∩ A1 A2 º º R = {A1 , A2 , A3 , E} M(x1 , x2 , x3 )º ¹ M1 = A1 M ∩ A2 A3 ¸ M2 = A2 M ∩ A1 A3 ¸ M3 = A3 M ∩ A1 A2 º º R = {A1 , A2 , A3 , E}º A(1, 2, 0)¸ B(−3, 0, 1)¸ C(0, 1, −1)¸ D(−1, 3, 0)¸ H(2, 0, 3)¸ K(0, −1, 2) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E}¸ E º ¹ A(0¸−2¸−1)¸ B(1, 2, 0)¸ C(−1, 0, 3)¸ D(2, 1, 0)¸ H(0, 3, 4)¸ K(0, 3, −1) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E}¸ A1 A2 º ¹ A(0, 2, 1)¸ B(3, 0, −2)¸ C(2, 0, −1)¸ D(0, −1, 2) Rº º R = {A1 , A2 , A3 , E} A1 A2 º ¸ ¹ x1 = x, x3 x2 = y, x3 x, y ½¿½ �−−−→ −−−→ {A3 , A3 E2 , A3 E1 }¸ E1 = A1 E ∩ A2 A3 ¸ E2 = A2 E ∩ A1 A3 º R = {A1 , A2 , º A3 , E}¸ A1 A2 º ¹ R A(1, 4, −1)¸ B(2, 1, 3)¸ C(3, 5, 1)¸ D(−2, 3, 1)¸ H(4, 3, 1)¸ K(−5, 2, 3)º R = {A1 , A2 , ¼º A3 , E}º ½µ (1, 2, −1)¸ ¾µ (2, 3, 1)¸ ¿µ (−2, 3, 1)¸ µ (2, 1, 3)¸ µ (3, 2, 1)¸ µ (−3, 2, 1)¸ µ (4, −2, 1)¸ µ (−1, 2, 3)¸ µ (−1, 3, −3)¸ ½¼µ (2, 5, −5)º R = {A1 , A2 , ½º A3 , E}¸ A1 ¸ E º ¸ ¼º ¾º A3 , E}¸ R = {A1 , A2 , A2 ¸ E ¸ º ¼º ¿º A3 , E}¸ R = {A1 , A2 , A3 ¸ E ¸ º ¼º º E A1 A2 A3 A3 , E}¸ ¸ ¼ R = {A1 , A2 , µ µ ¹ º R = {A1 , A2 , A3 , E} A¸ B ¸C ¸ D 0)¸ (0, 0, 1)¸ (1, 1, 2) º A¸ B ¸ C ¸ D ½µ ¸ ºþ ¹ (1, 0, −1)¸ (2, 1, º ¾µ R C, D}º ½¿¾ R = {A, B, �º R = {A1 , A2 , A3 , E }¸ A2 ¸ A3 ¸ E 1) A1 (1, 0, 0), A2 (0, 1, 0), 2) A1 (1, 0, −1), A2 (2, 1, 0), 3) A1 (0, 1, 0), A2 (−1, 0, 1), 4) A1 (0, 1, 0), A2 (0, 0, 1), 5) A1 (1, 1, 1), A2 (1, −2, 1), 6) A1 (−2, 3, 1), A2 (1, 0, −2), 7) A1 (1, −2, 1), A2 (0, 1, −3), 8) A1 (0, 0, 1), A2 (2, 3, 1), 9) A1 (−1, 1, 0), A2 (0, 2, 3), 10)A1 (3, −1, 5), A2 (1, 0, 4), R = {A1 , A2 , A3 , E} R A1 ¸ A3 (1, 2, −1), A3 (0, 0, 1), A3 (2, 1, 0), A3 (1, 0, 0), A3 (−2, 0, 1), A3 (1, −1, 2), A3 (1, 1, 1), A3 (−2, 1, 5), A3 (3, 5, 1), A3 (−2, 1, 1), E (0, 1, 3); E (1, 1, 2); E (1, 2, 1); E (1, 1, 1); E (0, −1, 3); E (2, 1, 1); E (2, −6, −1); E (0, 4, 1); E (−5, 3, −5); E (−2, 1, 3). º º º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ½µ A1 A2 A3 A1 E ¸ A2 E ¸ ¾µ A3 E º AB º AB ¸ µ A(3, 0, −1)¸ A(−1, 2, 0)¸ A(0, 5, 1)¸ A(1, 3, 1)¸ A(−1, 1, 0)¸ A(3, 2, 1)¸ º ¸ µ µ µ µ µ B(−1, 3, 0) B(1, 1, 3) B(−2, 1, 7) B(−2, 1, 0) B(2, 3, 5) B(−5, 0, 1)º A, B, C ½¿¿ ¹ �¸ µ µ µ µ µ µ ¼º A(1, 2, −1)¸ A(0, 1, 3)¸ A(2, 1, 0)¸ A(0, −4, 1)¸ A(1, −1, 2)¸ A(−2, 0, 3)¸ B(−3, 1, 1)¸ C(−1, 5, −1) B(−5, −1, 3)¸ C(10, 3, −3) B(−5, 13, −3)¸ C(−3, 5, −1) B(1, 2, 1)¸ C(3, −2, 5) B(0, 3, −1) C(−1, −5, 0) B(1, 5, −2)¸ C(0, 5, 3)º K(3, −2, 1), L(0, 1, −1), M(1, ¸ − 2, 5) º ½º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¹ ¸ A1 ¸ A2 A3 ¸ E º µ µ µ A2 ¸ A3 µ A1 ¸ A3 ¹ µ A1 ¸ E µ A2 ¸ E ¾º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º AB ¸ µ A(−5, 2, 1)¸ µ A(2, 1, −3)¸ µ A(7, 6, 4)¸ µ A(3, 1, −1)¸ µ A(−1, 3, 1)¸ µ A(−2, 3, 3)¸ ¹ B(1, 3, 3) B(1, −2, 1) B(3, −3, 2) B(−1, 2, 3) B(2, 2, 1) B(1, −2, 5)º ¿º R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ ¹ A2 ¸ A3 º AB ¹ ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A3 º AB ¹ ¹ ¹ ¾º ½¿ �º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A2 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A3 ¸ E ¹ º AB ¹ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ M 1) M(1, −2, 3), 2) M(4, 1, 1), 3) M(−1, 1, 3), 4) M(−1, 2, 2), 5) M(2, 1, −3), 6) M(3, 3, 2), 7) M(−3, 1, 2), 8) M(1, 1, 2), 9) M(1, −1, 3), 10) M(2, −1, 1), º µ a¸ a : 2x1 + x2 − 3x3 = 0; a : x1 − 7x2 + x3 = 0; a : x1 + x2 + x3 = 0; a : 3x1 − x2 + x3 = 0; a : 2x1 + 2x2 − x3 = 0; a : x1 − 4x2 + 2x3 = 0; a : x1 + x2 − x3 = 0; a : 2x1 − 3x2 + x3 = 0; a : 3x1 + 3x2 − x3 = 0; a : 5x1 − 7x2 − x3 = 0. R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ µ A2 ¸ A3 A3 ¸ E º M ¹ ¹ µ A1 ¸ A3 µ ¸ A1 ¸ E µ A2 ¸ E ¹ a¸ ½¿ �º ¼º ¸ ½º x1 − x2 + 2x3 = 0 2x1 + 2x2 − x3 = 0 µ x1 − x2 + x3 = 0 µ x1 − 2x2 − 2x3 = 0 µ 2x1 − x2 + x3 = 0 µ 2x1 + 3x2 − x3 = 0 µ x1 − 3x2 − 3x3 = 0 µ 3x1 + x2 + 2x3 = 0 µ 3x1 − x2 + 5x3 = 0 µ x1 + 5x2 − 3x3 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 = 0 3x1 − 5x2 + 2x3 = 0 2x1 − x2 + 5x3 = 0 x1 + 3x2 − x3 = 0 x1 + x2 − x3 = 0 x1 − 2x2 + x3 = 0 2x1 + x2 + x3 = 0 x1 − x2 + 2x3 = 0 3x1 + 2x2 − 5x3 = 0 x1 + x2 + 3x3 = 0º a, b, c µ µ ¾º ¸ a(5, 1, 3)¸ ¾µ a(1, 1, 0)¸ ¿µ a(1, −1, 2)¸ µ a(0, 2, −3)¸ µ a(−3, 1, 2)¸ µ a(−1, 2, 0)¸ µ a(1, 3, 3)¸ µ a(1, 2, 5)¸ µ a(1, −2, 3)¸ ½¼µ a(2, 2, 1)¸ ½µ ¿º ¹ (1, 2, −1)¸ (3, 5, −2)º b(−2, 4, 3)¸ b(2, −1, 3)¸ b(5, 3, 0)¸ b(1, −2, 4)¸ b(2, 0, −1)¸ b(1, 1, 5)¸ b(2, −1, 2)¸ b(3, 0, 1)¸ b(1, 4, −1)¸ b(0, −2, 5)¸ c(8, 6, 9) c(5, 2, 3) c(3, 1, 1) c(1, 2, −2) c(3, −5, −4) c(2, −7, −5) c(3, 2, 5) c(−1, 1, 2) c(3, 0, 5) c(1, 0, 3)º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¸ ½µ (1, 2, 0) ¾µ (0, −3, 1) ¿µ (4, 0, −1) µ (1, 2, 2) µ (1, 2, 3) µ (−1, 2, 3) µ (3, −2, 1) µ (2, −1, 4) µ (2, 3, 1) ½¼µ (−2, 1, 1) ½½µ (3, 2, 3) ½¾µ (1, −3, 1)º º ¹ ½¿ �R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ E º ¹ ¸ ¾º º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ ¾º º º ¸ ¹ µ µ ¸ µ A, B µ α¸ a AB α µ ¸ a, b µ α¸ ¹ a¸ ¸ ¹ b µ A α β¸ ¹ µ µ a α¸ ¸ ½¿ ¹ �µ ¸ µ ¸ a µ α a, b µ α¸ ¸ ¸ a A ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ A a b ABC BB ¸ CC O¸ AB ∩A B ¸ Q = BC ∩B C ¸ R = AC ∩A C ABC µ AA ¸ P = º º ¸ º α º β¸ ¹ M¸ ¸ º º α º A β ¸ α β¸ ¹ B¸ ¸ m¸ A Bº ¹ ¹ º ¼º ABC M AM ¸ BM º CM º A0 ¸ B0 C0 A0 B0 C0 ¸ º ABC º þ º ½º ´ µ ¹ ¸ ´ ¹ µ ¸ ½¿ º �º ¾º s A, B, C º ¹ m¸ Y = ∩ n¸ W = m ∩ n¸ D = s ∩ XZ º þ ¹ A C nº Z = BY ∩ m¸ X = BW ∩ º ¿º α, β, γ ¸ ¹ a, b, cº º ABC º p¸ AB, BC, AC HC, KA, MB p º H, K, M º P QRº þ º a º α b A¸ α ¹ Aº º a º Pº b c α P αº º º ¸ º º º ¹ 1◦ . ¹ ¸ ¹ ½¿ �º ◦ 2. ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ º º ¿ ¹ º º¿ ¸ A1 ¸ µ A2 ¸ µ A10 º µ µ A6 ¸ µ A7 ¸ µ A8 ¸ µ A9 ¸ µ A3 ¸ A4 ¸ µ µ A5 ¸ ¹ ¸ A1 A2 ¸ A3 A10 ¸ A2 A8 ¸ µ A4 A6 ¸ µ A1 A4 ¸ µ A1 A6 ¸ A3 A9 ¸ µ A9 A10 ¸ µ µ µ A2 A6 ¸ A7 A8 º µ µ ¼º þ µ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¹ º ½º þ ¸ ¸ º ¹ ¸ º ¾º ABCD BC AD M Pº AM ∩ BP L = DM ∩ CP ¸ ¹ þ ¹ ¸ ¿º þ KL¸ K = º ¹ ¹ ½ ¼ �º ¸ º Ai Bi Ci (i = 1, 2, 3) Ai ¸ Bi ¸ Ci º a¸ b¸ c¸ ¹ ¹ ¸ º ABC º þ S : A = AS ∩ ¸ BC, B = BS ∩ AC, C = CS ∩ AB º ¸ BC ∩ B C ¸ AC ∩ A C ¸ AB ∩ A B º p ABC º K = BC ∩p, L = CA∩p, M = AB ∩p, R = BL∩CM, S = CM ∩ AK, T = AK ∩ BLº ¸ AR¸ BS CT º ABCD p q¸ ¹ º AB p ∩ AD = M, p ∩ AC = P, q∩BD = N, q∩BC = Qº ¸ MN ∩P Q AB º º ABC DBC ¹ p q¸ AD ¸ A D p ∩ AB = M ¸ p ∩ DB = P ¸ q ∩AC = N ¸ q ∩DC = Qº ¸ MN ¸ P Q¸ BC º º ABCD º P = AB ∩ CD ¸ BC AD K Mº ¸ ¹ ¸ ¹ ABKM MKCD ¹ º ½¼¼º ABCD P = AB ∩ CD º AD BC ¸ ¹ ½ ½ �AB ¸ H Kº CD ¸ ¸ ¹ AHKD HBCK Pº ½¼½º ABCD E = AB ∩ CD ¸ H = BC ∩ AD º E BC ¸ º ¹ AD ¸ K M ¸ ¹ ABKM MKCD ¸ Hº ½¼¾º ABCDE º ¹ H = AD ∩ CE ¸ O = AC ∩ BH ¸ K = AB ∩ OD ¸ M = BC ∩ OE º µ AC ||DE P = AC ∩ DE ¸ K¸ M ¸ P µ ½¼¿º þ AC||DE ¸ KM||AC º ABCDEF º ¸ ¹ P = AB∩DE ¸ Q = BC∩EF ¹ R = AC ∩ DF ½¼ º ABCD M = AB ∩ CD ¸ H = BC ∩ AD ¸ K = AC ∩ BD º MK AD BC ¹ E Pº ¸ AP ¸ BE ¸ HK º ½¼ º þ ABCD BC AD ¹ A B a b¸ C D c dº ¸ H = AB ∩ CD ¸ K = b ∩ c¸ M = a ∩ d ½¼ º þ º ABCD º º ½ ¾ ¹ �K = AB ∩ CD ¸ H = E = AC ∩ BD HE KE ¸ AB BC P = HE ∩ AB ¸ M = KE ∩ BC º ¸ T = HK ∩ MP CAº ½¼ º þ ABCDEF º H = BC ∩ AF ¸ K = BC ∩ DE ¸ M = DE ∩ AF ¸ P = AB ∩ CD ¸ T = AB ∩ EF ¸ O = EF ∩ CD º ¸ HO ¸ P M ¸ KT º ABCD AB ½¼ º þ a b¸ ¹ Eº ¸ ¸ BC ∩ AD ¸ ½¼ Eº ABC P ¸ Q¸ R¸ ¹ aº M = CQ ∩ AB ¸ S = CR ∩ P M ¸ Y = BS ∩ AC ¸ X = RY ∩ BC º ¸ Z = P Y ∩ QX AB º ABC º ¸ ½½¼º AC ¸ AB BC H Kº H K a||BC ¸ b||AB Mº ¸ BM HC AK º º ½½½º ¹ ABC ¸ A B C ¸ A B C ¸ ¹ º ½½¾º ¸ ¹ O1 O2 O1 O2 ¸ ½ ¿ ¸ ¸ �O1 O2 º þ a ½½¿ ½½ a¸ b b¸ c c ¸ ¹ a0 = (b∩)·(b ∩c )¸ b0 = (a ∩c)·(a∩c )¸ c0 = (a∩b)·(a ∩b ) ¸ ´ ¹ µ a1 = (a ∩ b) · (c ∩ a )¸ a2 = (a ∩ b ) · (a ∩ c ) b1 = (a ∩ b) · (c ∩ b )¸ b2 = (b ∩ c) · (a ∩ b ) c1 = (b ∩ c) · (a ∩ c )¸ c2 = (b ∩ c ) · (a ∩ c) ¸ ´ µ A= a∩a, B = b∩b, C =c∩c A0 = a1 ∩ a2 , B0 = b1 ∩ b2 , C0 = c1 ∩ c2 A1 = b ∩ c , A2 = b1 ∩ c1 , A3 = b0 ∩ c0 , A4 = c ∩ b , A5 = b2 ∩ c2 º ´ · ºµ ½½¿º a0 , b0 , c0 º ½µ a ∦ a , b ∦ b , c1 ∦ c2 ¸ ¾µ a ∦ a , b ∦ b , c1 ||c2¸ a ∦ a , b||b , c1 ∦ c2 ¸ a||a , c1 ||c2 ¸ b||b a||a , b||b ¸ c1 ||c2 º ¿µ µ µ ½µ ¾µ ¿µ ½½ º ¸ A, B, C0 AB||c1 AC0 ||b ¸ ¹ a0 ¸ b0 ¸ c0 A¸ B ¸ C0 AB||c1 , c1 ||c2 b||b , AC0 ||b ¸ ½ �µ µ µ µ a a , b||b , c1 ||c2 A0 , B0 , C0 c1 ||c2 , A0 B0 ||c1 a1 ||a2 , b1 ||b2 , c1 ||c2º ½½ a0 , a, a º º ¹ ¸ ½µ b ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ a2 ¸ ¾µ b ∦ c , c ∦ b , a1 ||a2 ¸ A1 A4 ||a1 b ∦ c , a1 ∦ a2 , c||b ¸ A1 A0 ||c c ∦ b¸ A2 , A3 , A4 ¹ c b¸ A2 A3 ||c a1 ∦ a2 ¸ A0 , A2 , A5 ¹ ¿µ µ µ µ µ ½½ º a1 ||a2 ¸ A2 A5 ||a1 º a ∦ a¸ ¸ A ∈ a0 ¸ ½µ A1 , A4 , A0 a2 µ ¾µ a1 ||a2 ||A1 A4 (b ∦ c , c ∦ b ) ¿µ c||b ||A0 A1 (b ∦ c , a1 ∦ a2 ) µ A2 , A3 , A4 µ c||b ||A2 A3 µ A0 , A2 , A5 µ a1 ||a2 ||A2 A5 º ½½ ½µ ¾µ ¿µ µ A1 , A4 , A0 º b ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ a2 ¸ ´b (c ∦ b ) (a1 ∦ a2 ) a||a ||a0 º A1 , A4 , A0 b ∦ c , c ∦ b , a1 ||a2 ¸ A1 A4 ||a1 b ∦ c , a1 ∦ a2 , c||b ¸ A1 A0 ||c c∦b¸ A2 , A3 , A4 ½ ∦ c , c ∦ b , a1 ∦ ¸ �c b¸ A2 A3 ||c a1 ∦ a2 ¸ µ µ µ ½½ ½µ a1 ¾µ ¿µ µ µ µ µ º a1 ||a2 ¸ A0 , A2 , A5 A2 A5 ||a1 º a||a º A1 , A4 , A0 a2 ) a1 ||a2 ||A1 A4 (b ∦ c , c ∦ b ) c||b ||A0 A1 (b ∦ c , a1 ∦ a2 ) A2 , A3 , A4 c||b ||A2 A3 A0 , A2 , A5 a1 ||a2 ||A2 A5 º ½½ º a L¸ ¸ a0 ||a¸ (b ∦ c ¸ c ∦ b ¸ (c ∦ b ) (a1 ∦ a2 ) b¸ ¹ º C¸ º ½¾¼º LC º P Q cº ½¾½º PQ c¸ P Qº A a a¸ A¸ B ¸ ½¾¾º º ¸ ¸ ¹ ¸ P ½¾¿º a Q a¸ a ¹ Pº a¸ b b¸ ¸ P º PQ cº ½ Q �½¾ º ¸ ¹ a A ½¾ ¸ ¹ B ¹ Bº A º ¸ AB º ½¾ º þ ABCD E¸ ¹ E¸ º ¸ ½¾ ¸ º A º Bº ¸ AB ¸ ¹ ½¾ º º a ½¾ ¹ a¸ P¸ Qº PQ ABCD, BC||AD º º b b¸ º M ¸ M ¸ ½¿¼º º ¸ Mº M ¸ ¹ ¸ º þ ½¿½ ½ ¸ º ½¿½º P ½¿¾º a∩a = P Q P Qº ¸ b ∩ b = Qº ¹ a||a , b||b ¸ º a¸ ¸ ½ A¸ º �½¿¿º ½¿ A º K¸ b Bº AB º a a¸ b b¸ ¹ ¹ ¸ ¹ M¸ º b ½¿ KM º ABCD º º ¹ ¹ ¸ ¹ º ½¿ ABCD º º ¹ ¸ ¹ º ½¿ ABCD (BC||AD) AB º º ¸ ½¿ M¸ M ¹ ¹ º ABCD º ý ¸ º º ½¿ ABCD ¸ º H = AB ∩ CD, K = BC ∩ AD ¹ HK º ½ ¼º ¹ ½ ½º ABCD º ABCD H = AB ∩ CD, E = AC ∩ BD ¸ HE º ¸ ¹ ¹ º ½ ¾º þ ABC ½ XY Z : �X ∈ BC, Y ∈ AC, Z ∈ AB ¸ P = XY ∩ AB, Q = Y Z ∩ BC, R = ZX ∩ CA º ½ ¿º ABC P, Q, R aº X, Y, Z ¹ BC, CA, AB ¸ Y Z, ZX, XY P, Q, Rº ABCD ¹ ¸ XY Z ¸ ½ º þ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ½ ¹ º ABCD P º AB º ½ AC º ABCD º º CD ¸ P¸ ¹ ¸ E = AB ∩ ¹ º ½ ABCD AB º AC º º ¸ P P ¹ º ½ µ µ µ º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¹ T¸ A2 = T (A1 ), A1 = T (A2 ), E = T (A3 ), A3 = T (E) A2 = T (A1 ), A3 = T (A2 ), A1 = T (A3 ), E = T (E) A1 = T (A1 ), A2 = T (A2 ), A3 = T (A3 ), E = T (E)¸ ½ �E (c1 , c2 , c3 )º ½ º ¹ x3 = 0 ¸ º ½ ¼º ¸ ¹ ¸ ¹ x3 = 0º ½ ½º (x2 = 0) A3 (0, 0, 1) A3 A2 (x1 = 0) ¸ A3 A1 º ½ ¾º ¹ ¸ A1 (1, 0, 0)¸ A2 (0, 1, 0) A3 (0, 0, 1)¸ E (a, b, c)º E ½ ¿º ρx1 = x1 + x2 − x3 ¸ ρx2 = x1 − 4x2 ¸ ρx3 = x1 + x2 º A1 ¸ A2 ¸ A3 ½ Eº º ρx1 = 2x1 − 3x2 + x3 ¸ ρx2 = 3x1 − x2 + 4x3 ¸ ρx3 = 3x1 − 2x2 + 5x3 º A(1, 2, 3)¸ B(2, −1, 4)¸ C(−1, 0, 1)¸ D(0, 2, 5)¸ E(1, −3, 4)¸ H(−2, 0, 3)¸ K(3, 1, 1)¸ M(−5, 1, 0)¸ P (2, 2, 1)¸ T (−4, 1, 3)¸ S(2, 3, 1)º ½ º ρx1 = x1 − 2x2 + x3 , ρx2 = 4x1 − 2x2 + 3x3 , ρx3 = x1 − x2 º a(1, 2, 3), b(−1, 2, 5), c(0, 4, −3), d(1, −3, 1), e(2, 3, 1), h(−2, 0, 1), k(3, 3, −2), m(−4, 1, 3), p(1, −1, 0), t(−3, 0, 1), s(1, −5, 4)º ½ ½µ ¾µ º ¹ ρx1 = x1 + x2 + x3 ¸ ρx2 = x3 ¸ ρx3 = x2 ρx1 = 2x1 − x2 ¸ ρx2 = x1 + x2 − x3 ¸ ρx3 = x2 − 2x3 ½ ¼ �ρx1 = x1 − x2 ¸ ρx2 = x2 − x3 ¸ ρx3 = x1 + x3 µ ρx1 = x1 ¸ ρx2 = x2 + x3 ¸ ρx3 = x1 + x2 µ ρx1 = x1 − 2x2 ¸ ρx2 = 3x1 + x2 − 4x3 ¸ ρx3 = x3 µ ρx1 = x3 ¸ ρx2 = x1 ¸ ρx3 = x2 µ ρx1 = x1 + 2x2 − 4x3 ¸ ρx2 = 2x1 − 3x2 + 5x3 ¸ ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3 µ ρx1 = x1 + 2x2 − x3 ¸ ρx2 = x1 − 2x2 + 4x3 ¸ ρx3 = 3x1 + x2 − 2x3 º ¿µ ρx1 = ½ º x1 + 2x2 − 4x3 , ρx2 = 2x1 − 3x2 + 5x3 , ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3 º A1 A2 A3 º ½ º ¹ R = {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}¸ A1 ¸ A2 º ¹ ¸ ¹ ¹ ρx1 = x1 − 2x2 + 3x3 , ρx2 = 2x1 + x2 + 2x3 , ρx3 = 4x1 − 2x2 + 5x3 º ½ º ¸ A1 , A2 , A3 (2, 3, 8)¸ µ (2, 1, 0)¸ µ (1, 1, 0)¸ µ (1, −2, 1)¸ µ (−2, 1, 0)¸ µ (0, 2, 1)¸ µ (3, −5, 9)¸ (0, 1, 1)¸ (−2, 1, 1)¸ (0, 3, 1)¸ (0, 2, 3)¸ (3, 3, 1)¸ E (−7, 4, 1)¸ (1, −1, 1)¸ (0, 2, 1)¸ (1, 1, 4)¸ (−2, 3, 1)¸ (−2, 0, 3)¸ ½ ¼º C ¸ A¸ D¸ ¹ (1, −1, 0) (1, 3, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 3) (2, 5, 0) (0, −2, 7)º ¸ B¸ C¸ D A¸ ½ ½ B¸ �A(1, 0, 1)¸ A (−1, 0, 3)¸ µ A(0, 0, 1)¸ A (1, 2, 0)¸ µ A(2, 1, 1)¸ A (2, 1, 5)¸ µ A(1, 2, 3)¸ A (−1, 13, 8)¸ µ A(2, 1, 0)¸ A (0, 6, 1)¸ µ B(2, 1, 1)¸ B (2, 1, 3)¸ B(1, 2, 0)¸ B (1, 0, 1)¸ B(1, 2, 1)¸ B (2, −1, 3)¸ B(2, −1, 4)¸ B (1, 3, 2)¸ B(3, 1, 1)¸ B (2, 13, 2)¸ C(3, −1, 0)¸ C (2, 3, 8)¸ C(1, 0, 1)¸ C (0, 1, 0)¸ C(1, −1, 1)¸ C (−1, 2, 3)¸ C(−1, 0, 1)¸ C (−1, 1, 2)¸ C(1, 2, −1)¸ C (4, 3, 1)¸ D(2, 5, 2)¸ D (3, 0, −4) D(0, 1, 0)¸ D (0, 0, 1) D(−1, 1, 1)¸ D (1, 2, 1) D(1, 0, 3)¸ D (5, 5, 8) D(0, −3, 2)¸ D (8, 0, 3)º ½ ½º µ µ µ ¹ ρx1 = 4x1 − x2 , ρx2 = 6x1 − 3x2 , ρx3 = x1 − x2 − x3 ρx1 = x2 + x3 , ρx2 = x1 + x2 , ρx3 = x1 + x2 ρx1 = x2 − x3 , ρx2 = x1 + x3 , ρx3 = 2x1 − 2x2 + 3x3 º ½ ¾º ¸ ¹ º ½ ¿º f ¹ A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E ¸ º M = f (M) ´ M ½ µº º A¸ B ¸ C ¸ D A¸B¸C¸Dº M M º ½ ¾ ¹ ¹ �º ½ º ¹ A1 (1, 0) A2 (0, 1) ½ A2 (1, 0)¸ E(1, 1) º º ¸ A, B, C A(1, 0)¸ B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ A(1, 2)¸ B(−1, 1)¸ C(2, 3)¸ ¿µ A(−2, 1)¸ B(1, 1)¸ C(1, 2)¸ µ A(3, 2)¸ B(0, 1)¸ C(1, 1)¸ µ A(−1, 3)¸ B(2, 1)¸ C(1, 2)¸ µ A(4, 1)¸ B(1, 1)¸ C(5, 2)¸ µ A(−3, 2)¸ B(1, 2)¸ C(2, 3)¸ µ A(2, 5)¸ B(1, 4)¸ C(3, −1)¸ µ A(4, 3)¸ B(−1, 1)¸ C(3, 4)¸ ½¼µA(1, 1)¸ B(−2, 3)¸ C(3, 2)¸ A, B, C º ¹ A¸ ¸ B¸ C ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ µ µ A¸ B¸ C A(−1, 2), B(−2, 3), C(3, 1)¸ A(1, 2), B(1, −2), C(2, 1)¸ A(1, 1), B(3, −1), C(−1, 1)¸ A(0, 1), B(2, 1), C(4, −3)¸ A(3, 2)¸ B(1, 4)¸ C(0, 1)¸ A(1, 1)¸ B(2, −1)¸ C(1, 0)¸ A(5, 7)¸ B(9, −2)¸ C(4, −9)¸ A(2, −1)¸ B(1, 3)¸ C(4, 5)¸ ½ ¹ ¸ A (−1, 2)¸ B (2, 1)¸ C (−1, 3) A (0, 1)¸ B (1, 1)¸ C (1, 0) A (1, −1)¸ B (3, 5)¸ C (1, −1) A (1, 0)¸ B (3, −1)¸ C (4, −1) A (2, 1)¸ B (0, 1)¸ C (3, 4) A (3, 2)¸ B (0, 1)¸ C (2, −1) A (2, 3)¸ B (1, 1)¸ C (1, −1) A (1, 0)¸ B (2, −1)¸ C (1, 1) A (0, 1)¸ B (2, −1)¸ C (5, 3) A (−1, 2)¸ B (3, 2)¸ C (1, 2)º ½µ ¾µ ½ A1 (1, 1)¸ E (1, 3)º º ½ ¿ A (4, 1), B (1, 0), C (3, 7) A (0, 1), B (4, −7), C (1, 2) A (3, 7), B (1, 9), C (1, −1) A (−5, 1), B (1, 3), C (27, 1) A (5, 3)¸ B (15, 11)¸ C (4, 3) A (1, 2)¸ B (5, 1)¸ C (2, 1) A (7, 5)¸ B (−2, 9)¸ C (−9, 4) A (1, 3)¸ B (2, −1)¸ C (9, −1)º ¸ ¹ �A1 , A2 ¸ ¹ ¸ º ½ º ¸ ¹ = ax1 − bx2 ¸ ρx2 = bx1 + ax2 ¸ ´a2 + b2 = 0) ¾µ = x1 + kx2 , ρx2 = x2 = x1 ¸ ρx2 = kx2 ¿µ µ = ax1 ¸ ρx2 = bx2 ´a = 0, b = 0µ µ = ax1 ¸ ρx2 = bx1 + ax2 ¸ ´a = 0)º ½ ¼º f: → ¹ A, A = f (A), B, B = f (B), C, C = f (C)º X= ∩ º ½ ½º f ¹ A, B, C A = f (A), B = f (B), C = f (C) M ∈ º M = f (M)º ½ ¾º Π(L) → Π(L ) ¹ a, b, c Π(L) a = f (a)¸ b = f (b)¸ c = f (c) Π(L )º ¹ ½µ ρx1 ρx1 ρx1 ρx1 ρx1 m = f (m) µ µ m ∈ Π(L) LL º ½ ¿º f a, b, c f (b), c = f (c)º ½ (L) a = f (a), b = m º X º Y f A M A = f (A)º º ½ ¹ �½ (L) º þ x y ¹ a m aº ¹ º ½ �¾º þ þ ´ ½¼º ½ º ¸ ¸ ü ÿ µ A, B, C, D (AB, CD) A(1, 1, 2), B(3, −1, 2), (11, −1, 10), D(3, 4, 7) A(0, −2, 3), B(1, 1, −5), C(1, −3, 1), D(−2, 12, −11) µ A(−3, 5, 0), B(1, −1, 2), C(−1, 7, 16), D(3, −1, 12) µ A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 4, 1), D(0, 2, 1) µ A(3, 1, 2), B(1, 1, −2), C(5, 3, −2), D(1, −1, 6) µ A(−2, 0, 3), B(1, 4, 1), C(3, 4, −2), D(7, 4, −8) µ A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(−1, 4, 3), D(4, 2, −3) µ A(−1, 5, 3), B(3, −2, −1), C(9, 7, 5), D(12, 5, 4)º ½ º ¸ a, b, c, d ¸ (ab, cd) µ µ a(0, 0, 1), b(−2, 1, 3), c(6, −3, −7), d(2, −1, −2) µ a(3, 1, 4), b(−1, 0, 2), c(11, 2, −2), d(11, 5, 28) µ a(−2, 1, 3), b(5, −1, −7), c(3, 0, −4), d(−9, 3, 13) µ a(−4, 1, 2), b(2, 1, 3), c(0, 3, 8), d(8, 1, 4) µ �a(2, 2, 3), b(0, 2, 1), c(1, 0, 1), d(5, −2, 4) µ a(0, 1, −1), b(3, 2, 0), c(6, 7, −3), d(−3, 1, −3) µ a(5, 1, 0), b(1, −2, 1), c(7, 8, −3), d(2, 7, −3) µ a(2, 3, −1), b(1, 3, 0), c(0, 3, 1), d(−2, 3, 3)º ½ º ¸ A(1, −2, −1), B(1, 0, −2)¸ C(−3, −4, 8) ¸ D¸ ¸ 5 1 (AB, CD) ½µ − ¸ ¾µ −3¸ ¿µ −1¸ µ ¸ 6 2 1 4 2 3 µ 2¸ µ − ¸ µ ¸ µ ¸ µ ¸ ½¼µ 4º 3 3 3 4 ½ º A(1, 2, 3), B(−3, 2, 4), C(−2, 4, 7)º µ ¸ D¸ ½ ¼º ¸ (AB, CD) = −1º a(1, 2, 1), b(3, −1, 2), c(5, 3, 4)º d¸ ½ ½º ¸ −3) 3 ¸ 4 µ 1 ¸ 2 ½ ¾º µ − 43 ¸ µ 5 ¸ 2 µ (ab, cd) −1º a(2, 1, 0)¸ b(0, 1, 3)¸ c(2, 0, ¸ d¸ ¸ 1 2 (ab, cd) ½µ ¸ ¾µ ¸ ¿µ −3¸ µ 3 3 2¸ µ 14 ¸ ½¼µ − 25 º a¸ b¸ c¸ ¸ d x1 + 2x2 = 0, x1 −x3 = 0, x1 + 4x2 + x3 = 0, 2x2 + x3 = 0 ¾µ 3x1 + x2 + 2x3 = 0¸ x1 + x2 − 2x3 = 0¸ 5x1 + 3x2 − 2x3 = 0¸ x1 − x2 + 6x3 ¼ ¿µ 2x1 − 3x3 = 0¸ x1 + 4x2 + x3 = 0¸ 3x1 + 4x2 − 2x3 = 0¸ 7x1 + 4x2 − 8x3 = 0 µ x1 + 2x2 = 0, x1 − x3 = 0, x1 − 4x2 − 3x3 = 0¸ 4x1 + 2x2 − 3x3 = 0 µ x1 −5x2 −3x3 = 0¸ 3x1 −2x2 −x3 = 0¸ 9x1 +7x2 +5x3 = 0¸ 12x1 + 5x2 + 4x3 = 0 µ 4x1 − x2 − 2x3 = 0, 2x1 + x2 + 3x3 = 0¸ 3x2 + 8x3 = 0¸ 8x1 + x2 + 4x3 = 0 ½µ ½ �µ 2x1 + 2x2 + 3x3 = 0¸ 2x2 + x3 = 0¸ x1 + x3 = 0¸ 5x1 − 2x2 + 4x3 = 0 µ x2 − x3 = 0, 3x1 + 2x2 = 0, 6x1 + 7x2 − 3x3 = 0, 3x1 − x2 + 3x3 = 0 µ 5x1 + x2 = 0¸ x1 − 2x2 + x3 = 0¸ 7x1 + 8x2 − 3x3 = 0¸ 2x1 + 7x2 − 3x3 = 0 ½¼µ 2x1 + 3x2 − x3 = 0, x1 + 3x2 = 0, 3x2 + x3 = 0, 2x1 − 3x2 − 3x3 = 0º ¸ (ab, cd)º ½ ¿º x2 = 0¸ ¸ ½ º D¸ ½ º a, b, c¸ ¹ x1 −2x3 = 0, 3x1 −x2 +4x3 = 0, 5x1 − Lº d¸ (ab, cd) = −2º ¸ A(1, 4, 1)¸ B(0, 1, 1)¸ C(2, 3, −3) ¸ (AB, CD) = −4º B ¸ C ¸ Dº (AB, CD)¸ µ A(2, 1), B(−1, 3), C(1, 4), D(3, 5) µ A(3, 1), B(2, 5), C(1, 0), D(−2, 1) µ A(1, 3), B(5, −2), C(1, −1), D(2, 3) µ A(−1, 1), B(2, 3), C(7, 11), D(1, 4) µ A(5, 7), B(2, 3), C(3, 4), D(−1, 1) µ A(−4, 3), B(3, 2), C(−1, 5), D(2, 1) µ A(−2, 3), B(1, 1), C(0, 1), D(3, −5) µ A(2, 5), B(−3, 5), C(1, 15), D(1, 0) µ A(1, 0), B(7, −3), C(0, 1), D(1, −1)º ½ º A(2, 1), B(−1, 3) ¸ C(4, 5) ¸ D(−8, 3)º ½ A¸ ¹ ¹ �½ º A(1, 3)¸ B(2, 1)¸ C(−1, 4)¸ D(3, −1)º (AB, CD) R Dº ½ ¹ D {A¸ B ¸ C}º ¹ ¹ A(1, 2)¸ R º B(−1¸ 1)¸ C(3, 5) {A1 ¸ A2 ¸ E}º ¸ (AB, CD) = D 1 º 2 ¹ ¹ Rº ½ º þ ¹ B(2, 1) ¹ (6, 1)¸ ¹ A(−2)¸ B(3)¸ C(−1)º D(5)¸ F (−7)¸ G(4)¸ H(2)¸ O(0)¸ E(1) R {A¸ B ¸ C}º ¹ ½ ¼º þ D C(1, 2)º A(1, −1) ½ ½º þ b¸ c¸ d º ¹ a¸ ¹ y = x, y = 2x, y = 3x, y = −x y = x − 3, y = 2x − 3, y = −x − 3¸ y = 5x − 3 µ y = 3x, y = −x, y = 0, x = 0 µ 2x − y + 7 = 0, x + y + 2 = 0, 6x + 5y + 13 = 0¸ x − 3y + 6 = 0 µ y − 3 = −(x + 2), y − 3 = x + 2, y − 3 = 3(x + 2)¸ y − 3 = 5(x + 2)º ½ ¾º A¸ B ¸ C ¸ D¸ a¸ A1 ¸ B1 ¸ C1 ¸ D1 ¹ µ µ a1 º ¸ (AB, CD) ½ (A1 B1 , C1 D1 )º �½ ¿º C ¸ Dº A¸ B ¸ þ ¹ ¸ ¸ A(2, −3), B(3, −1), C(4, 1), D(5, 3) µ A(1, −1), B(2, 1), C(0, 1), D(1, 5) µ A(5, 7), B(3, 4), C(2, 3), D(0, 1) µ A(4, −3), B(1, 5), C(−5, 9), D(13, −4) µ A(3, 1), B(4, −7), C(2, 9), D(7, −6)º µ ½ Cº A¸ B ¸ º D(x1 , x2 )¸ A(−3, 1)¸ B(2, 11)¸ C(1, 9)¸ (AB, CD) = −2 µ A(−4, 0)¸ B(0, 8)¸ C(1, 10)¸ (AB, CD) = 3 2 µ A(1, 2)¸ B(−3, 1)¸ C(5, 3)¸ (AB, CD) = 3 5 µ A(0, 5)¸ B(1, 7)¸ C(−2, 1)¸ (AB, CD) = 2 1 µ A(4, 1)¸ B(−5, 4)¸ C(−2, 3)¸ (AB, CD) = º 2 µ ½ C ¸ Dº º A¸ B ¸ þ ¹ ¸ ¸ A(3), B(8), C(7), D(13) µ A(−1), B(2), C(−3), D(4) µ A(5), B(−3), C(4), D(7) µ A(2), B(0), C(5), D(6) µ A(4), B(−2), C(9), D(8)º µ ½ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ º ¹ º þ ¸ ½ ½ º º º ¸ (AB, CD∞ ) = (AB, C)º A¸ B ¸ C ¸ D ½ ¼ ¹ �(AB, CD) + (AC, DB) + (AD, BC) = 0º ¸ ½ º a¸ b¸ c¸ dº (ab, cd) = sin ∠(a, c) sin ∠(a, d) : . sin ∠(b, c) sin ∠(b, d) ÿ ½½º º ÿ ¾¼¼º A¸ B ¸ C º ¸ ¹ Dº ¾¼½º a, b, c (L)º ¸ ¹ dº ¾¼¾º þ a¸ b¸ cº a¸ b¸ c ¸ d¸ A¸ B ¸ C ¸ ¾¼¿º D ¸ ¸ ¾¼ º D C ¸ AB º BD ABC ºþ BE D E AC º º Bº ¹ ¹ ¸ (AC, DE) = −1º ½ ½ �¾¼ a¸ b¸ º þ c º c ¸ a ¸ ¾¼ º ¸ bº ¸ ¹ ¸ ¹ º ¾¼ º ABC ¸ BC ¸ ¸ B AC A ¾¼ BC º º AB C¸ D = B C ∩ C B¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¸ º ¾¼ º ¸ ¹ º ¸ º ¾½¼º ABC º ¸ CA¸ CB AB ¸ AB º CM ¸ M CX ¸ ¾½½º ABCD m¸ ||AB ¸ m m||BC º O = AC ∩ BD ¸ AC ¸ BD ¸ º ½ ¾ ¸ �¾½¾º AB º AB ¸ º ¾½¿º AB Cº P ¹ ¸ ¹ AB º ¾½ a º c¸ bº ¸ ¾½ b a ¸ bº ABCD º º ¸ ¹ ¸ ¾½ º ABCD º º ¸ ¾½ º º AB º 3AB, 4AB, 5AB º ¸ ¾½ a||b¸ º ¸ AB ⊂ aº AB 3¸ ¸ 4¸ 5 º ¾½ º ¸ º ¸ ¸ º ¾¾¼º AB ¸ AB º X C M ¹ ¹ AB ¸ ¾¾½º MX = AB º ¸ º ¸ ¸ P ½ ¿ ¸ ¹ º �½¾º ¾¾¾º R ¹ {A1 ¸ A2 ¸ A3 ¸ E}º ¸ ¾¾¿º ¹ º ¸ 4x21 + x22 + 5x23 + 4x1 x2 − 12x1 x3 − 6x2 x3 = 0 2 2 2 µ 2x1 + x2 − x3 + 3x1 x2 − x1 x3 + 2x2 x3 = 0 2 2 2 µ x1 + 4x2 + x3 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x3 = 0 2 2 2 µ 5x1 + x2 + x3 + 2x1 x2 − 4x1 x3 = 0 µ x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0 2 2 2 µ 2x1 + 6x2 + 7x3 − 4x1 x2 + 6x1 x3 + 4x2 x3 = 0º µ ¾¾ 2x21 x23 + º x22 ¾¾ º − x23 + 3x1 x2 − x1 x3 − 2x2 x3 = 0 µ x1 − 2x2 + x3 = 0 µ x1 = 5λ − µ, x2 = −3µ, x3 = −2λ + µ µ 2x1 + x2 − x3 = 0 µ x1 = λ + µ, x2 = λ − µ, x3 = 2µº + 3x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 = 0 ¾¾ ¾¾ x22 − A(1, 2, −1)º º x1 x3 + x2 x3 = 0 º 2x21 − x22 − A(1, 1, −1)º x1 x2 + ¸ 3x21 + A(3, −2, 2) ¸ + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x3 = 0º 5x23 º ¾¾ x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = 0º ¹ A1 A2 A3 ¸ ½ ¸ �A1 A2 A3 ¸ ¹ E(1, 1, 1) A2 A3 º ½¿º ¾¾ 2x21 + x22 − 2x23 − º 6x1 x2 + 4x2 x3 = 0 µ ¹ A1 (1¸ 0¸ 0)¸ A2 (0, 1, 0)¸ A3 (0, 0, 1)¸ E(1, 1, 1)¸ M(2, −1, 5) µ 7x1 + 4x2 − 10x3 = 0 º ¾¿¼º (−4, 2, 1µ µ (6, 4, −1µ µ (2, 1, 1µ µ (1, 0, 1µ µ ¾¿½º ¹ 6x21 − 4x22 − x23 − 5x1 x2 + 3x1 x3 + 2x2 x3 = 0 2x21 + 3x22 − 6x1 x3 − 2x2 x3 = 0 4x21 − x22 + 3x1 x2 = 0 3x21 + 5x22 + 10x23 − 4x1 x3 − 6x2 x3 = 0º ¹ 3x1 − x2 + 6x3 = 0 x21 + x22 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 = 0 2x21 + x22 − 3x23 − 4x1 x2 − 2x1 x3 + µ x1 − 3x3 = 0 +6x2 x3 = 0 µ x2 = 0 4x21 + 15x22 + 2x1 x2 − 6x1 x3 + +10x2 x3 = 0 µ x1 + 3x2 + x3 = 0 3x21 + 5x22 + x23 + 7x1 x2 + 4x1 x3 + +5x2 x3 = 0º µ ¾¿¾º ¸ ½ �º ¾¿¿º P AB A B¸ ¾¿ ¾¿ Cº M (CP, KM) = −1¸ CP º P P P ¹ AB (AB, P P ) = −1º ¸ º P ¹ º ¸ P ¸ K ¹ P º P A1 , P A2 ¸ M N (P Q, MN) = −1º ¾¿ A1 A2 Qº ¸ º º ¹ ¸ ¹ A∈ ¸ Bº ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ B Aº ¸ ¾¿ ¾¿ º º ¹ AB ¸ P A O (A = O)º º P º A ¹ ¸ ¹ AO º ¸ ¾¿ ¸ AB º A º Oº A ¹ AO º ¸ ¸ ¹ ½ �AO º ¸ ¾ ¼º þ º ¸ ¸ º ¾ ½º º ¸ ¸ ¹ M∈ ¸ ¸ ¹ º ¾ ¾º Mº M¸ µ µ µ M M M º ¾ ¿º º ¾ P º ¹ ¸ ¾ º º þ ¹ P P ¾ º ¸ º º ¸ ¹ º ¸ P q P QRº ¹ º ½ �½ º þ ¾ ¾ ¸ º ¾ º º ¾ ¹ ¹ º º º ¹ º ¾ º ¸ º ¾ ¼º º ¹ º º ¾ ½º ¹ º º ¹ º ¾ ¾º ¹ º ¾ ¿º ¾ º º ¹ º ¹ º º º ½ �¾ ¾ º Aº Aº º ¸ ¸ ¾ ¹ º º º ¸ ¹ ¸ º ¾ ¾ º º º º º º ¾ ¼º ¹ ¹ º ¹ º ¹ º ¾ ½º ¹ º ¹ º ¾ ¾º º º ¾ ¿º º ¾ º º M ¾ º Mº ¸ º ¹ º M ¹ ½ �¾ º º ¸ ¹ ¸ ý ¾ º º º ¸ ¸ ¾ ý º º º ¸ ¸ ¹ º ½ º þ ¹ ¸ ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¹ º ¸ ¹ ¹ º ´ µ º ¸ ½ ¼ ¹ �º ¹ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¾ µ µ ¹ º º ¸ ¸ ¸ µ µ ¸ º ¾ ¼º µ µ µ ¸ ´ µ ´ ¹ µ ¹ º ¾ ½º M¸ ABCD º AB ¸ ¹ ABCD ¸ ´ µº ¾ ¾º ABCD º AB ¹ º ¸ ABCD ´ ¹ µº ¾ ¿º ¸ AB CD A¸ B ¸ C ¸ D ¹ º ½ ½ �´ ¾ µº AB CD A¸ B ¸ C ¸ D º ¸ ¹ º ´ µº ¾ º º º ¾ º ¹ º ¹ º ¾ º ¹ º ¹ ¹ º ¾ º ¾ º ¹ º º ¸ ¸ ¸ ¾ ¼º º º ¸ ¸ º ¹ ¹ º ¾ ½º ¸ º º ¾ ¾º ¹ º ¾ ¿º º ¹ º ¾ ¹ º º ¹ ½ ¾ �º ¾ º º ¹ º ¾ º º ¸ ¹ ¹ º ¾ º º ÿ ¹ º ¾ º º ÿ ¹ º ¾ ¹ º º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ º º ¾ ¼º ¹ º ¹ º ¾ ½º ¾ ¾º ¾ ¿º ¹ º º ¹ º º ¸ º ¾ ¹ º º ¸ ¸ º ¾ º ¸ º ½ ¿ ¹ M �Nº Nº Nº ¾ ¾ Nº M ¸ º ¹ º Nº ¸ ¸ ¹ º ¾ º ¾ º º º l¸ M º ¿¼¼º ¿¼½º ¿¼ ¿¼ ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º ¹ º º ¿¼¿º ¿¼ º º ¿¼¾º ¿¼ ¹ º º º º º º º º ¸ ¹ º º ¿¼ º ¸ ¹ º ¿¼ ¹ º º ½ �º ¸ ¹ º ¿½¼º º º ¿½½º º ¹ ¿½¾º º º º ¿½¿º ¿½ ¿½ º º º º ¹ º Aº º A¸ º ¹ º ½ �ý ½ ü ¸ þº º º ÿ º ý ¾ º » º º º ü ¸ ¸ ½ º º ÁÁº ¾ ü ¸ º ÿº ýº ÿ ¿ ¸ º º ü º ¸ º º ¸ º » ¸ ½ º ÁÁº » º ü ¸ ½ º ü º ¹ º º ÿ º ¾ º » þº º ý º ¸ ½ º ÁÁº ý þº ¸ þº º ý º º » º ¸ þº º º » ¸ ½ º ü ý ¾ º ü º º ÿ º » º ¸ ½ ½ ¼º ¸ º �ý ¸ üº º þº В. ý » С.ºþº . º º º ¸ üº º » üº ½ ¸ ¸ ¸ ½ º º ¹ º º þ ¸ ½º ¸ º þº º þº ½¼ º ¸ º ½½ º º ¸ Ⱥ » ý ü ÿ ¸ ¾¼½¾º º » º ¸ ½ º ¼º » º ¸ ½ ½ ¼º �Оглавление Введение. Краткая историческая справка 3 ГЛАВА 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 5 § 1. Определение проективного пространства и проективной плоскости § 2. Расширенная плоскость и расширенное пространство как модели проективной плоскости и проективного пространства § 3. Координаты точек на расширенной плоскости и в расширенном пространстве § 4. Проективные координаты точки на проективной плоскости § 5. Проективные координаты на проективной прямой § 6. Уравнение прямой на проективной плоскости § 7. Нахождение точки пересечения двух прямых. Уравнение пучка прямых § 8. Принцип двойственности § 9. Теорема Дезарга § 10. Частные случаи теоремы Дезарга и их применение к решению задач § 11. Группа проективных преобразований § 12. Проективные отображения и преобразования прямых § 13. Перспективные отображения прямых и пучков 5 9 12 18 23 24 27 31 34 38 41 48 51 ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 60 § 14. Двойное (сложное) отношение 60 178 �§ 15. Гармонические четверки точек и прямых § 16. Гармонические свойства четырехвершинников и четырехсторонников § 17. Проективная классификация линий второго порядка § 18. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой на проективной плоскости § 19. Касательная к линии второго порядка на проективной плоскости § 20. Полюсы и поляры линии второго порядка. Полярное соответствие § 21. Конструктивные теоремы теории линий второго порядка § 22. Геометрия на плоскости с фиксированной прямой § 23. Евклидова геометрия с проективной точки зрения Приложение. ЗАДАЧИ Раздел 1. Проективное пространство 1. Определение проективного пространства и проективной плоскости 2. Расширенная плоскость и расширенное пространство 3. Проективные координаты точки на прямой 4. Проективные координаты точки на проективной плоскости 5. Уравнение прямой на проективной плоскости. Уравнение пучка прямых 6. Принцип двойственности 7. Теорема Дезарга 8. Проективные преобразования плоскости 9. Проективные отображения и преобразования прямых и пучков Раздел 2. Основные факты проективной геометрии 10. Двойное (сложное) отношение 75 77 80 83 86 89 100 112 120 125 126 126 127 128 131 133 137 139 149 153 156 156 �11. Гармонические четверки точек и прямых. Гармонические свойства четырехвершинников и четырехсторонников 12. Проективная классификация линий второго порядка 13. Полюсы и поляры линии второго порядка 14. Конструктивные теоремы теории линий второго порядка 15. Линии второго порядка в евклидовой плоскости Библиографический список 161 164 165 168 170 176 � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Проективная геометрия Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. проективная геометрия. 4. проективное пространство. 5. задачи (геометрия). 6. решение задач. Description An account of the resource Проективная геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 180 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Наряду с теоретическим материалом, изложение которого сопровождается многочисленными примерами решения задач, в пособие включен сборник задач. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п., ссылки на внешние документы – приложения. Приложения можно открывать так же, как вложения, при этом происходит автоматический показ слайдов. Программа «Адобе Акробат» позволит установить необходимое время демонстрации каждого слайда. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 27.04.17 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova1.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova1.pdf</a> Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Геометрия задачи (геометрия) Математика проективная геометрия проективное пространство решение задач http://www.journal-altspu.ru/files/original/72/100/_.png a3651b119d3dad6546b5ffc4c770e657 http://www.journal-altspu.ru/files/original/72/100/_7.11.pdf 5fc32747dab5d5d96917fd244cf7ff6f PDF Text Text �ü ºþº ü ü ü ü ÿ þ ¾¹ ¸ ý ¾¼½ ü þ �ýý ½ º½ ´¼ µ ¾¾º½ ½º¿¾ ¿ ½ ¸ º þº ü » º þº º ¾¹ ü ÿ ¸ ¾¼½ º ÁË Æ ¹ ¹ ¾½¼¹ ¾¹¾ º º ¸ ¹ ´ü µ º º ¸ ¹ ´ü º ¸ ¸ ü ¸ º ¹ º¸ ¹ º ý ¸ ¸ µ ¸ º º ü ÿ ¹ ¹ ¾ º¼ º¾¼½ º Текстовое (символьное) электронное издание. ½º ¾º ¿º º È ÒØ ÙÑ ½¿¿ Å ÖÓ×Ó Ø Ï Ò ÓÛ× Ï Ò ÓÛ× º ¹ ½ ýº ü ¸ ¾¼½ �Объём издания – 2 400 КБ. Дата подписания к использованию: 13.12.2017 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Алтайский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВО «АлтГПУ») ул. Молодежная, 55, г. Барнаул, 656031 Тел. (385-2) 36-82-71, факс (385-2) 24-18-72 е-mail: rector@altspu.ru, http://www.altspu.ru �ÿ ½ ï ½º ½º½ º ¸ º ¸ A ¸ B ¸ ¹ ¹ A ¸ B º ¸ BA ¹ AAº AB º ¹ ¸ AB AB º ¹ A AB º AB º AB Bº ¹ ¹ ¹ AB º �´ ´ ½º¾ º AB µ µ CD AB º º½ AB CD ¸ M N AB ¸ GH ¸ ¹ KL º ¹ º½ ½º¿ º ¸ ¸ ¹ º º AB ∼ CD ºµ ¹ ¸ ¹ CD º ¹ ½º½ º ´ ¸ CD ¸ BC º AD º º AB CD ABDC AB CD AB AB ∼ CDº ¸ ¸ º ¹ ¹ ¹ AD BC º AB µ ¸ CD AB CD ¹ ´ º º¾ µ �µ B=C AB µ´ º¾ µ µ º ¾ µº AB CD ´ º CD ¸ º º AD BC º AB CD ABDC º AB ¸ ¸ µ µ¸ AB ¸ CD AD = BC ¸ º AB ¸ AB ∼ CDº º º ¸ ¹ CD ¸ AB CD ¹ µ¸ ºþ µ AB = AO − BO¸ AO = OD BO = OC ¸ ¸ µ ¸ CD ¹ ¸ AB ∼ CDº AD > BC º CD = DO − CO ¸ AB = CD º ü AB = CD º µ¸ ¸ �½º¾ º µ ½º AB ∼ AB ´ ¾º AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB ´ ¿º AB ∼ CD¸ CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF ´ ï ¾º µº º þ º þ µ −− → AB AB º ¾º½ º ¹ º ¹ º a¸ m¸ e1 ººº a¸ m¸ e1 ¸ −→ a = OA OAº þ ¸ ¸ º¿ ¹ AB ¸ ººº¸ ¹ ¹ a ¹ a ¹ a º ¾º¿ º þ º ¸ Oº ¾º¾ º þ ¸ ¸ º ¸ ¹ a, b, p a b ¹ º ¸ c r �º a b a bº ¸ º ¹ ¹ º¿ ¾º º þ ¸ a ¹ ¹ b ¸ º º a ↑↑ b b a ↑↓ b − −→ a = AB ¸ a a ↑↓ aº a − −→ BA ¾º º ¸ −aº 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m(βc)º a = mc = º½ kc = m(βc)º ¸ β1 º½ a c = k º β a = kc ¸ c = 0¸ k = m β k = mβ ¹ ¸ ¹ a = ¸ ¹ a º βc ï º a1 ¸ a2 ¸ ººº n α1 ¸ α2 ¸ ººº ¸ αn º þ α2 a2 +...+αn an a1 ¸ a2 ¸ ººº ¸ an º ÿ ¸ a1 ¸ a2 ¸ ººº ¸ an º º½ º ¸ an b = α1 a1 + b a1 ¸ a2 ¸ ººº ¸ an ¹ ¸ α1 ¸ α2 ¸ ººº ¸ αn ¸ ¸ ¸ α1 a1 + α2 a2 + ... + αn an = 0º ¹ α1 = α2 = ... = αn = 0¸ º ½ �½º º½ º ¸ º º º ºý ¸ º ¸ º½ µ º β = 0º b||aº a 1 · a + 0 · b = 0¸ ¹ b = λaº ¹ º½ µ¸ a b||aº ¸ a = 0º b a b αa + β b = 0¸ α β ¹ b = − αβ a a ´ º b λa − b = 0¸ ´ º b ¾º ¸ º º¾ º þ ¸ O ¸ A¸ B a¸ b c −→ −−→ O a = OA¸ b = OB C º¾ º þ ¸ a¸ b ½ c º ¹ ¸ ¹ a¸ b −−→ c = OC ¸ º c ¹ �º º c c º ¸ ¸ º º º½ c = − αγ a − c ½¼µ¸ OA CB ´ O¸ A ¸ B ¸ C −−→ π º α OA ||a¸ ¸ − γ a¸ A ü ¸ ¸ B a¸ b c ½µ ¾µ b β γ ¸ b ¹ −−→ OA = ¸ ¹ OA º −−→ OB = − βγ b º ½¼ OB O ¸ A¸ B ¸ C º º a¸ b º º½ ¸ ¸ ½ π¸ º a¸ b = λaº b¸ ¹ º c º ¸ a p = λa − b + 0 · cº º a¸ a + 0 · b + 0 · c = 0º c º γ = 0º ¹ µº ¸ a¸ b ¹ c −→ −−→ a = OA¸ b = OB ¸ −−→ −−→ − αγ a = OA ¸ − βγ b = OB ´ º º −−→ −−→ −−→ ¸ OC = c = OA + OB ¸ O −−→ c = OC ¸ a¸ b αa + β b + γc = 0¸ α¸ β ¸ γ ¸ þ a¸ b a¸ b ¹ º ¸ ¹ b = λa¸ p = 0º �¸ b ¿µ λa − b + 0 · c = 0¸ ¹½º º½ º a¸ b c a¸ b c −→ −−→ −−→ a = OA¸ b = OB ¸ c = OC º ¸ O ¸ A¸ B ¸ C πº þ π OA OB º þ ¸ ¸ a B ∈ OB ¸ ½¸ c ¸ ¸ α a¸ b β¸ ¸ ¸ ¹ −−→ −−→ OC = OA + OB ´∗µº −−→ −−→ OA ||a OB ||bº −−→ −−→ OA = αa OB = β bº c = αa + β b¸ αa + β b − c = 0º a¸ b º b OA OACB º −−→ A ∈ OA ¹ ¸ ¹ OB ¸ C Bºþ A º O ¸ c c = αa + β b º½ º a¸ b c ¹ ´∗µ ¹ ¸ ¹ ´ º ´∗µµº ¿º º¿ º þ º ¹ º ½µ a ¸ b¸ c ¸ º a+0· b+0·c+0· d = 0º º½ ¾¼ º d a¸ º ¹ ¸ �a ¸ b¸ c ¾µ º d ¸ ¸ a¸ b c¸ a b¸ c = αa + β bº p = αa + β b − c + 0 · dº c c = αa + β b¸ αa + β b − c + 0 · d¸ d º½ ¿µ º ´ º d C πº D Mº º¾ a ¸ b¸ c c a ¸ b¸ c d ½º ¹ ¹ a ¸ b¸ ¸ π¸ º ¸ O −→ −−→ −−→ −−→ a = OA¸ b = OB ¸ c = OC ¸ d = OD º O¸ A B º º ½½µ ¸ π c p = 0º ¸ º ¹ D OC º ¹ C a¸ b −−→ OM ¹ ¸ ´ ¹ º ½½ º ½½µº ¹ −−→ OM a −−→ OM D ¹ OM = αa + β bº −−→ −−→ −−→ MD OD = OM + M D º −−→ OC ¸ ¸ ¸ MD c −−→ ¸ M D = γc ´ º½ µº −−→ −−→ −−→ d = OD = OM + M D 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− → ¸ ,π a a e¸ AB º º¾ ú·û¸ +|A1 B1 |, −|A1 B1 |, º½ º ´ πº ¹ ¹ a πº º ,π a = e a π¸ ,π a µ ¹ ¹ a º ½¾ º πº ¸ ´ ¹ ¹ ú û¸ e¸ º º −−−→ A1 B1 ↑↑ e, −−−→ A1 B1 ↑↓ e. −− → a = AB µº π ¾ ´½º º ½µ ¹ �º AB ½ AB º a||π AB ´ º ½¿µº þ π¸ π1 = π1 ¸ ¾ A º ½¿ π2 ¸ ¿ ¸ a|| ´ ¸ AB πº a º −−º−a→= A1 B1 ¹ −−→ −− → AB a = A B º ¹ −−−→ a A1 B1 −−−→ −−−→ ¸ A1 B1 = A1 B1º π1 π1 ¸ A1 B1 ¸ A1 B1 ¸ A−−1−B→1 = A−−1−B→1 = 0º π2 = π2 ´ º ½ µº π1 B B A1 A1 ¸ B1 −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 B1 º º½ B1 º ½ µº þ º½ AB º AB ¾ ¸ ¹ ¹ A ¸ �AB ¸ π1 ¸ ¸ π2 AB º ´ A1 B 1 µ´ AA1 a − −→ −−→ A1 C = AB ¸ π2 ¸ π2 CC || CB1 ||C B1 , −−−→ −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 C + C B1 º ´½º¿º ½µ ¸ ¾ C º CB1 ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ C B1 º −−→ −−−→ ¸ A1 C = C B1 º −−→ −−→ −−−→ A1 B1 = A1 C + CB1 ¸ þ ¹ ¸ −−→ −−→ A1 C = A1 C ¸ CC B1 B1 ¸ ¸ π2 º A1 CC A1 CC ¹ ¹ −−−→ −−→ A1 B 1 = A1 B 1 º A1 B 1 ¸ º ½ µº = aº º½ C ºü A1 B 1 −−→ −−→ A1 A1 C = a¸ A1 C ABCA1 BC º π2 º ü A1 BB1 º AA1 ABB1 A1 A1 B 1 AB ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ −−−→ −−−→ A1 B1 = A1 B1 º ¹ �−−−→ −−−→ A1 B1 A1 B1 −−−→ −−−→ A1 B1 A1 B1 = º e e aº ¸ ¸ a¸ ´ º ¹ ¸ µ º ¹ º º¾ º ´ ºµ 1◦ º 2◦ º ¹ º ¹ º º 1◦ º ´µ¸ −−→ b = BC º a −→ AC = a + b b B1 C1 = b·e ´∗µ¸ 2◦ ´ º ´½º º −−−→ A1 C1 = a·e+ b · e¸ (a + b) = a+ º ½ µº ´ º bº ¹ − −→ a = AB ¸ º½ µº a¸ ´a + bµ ¹ −−−→ → a¸ π A1 B1 = − −−−→ − −−−→ → b¸ A1 C1 = B1 C1 = − → (a + b)º = º½ ´−∗−µº−→þ A bº −−−→ −−−→ −−−→ A1 C1 = A1 B1 + B1 C1 −−−→ ½µ¸ a · e¸ A1 B1 = (a + b) · eº ¹ (a + b) · e = −− → a = AB º ¾ λa �→ − A λa = A º − − − → − → a = A B 1 1 −−→ A1 C ¸ π2 ´ º ¸ C a B º¾ ¸ ´½º¿º ½µ −−−→ −−→ −−→ ¹ A1 C = A1 B1 + B1 C º −− → −−→ λa = λAB = λA1 C = −−−→ p1 p λA1 B1 + A −−→ ¹ λB 1 C º − → (λa) = 1◦ − − → −−−→ → (λA − → (λA C) = − l 1 1 B1 + −−−→ −−→ A1 e − → (λA1 B1 ) + λB1 C) = − − → − → (λB C)º ¹ 1 A1 B1 ¹ −−−→ − → (λA ¸ 1 B1 ) = −−−→ ¸ B1 C λA1 B1 º ü −−→ − → π2 ¸ ¸ (λB1 C) = 0º −−−→ − → aº þ ´½º º½µ¸ λA1 B1 = λ a) · e ¸ ¸ (λa) = λ aº e = (λ A1 a = B1 ¸ µº p2’ p2 B C’ C .B . B’ B 1’ 1 º½ ¸ − → (λa) = (λa) · ï ½¼º ½¼º½ º π ¹ ¸ º π ½¼º¾ º AOB ¸ −→ −−→ OA = a¸ OB = bº a O º ´a, bµ a ¿¼ bº b ¹ �½¼º½ º ¸ ¸ º º ´½º½¼º ½µ a = |a| cos(e, a)º −− → a = AB º π1 a π2 ¸ A a º ½µ a ´ º ½ µº þ AB π1 −−→ A1 B 1 π2 ABB1 A1 A1 B1 ¸ AA1 ¹ ¸ Bº ¸ BB1 º ¹ ¹ ¸ º −−→ ¸ ´½º º ½µ a = ±|A1 B 1 |¸ −−→ −−→ ¹ ú·û¸ A1 B 1 ↑↑ e ú û¸ A1 B 1 ↑↓ eº −−→ ¸ ´½º½¼º ½µ ±|A1 B 1 |¸ −−→ a = A1 B 1 (e, a) 0◦ ¸ ¹ a ↑↑ e 180◦ ¸ a ↑↓ eº ¸ ´½º½¼º½µ º ¾µ a⊥ ´ º ¾¼µº þ π1 π2 ¹ A1 B1 º º ¸ −− → −−→ AB = A1 B 1 º ¿½ �¸ a a = 0º ¸ ´½º½¼º ½µ a e ¸ ¸ cos(e, a) = 0º ¸ ´½º½¼º ½µ º ¿µ (e, a) = ϕ¸ a ºþ µ ϕ < 90◦ −´−→ º ¾½ µ¸ µ ϕ > 90◦ ´−−→º ¾½ µº ¸ µ A1 B1 ↑↑ e¸ µ a A1 A1 B 1 ↑↓ eº þ −−→ a = A1 C º 90◦ ϕ¸ º ´½º º ½µ ⊥π2 ¸ ⊥B1 C A1 CB1 A1 B1 = A1 C·cos ∠CA1 B1 º þ µ ∠CA1B1 = π − ϕº þ a= −−→ +|A1 B 1 |, −−→ −|A1 B 1 |, = −−→ +|A1 C| · cos ϕ, −−→ −|A1 C| · cos(π − ϕ), = +|a| · cos ϕ, −|a| · (− cos ϕ), µ ∠CA1B1 = −−→ A1 B 1 ↑↑ e, = −−→ A1 B 1 ↑↓ e −−−→ A1 B1 ↑↑ e, = −−→ A1 C ↑↓ e −−−→ A1 B1 ↑↑ e, = |a| · cos ϕ. −−−→ A1 B1 ↑↓ e ¿¾ ¹ �ï ½½º ½½º½ º a ab º b º ¹ ¸ a ¸ b ´½º½½º ½µ ab = |a| |b| cos(a, b)º ½½º½ º ´ 1◦ º 2◦ º 3◦ º 4◦ º 5◦ º 6◦ º ºµ a b ab = 0 ⇔ a⊥bº a 2 = |a|2 ¸ a 2 = aa aº ab = |a| a b¸ ab = |b| b aº ab = baº (αa)b = α(ab) a(αb) = α(ab)º (a + b)c = ac + bcº ¸ º 1◦ º º ½½º½ ab = 0 ⇔ cos(a, b) = 0º cos(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 90◦ ¸ ab = 0 ⇔ a⊥bº ◦ 2 a 2 º a 2 = aa = |a| |a| cos(a, a) = |a| 2 cos 0◦ = |a| 2 3◦ º ´½º½¼º ½µ a b = |b| cos(a, b)º ab = |b| |a| cos(a, b) ¸ ab = |a| = |b| b aº ¿¿ b ´½º½½º ½µ a = |a| cos(b, a) (|b| cos(a, b) = |a| ab �4◦ º ba = |b| |a| ´½º½½º ½µ cos(b, a)º |a| · |b| = |b| · |a|¸ 5◦ 3◦ a b ´ bº (αa)b = |b| º α(a b)º ü α(ab)º 6◦ º (a + b)c = |c| |c| c b = ac + bcº º 5◦ º ab = baº 6◦ ¹ ¹ º¾ µº ¸ a b (α a) ¹ ¹ cos(a, b) = cos(b, a) = |b| (α c (a + b) = |c| ( 1◦ − 3◦ ¸ b a) ca+ 4◦ − = α (|b| c b) ¹ = a(αb) = b a) ca+ = |c| ¹ ¹ 6◦ ï ½¾º ½º ¹ ½¾º½ º ý ¸ º º ßi, j ¸ ßi, j, k ´ ½¾º½ ¿ º ½½º½ µ ¸ ¹ ¹ �1) i j = 0, j k = 0, i k = 0 2) i 2 = 1, j 2 = 1, k 2 = 1º ´½º½¾º ½µ ¾º þ ½¾º½ º a(a1 , a2 , a3 ) a ¸ º º ¹ b ´½º½¾º ¾µ ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º a = a1 i + a2 j + a3 k ¹ b(b1 , b2 , b3 ) ßi, j, k ¸ º b = b1 i + b2 j + b3 k º þ ¸ ´ ¹ ½½º½ µ¸ a b = (a1 i + a2 j + a3 k) (b1 i + b2 j + b3 k) = (a1 b1 ) i 2 + (a1 b2 )(i j) + (a1 b3 )(i k) + (a2 b1 )(j i) + (a2 b2 ) j 2 + (a2 b3 )(j k) + (a3 b1 )(k i) + (a3 b2 )(k j) + (a3 b3 ) k 2 º ´½º½¾º ½µ¸ ¸ a bº ¸ ¸ 1◦ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 º ´½º½¾º ¾µ ¹ ¿ �a b ´½º½¾º ¿µ a⊥b ⇔ a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 = 0. ¿º ´½º½¾º ¾µ ¸ b = a¸ ¹ a ¸ a 2 = a21 + a22 + a23, ¸ a ´½º½¾º µ a21 + a22 + a23 º |a| = º ½¼º¾ µ πº ´½º½½º ½µ¸ ´½º½¾º¾µ ´½º½¾º µ¸ ab |a|¸ |b| cos(a, b) = ab ´ ¹ ºþ ¹ ¹ a b ´½º½¾º µ º |a| · |b| þ cos(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 º º α¸ β ¸ γ i¸ j ¸ k a α = (a, i), ´½º½¾º µ β = (a, j), ¿ γ = (a, k). �½¾º¾ º cos α¸ cos β ¸ cos γ a ´a = 0 µ ßi, j, k º ½¾º¾ º a ¹ º º cos α = ai ¸ |a||i| ´½º½¾º µ cos β = aj |a||j| a = a1 i + a2 j + a3 k ¸ a2 j i + a3 k iº þ ai = a1 º ü |a| = a21 + a22 + a23 cos α = cos β = cos γ = ¸ cos γ = ak º |a||k| ´½º½¾º µ ai = (a1 i + a2 j + a3 k)ia1 i 2 + ´½º½¾º½µ¸ ¹ aj = a2 ¸ ak = a3 º ai¸ aj ¸ ak ¸ |i| = |j| = |k| = 1 ´½º½¾º½µ¸ ´½º½¾º µ α¸ β ¸ γ ´½º½¾º µ a1 a21 + a22 + a23 a2 a21 + a22 + a23 a3 a21 + a22 + a23 ¸ ¸ ´½º½¾º µ º ½º ¹ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1º ¿ ´½º½¾º µ �º cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2 a2 a1 + a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 a21 + a22 + a23 2 = 1. a21 + a22 + a23 ¸ 2 2 a3 + a21 + a22 + a23 ¾º = ¹ ¹ º º a º |a| = a21 + a22 + a23 = 1º ´½º½¾º µ a1 = a21 + a22 + a23 · cos α = cos α¸ a2 = a21 + a22 + a23 · cos β = cos β a3 = a21 + a22 + a23 · cos γ = cos γ º ï ½¿º ½¿º½ º ¸ ¸ ßa, b, c ¸ ¸ ¸ ¸ º º ¸ º º ßa, b, c ¸ ¸b ßa, b, c ¹ ¹ º ¸c º ßa , b , c a a = c11 a+c12 b+c13 c¸ b = c21 a+c22 b+c23 c¸ ¿ �c = c31 a + c32 b + c33 c. ⎛ ⎞ c11 c12 c13 T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ c31 c32 c33 ßa, b, c ßa , b , c º ½¿º¾ º ¸ ¸ |T | = 0º ¸ ¹ ¸ ¸ T ´½º½¿º ½µ |T | ¹ º |T | ¹ ¸ ¹ ¸ T ½¿º½ ¸ ¸ º ´ ¹ ¹ |T | = 0º ½¿º½ º ½µ ¸ ¹ ¾µ ¹ º ´ º º ¿ ºµ ¸ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ º ¹ �º ú ¸ º O û ú û ºþ ´ µ º Oab b ´ ´ ßb, c, a º ßa, b, c c ¸ ¹ ¸ ¸c c º ¾¾ ¹ º ¸ º ßb, c, a º ¹ c a¸ b º ¾¾ ßc, a, b µ µº a ¸b º ´ º ¾¾¸ µ¸ º ¾¾¸ µº ½º a¸ b ¹ a º ¾¾ ´ º ´½º½¿º ½µ T ¼ ¹ ¸ º º ßa, b, c ßa, b, c ¸ ßb, c, a ¸ º ßa, b, c �⎛ |T | = 1¸ ßa, b, c ßb, c, a ⎞ 0 1 0 T = ⎝0 0 1⎠º 1 0 0 ¸ ßc, a, b ßa, b, c º ¾º º ¸ T ½¿º¾ ⎛ O ºü Oab¸ ¸ ßa, b, c º c ºü ¹ ßb, a, c ¸ ßa, c, b ¸ ßc, b, a ßa, b, c º ßa, b, c ¸ ¹ ßa, b, c ßb, a, c ⎞ 0 1 0 T = ⎝1 0 0⎠ 0 0 1 |T | = −1º ßa, b, c ßb, a, c ßa, c, b ¸ ßc, b, a ßa, b, c º ßa, b, c ßa, b, c ¸ º ¿º ¹ ¹ ¹ ¸ º º ßb, a, c º ½¿º¾ c ¸ c = γ1 a + γ2 b + γ3 cº c c ½ ¹ ¹ c Oab¸ º c ¹ ¹ Oab¸ c c º ßa, b, c γ3 > 0¸ �Oab¸ ßa, b, c γ3 < 0º ßa, b, c º ⎛ ⎞ 0 1 0 T = ⎝ 0 0 1 ⎠º γ1 γ2 γ3 þ Oab¸ |T | > 0¸ ½¿º¾ c |T | = γ3 º ¸ ¹ c Oab¸ |T | < 0º ßa, b, c ¸ º T c c ßa, b, c ¹ ¹ º ¹ ¸ ¸ º º ¹ ßλa, b, c ¸ ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc λ>0 ßa, b, c λ < 0º ßλa, b, c º ¹ º ßa, b, c ⎛ ⎞ λ 0 0 T = ⎝ 0 1 0⎠¸ 0 0 1 |T | = λº ¸ ½¿º¾ ßa, b, c λ < 0º ¸ ºü ßa, λb, c ¸ ßa, b, λc λ>0 ¾ λ < 0¸ λ > 0¸ ßa, b, c |T | > 0 ßλa, b, c ¸ ¹ �ï½ º þ a ½ º½ º þ b ¸ a×b ½µ | a × b | = | a || b | sin ϕ¸ ϕ = (a, b)º ¾µ þ a×b bº ¿µ a b ¸ ¸ ßa, b, a × b ßi, j, k º ½ º½ º ´ ºµ a b b(b1 , b2 , b3 ) a×b= ½º sin ϕ = ßi, j, k a×b ¹ ´ [ab]µ a¸ a×b ¸ º º ¹ ¹ ¹ ¹ a(a1 , a2 , a3 )¸ ¸ ¹ a2 a3 a a a a , − 1 3 , 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½ º ½µ a1 a2 a3 a × b = b1 b2 b3 i j k ´½º½ º ¾µ º 1 − cos ϕ º a× b = x(x1 , x2 , x3 ) |x| = |a| · |b| · sin(a, b)º √ 2 a 2 b 2 −(ab)2 ab 1− = ¸ ½ º½ 2 = ϕ = (a, b)º |a|·|b| ¿ |a|·|b| �a 2 b 2 − (ab)2 º |x| = x a b (a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 . |x| = ¹ (a1 b2 − a2 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a2 b3 − a3 b2 )2 . (∗) |x| = ¾º ½ º½ a¸ x bº x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = 0 x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 = 0. (x1 , x2 , x3 )º ¸ ¸ Δ= ¸ x1 = a1 a2 , b1 b2 Δ1 = ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ a2 a3 , b2 b3 Δ2 = a1 a3 . b1 b3 ¸ Δ = 0º −a3 x3 a2 −b3 x3 b2 a1 a2 b1 b2 a1 −a3 x3 b1 −b3 x3 x3 Δ 1 −x3 Δ2 , x2 = . = = Δ Δ a1 a2 b1 b2 x2 x3 x1 . = = Δ1 −Δ2 Δ λ¸ �x1 = λΔ1 , x2 = −λΔ2 , ´¶¶µ x3 = λΔ. x Δ21 + Δ22 + Δ2 . (λΔ1 )2 + (−λΔ2 )2 + (λΔ)2 = |λ| |x| = Δ1 = a2 b3 − a3 b2 ¸ Δ2 = a1 b3 − a3 b1 ¸ Δ = a1 b2 − a2 b1 ¸ (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 . |x| = |λ| ¿º ßa, b, x ºþ ´¶µ¸ ½ º½ |λ| = 1º ßi, j, k ½¿º¾ a ¸ b¸ x |T |¸ ßi, j, k º ¹ ¸ a1 a2 a3 a a a a a a |T | = b1 b2 b3 = x1 2 3 − x2 1 3 + x3 1 2 = b2 b3 b1 b3 b1 b2 x1 x2 x3 þ = x1 Δ 1 − x2 Δ 2 + x3 Δ º ´¶¶µ¸ |T | = λ(Δ21 + Δ22 + Δ2 ). |T | > 0 λ > 0 x =a×b x1 = Δ 1 = Δ21 +Δ22 +Δ2 > 0¸ λ = 1¸ ¸ ¸ λ > 0º |λ| = 1 a2 a3 a a a a , x2 = −Δ2 = − 1 3 , x3 = Δ = 1 2 . b2 b3 b1 b3 b1 b2 ¸ a×b= ´½º½ º ½µº a2 a3 a a a a i− 1 3 j+ 1 2 k b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½ º ¿µ �¸ ¹ ¹ ¸ a1 a2 a3 a × b = b1 b2 b3 . i j k ¸ ¸ ´½º½ º ¿µº ½ º¾ º ´ þ ºµ 1◦ º 2◦ . b¸ ¹ ¹ ¸ ´ÿ a×b ¸ a ¸ µº 0º ºµ b ´ ¹ ¹ S a ¹ 3◦ º ´∀ a, bµ a × b b × a. ◦ 4 º ´∀ a, bµ¸ ´∀ α ∈ Rµ a × (αb) = α(a × b)¸ (αa) × b = α(a × b)º 5◦ º ´∀ a, b, cµ a×(b+c) = a× b+a×c¸ (a+ b)×c = a× b+ b×cº º a × b = 0 ⇔ |a × b| = 0º ¸ 1◦ º |a × b| = 0 ¸ ¸ ½ º½ sin(a, b) = 0º ¸ ¸ sin(a, b) = 0 ⇔ (a, b) = 0◦ (a, b) = 180◦ ¸ |a × b| = 0 ⇔ ¸ a × b = 0 ⇔ a bº a b ¸ 2◦ ´ º º ¾¿µº −−→ ¹ −−→ a b A a = AB ¸ b = AD �ABCD º |a| = −−→ −− → |AB| = AB ¸ |b| = |AD| = AD ¸ (a, b) = ∠A ¸ AB · AD · sin ∠Aº ABCD S = AB · AD · sin ∠Aº ¸ |a × b| = S º º ¾¿ º¾ µ |a × b| = S ¹ ¹ 3◦ 5◦ º a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 ) ´ ¸ º ¸ ßi, j, k ¸ ¹ ¹ α αa (αa1 , αa2 , αa3 )¸ αb (αb1 , αb2 , αb3 )¸ (b + c) (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 )¸ (a + b) (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )º ¸ 3◦ 5◦ ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ´½º½ º ¾µ ¸ º º ´½º½ º ¾µ 4◦ º (αa) × b α(a × b) α a1 α a2 α a3 a1 a2 a3 b2 b3 ¸ α(a × b) = α b1 b2 b3 (αa) × b = b1 i j k i j k º ¸ (αa) × b = α(a × b)º ü º º �ï½ º ½ º½ º a ¸ b¸ c a × b c¸ a×b a bº ¹ abc (abc)º ¸ ´½º½ º ½µ abc = (a × b)cº ½ º½ º b(b1 , b2 , b3 )¸ c(c1 , c2 , c3 )¸ ßi, j, k a ¸ b¸ c a1 a2 a3 abc = b1 b2 b3 c1 c2 c3 º a×b= a(a1 , a2 , a3 )¸ . ´½º½ º ½µ ¹ ´½º½ º ¾µ ¹ a2 a3 a a a a , − 1 3 , 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 ´½º½¾º ¾µ a×b c a a a a a a (a × b)c = 2 3 c1 − 1 3 c2 + 1 2 c3 . b2 b3 b1 b3 b1 b2 ¹ �a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ´½º½ º¾µº ¸ ´½º½ º ½µ ½ º¾ º ´ ¹ ºµ ¹ 1◦ º abc = bca = cabº 2◦ º abc = −bac¸ abc = −cba¸ abc = −acbº 3◦ º (αa)bc = α(abc)¸ a(αb)c = α(abc)¸ ab(αc) = α(abc)º 4◦ º (a + b)cd = acd + bcd¸ a(b + c)d = abd + acd¸ ab(c + d) = abc + abdº 5◦ º abc > 0¸ ßa, b, c ¸ º º ¹ ßi, j, k ¸ abc < 0¸ ßa, b, c ¸ º º ¹ ßi, j, k º 6◦ º º ¹ ¸ º º º ßi, j, k ´ ½ º¾ µº º º ¸ ¹ 1◦ 4◦ 5◦ ½¿º¾ ¹ ¹ 6◦ ´½º½ º¾µ ´ ¹ º µº �¸ º ½ º¾ º ¸ −−→ OB = b¸ a ¸ b¸ c −−→ OC = cº ¸ (OAC) (OAB)º (OBC)¸ (OAC) (OAB) ½ º¿ º ºµ V a¸ b¸ cº a ¸ b¸ c −→ c = AA º H ´½º½ º ¿µ º ABCDA B C D a ¸ b¸ c ¸ A ABC α = (c, a × b)º º ¾ µ¸ º ¿ ´ï ½¿µ c ¼ ¹ ¹ abc ¸ º ´ ¸ ½ º¿ º ´ÿ abc = ±V ¸ ¸ ¹ ú·û ¸ ±V º a ¸ b¸ c −−→ b = AD ¸ ¸ úû ¹ −→ OA = a¸ C ¹ (OBC)¸ A¸ B ¸ a¸ b¸ cº ø º O a×b ¹ − −→ a = AB ¸ ¸ ßa, b, c ¹ �ABC c ABC V º a ¸ b¸ c ´ º¾ a×b α > 90◦ ´ 180◦ µº ABCDA B C D V º=S AHA º¾ c µ¸ ´½º½ º µ · AH, AA · cos A AH º α < 90◦ ¸ AH = º¾ ´½º½ º ½µ¸ ´½º½½º ½µ a¸ b ¹ abc = (a × b)c = |a × b| |c| cos αº þ |a× b| = S ´ ½ º¾ µ¸ |c| = AA ¸ cos α = cos A AH ¸ ßa, b, c ◦ ¸ cos α = cos(180 − A AH) = − cos A AH ¸ a ¸ b¸ c º |c| cos α = ¸ AA (± cos A AH) = ±(AA cos A AH) = ±AH º abc = ±(S ´½º½ º ¿µº · AH). ´½º½ º µ ´½º½ º µ ½ ´½º½ º µ ¹ �ÿ ¾ ï½ º ü ½º ½ º½ º ü ¸ ¸ O e1 e2 e3 ¸ ¹ ße1 , e2 , e3 º O ¸ O e1 ¸ e2 ¸ e3 º ¸ ¸ ¸ e1 ¸ e2 ¸ e3 ¸ Ox º ¸ Ox¸ Oy ¸ Oz ´ Oy ¸ Ox Oz ¸ Oy ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º ¾ µº Oz ¸ �Oxy ¸ Oxz Oyz º ½ º¾ º M x¸ y ¸ z M ´ O e1 e2 e3 −−→ OM ¸ O µ¸ M (x, y, z) x¸ y ¸ z ´ µ ¹ ¹ ße1 , e2 , e3 º M (x, y, z)Oe1 e2 e3 O e1 e2 e3 º M −−→ M (x, y, z)Oe1 e2 e3 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 + ze3 º ´¾º½ º ½µ ¸ º¾ O e1 e2 e3 M (2, 4, 3). M (x, y, z) Oe1 e2 e3 ¹ ´¾º½ º ½µº O −−−→ OM1 = xe1 ¸ ¹ M1 ¹ −−− −→ M1 M2 = ¸ ¹ y e2 ¸ M −−−→2 M2 M = z e3 . −−→ −−−→ −−−−→ −−−→ OM = OM1 + M1 M2 + M2 M = xe1 + y e2 + z e3 º ¸M º OM1 M2 M Mº ¸ ¹ º ¿ �½º º Bº A A(x1 , y1 , z1 ) Oe1 e2 e3 º B ½ º¿ ße−1 ,→e2 , e3 ´½º¿º ¾ ¹ B(x2 , y2 , z2 ) −− → AB º −→ −−→ OA¸ OB ¹ ¸ −−→ OA(x1 , y1 , z1 )¸ OB(x2 , y2 , z2 )º − → −−→ −→ AB = OB−OA ½µ − ´ ½ º¿ º ý ¸ λ¸ AB ¹ λ= ´¾º½ º ¾µ −→ AC − − → CB º C ¹ A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 ) O e1 e2 e3 λ= Cº −→ AC − − → CB º C(x, y, z)º → −−→ ½µ−→− AC(x − x1 , y − y1, z − z1 )¸ CB(x2 − x, y2 − AC º½ y, z2 − z)º − − → = λ¸ CB −→ −−→ ¿ AC = λCB ´ º¾ µ x − x1 = λ(x2 − x)¸ y − y1 = λ(y2 − y)¸ z − z1 = λ(z2 − z)º x¸ y ¸ z C −→ AC −−→ CB ´ x= º ¹ º¾ µ −− → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) . ¾º A y1 + λy2 z1 + λz2 x1 + λx2 , y= , z= . 1+λ 1+λ 1+λ ´¾º½ º ¿µ �þ ¸ x= ´λ = 1µ AB y1 + y2 z1 + z2 x1 + x2 , y= , z= . 2 2 2 ´¾º½ º µ ¾º ü ½º ºü ¸ ¸ O e1 e2 O ¸ ü A B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸ ¹ B(x2 , y2 )¸ C B A x= ´¾º½ º µ Oe1 e2 ¹ − −→ AB − − → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ) . ´¾º½ º µ λº AB O e1 e2 C(x, y) A(x1 , y1 ) y1 + λy2 x1 + λx2 , y= . 1+λ 1+λ ´¾º½ º µ ¸ AB x= ¸ ´¾º½ º µº ¹ ße1 , e2 º M −−→ M (x, y)Oe1 e2 ⇐⇒ OM = xe1 + y e2 . þ ¹ º y1 + y2 x1 + x2 , y= . 2 2 ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ¸ ´¾º½ º µ ´¾º½ º µ ´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º¿µ �ï½ º ï½ º º ¹ ½ º½ º ¸ ¹ º º O ij k ¸ O ij ij = ik = j k = 0º ¸ ¸ x z µ Mº i¸ j ¸ i2 = j 2 = k2 = 1¸ ¸ ´ k, º y ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ½º ½º A(x1 , y1 , z1 ) B(x2 , y2 , z2 ) O ij k º AB º º AB −− → − −→ |AB| = AB 2 º −− → AB(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )¸ AB A AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . ¾º − −→ AB ¸ ¹ B ´¾º½ º ½µ �ABC A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 ) Oij k º ABC º ABC º ¸ ¾ µ ´ ¹ − − → AB − − → −→ AB × AC −− → −→ S = |AB × AC|. ¹ −→ AC º ½ º¾ ¸ ¹ ´¾º½ º ¾µ −− → −→ AB(x2 −x1 , y2 −y1 , z2 −z1 )¸ AC(x3 −x1 , y3 −y1 , z3 −z1 )¸ − −→ −→ ´´ µµ AB × AC y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 z2 − z1 x2 − x1 y 2 − y 1 , − , . y3 − y1 z3 − z1 x3 − x1 z3 − z1 x3 − x1 y 3 − y 1 ¸ S 1 2 ABC 1 − − → −→ = AB × AC = 2 y2 − y1 z2 − z1 y3 − y1 z3 − z1 ¿ 2 x − x1 z2 − z1 + 2 x3 − x1 z3 − z1 2 x − x1 y 2 − y 1 + 2 x3 − x1 y 3 − y 1 ´¾º½ º ¿µ ABCD A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z3 )¸ D(x4 , y4 , z4 ) O ij k º ABCD º 1 º ABCD 6 − − → −→ −−→ ¸ AB ¸ AC AD º ¸ þ ¹ 2 . �º ¸ V º= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 1 mod x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 . 6 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 ´¾º½ º µ ¹ ´¾º½ º µ A(x1 , y1 , z1 )¸ B(x2 , y2 , z2 )¸ C(x3 , y3 , z4 )¸ D(x4 , y4 , z4 ) ¹ ¸ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 = 0. x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 ´¾º½ º µ ¾º ½ º½ ¹ O ij −−→ M (x, y)Oij ⇐⇒ OM = xi + y j. A B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 )¸ AB = ¸ O ij ¹ AB (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . ´¾º½ º ¿µ ´¾º½ º µ ABC ¸ ´¾º½ º µ ¸ ¹ ¹ �A(x1 , y1 )¸ B(x2 , y2 ) S = 1 2 mod x2 − x1 y 2 − y 1 = x3 − x1 y 3 − y 1 1 2 C(x3 , y3 )¸ x1 y 1 1 mod x2 y2 1 . x3 y 3 1 ´¾º½ º µ ï½ º ½º ½ º½ º Oe1 e2 ´ e1 (c11 , c21 )¸ e2 (c12 , c22 ) Oe1 e2 º ´ µ M µ O e1 e2 O (x0 , y0 ) (x, y) ´ µ¸ ´ µ x = c11 x + c12 y + x0 ¸ y = c21 x + c22 y + y0 . º (x , y ) ´¾º½ º ½µ ½ º½ ¹ −−→ OM = xe1 + ye2 ¸ −−−→ O M = x e1 + y e2 ¸ −−→ OO = x0 e1 + y0 e2 . e2 º ¹ −−−→ OM e1 = c11 e1 + c21 e2 e2 = c12 e1 + c22 e2 ¸ ´¾º½ º¾µ¸ ´¾º½ º ¾µ ¸ e1 ¹ �−−−→ O M = x (c11 e1 + c21 e2 ) + y (c12 e1 + c22 e2 ) = (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 º −→ −−→ −−−→ ´´½º¿º ½µµ − ¸ OM = OO + O M º ´¾º½ º ¾µ −−−→ O M¸ e1 ¹ ¹ −−→ OM e2 −−→ OM = (x0 e1 + y0 e2 ) + (c11 x + c12 y )e1 + (c21 x + c22 y )e2 = (c11 x + c12 y + x0 )e1 + (c21 x + c22 y + y0 )e2 . ´¾º½ º ¿µ þ e1 e2 −−→ OM ´¾º½ º ¾µ ´¾º½ º ¿µ ´¾º½ º ½µº ¾º x = c11 x + c12 y + c13 z + x0 ¸ y = c21 x + c22 y + c23 z + y0 ¸ z = c31 x + c32 y + c33 z + z0 ¸ (x, y, z) ¸ (x , y , z ) Oe1 e2 e3 ´ µ O e1 e2 e3 ´¾º½ º µ ´ e1 (c11 , c21 , c31 )¸ e2 (c12 , c22 , c32 )¸ e2 (c13 , c23 , c33 ) O (x0 , y0 , z0 ) Oe1 e2 e3 º ´¾º½ º µ ¸ ¼ M µ ¹ ´¾º½ º ½µº �ï½ º ½ º½ º µ¸ ´ ¹ ¹ ´ µ º ½º Oij ¸ Oi j (i, i ) = ϕ ¹ O (x0 , y0 )º (x, y) (x , y ) ¹ º M ¸ ϕº (c12 , c22 ) ¸ µ ¸ ï½¾¸ cij ´i, j = 1, 2µ (c11 , c21 ) j ¾µº c11 = cos(i , i)¸ c21 = cos(i , j)¸ c12 = cos(j , i)¸ c22 = cos(j , j). ¸ i j i¸ j º ´ i ßi, j º ´ O ij ¹ ´¾º½ º ½µ ¸ ¹ ¹ Oi j º ¾ µ¸ ¸ ¹ (i , i) = ϕ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = 90◦ + ϕ¸ (j , i) = ϕº Oij O i j µ (i , i) = ϕ¸ ´ º ¾ µ¸ (i , j) = 90◦ − ϕ¸ ½ (j , i) = 90◦ − ϕ¸ (j , i) = �180◦ − ϕº º º¾ þ º¾ µ c11 = cos ϕ¸ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸ c12 = cos(90◦ + ϕ) = − sin ϕ¸ c22 = cos ϕº þ µ c11 = cos ϕ¸ c12 = cos(90◦ c21 = cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ¸ − ϕ) = sin ϕ¸ c22 = cos(180◦ − ϕ) = − cos ϕº ´¾º½ º ½µ¸ x = x cos ϕ − y sin ϕ + x0 ¸ y = x sin ϕ + y cos ϕ + y0 ¸ = ±1¸ þ ½µ Ox y O ij ú·û¸ Oij ¸ ú û¸ º i = i¸ j = j ¸ ´ ¸ Oxy º ¾ ¸ µº þ ¾ ¹ ´¾º½ º ½µ Oi j Oi j ¹ º ¹ ¹ ¹ ¹ ´¾º½ º ½µ �x = x + x0 ¸ y = y + y0 º ¾µ = +1µ¸ ´ O = O ´x0 = y0 = 0 Ox y ¸ º ¾ ¸ µº ´¾º½ º ½µ ´¾º½ º ¾µ Oxy x = x cos ϕ − y sin ϕ¸ y = x sin ϕ + y cos ϕº ´¾º½ º ¿µ º¾ º¾ ¾º ¸ ” “ c11 ¸ c12 ¸ c13 ¸ c21 º Oij k ´ ú µ ¸ ¸ ººº ´ µ û M ¿ ´¾º½ º µ (x, y, z) Oi j k ¹ ¹ ¹ ¹ �ú û µ ºþ M ¸ ´ï½¾¸ k ⎛ ¸ ¼º i¸ j ¸ k i i¸ j ¸ k ¸j ¸k ¸ ¸ ÿ ±½º ¸ ¸ ¸ +1¸ −1¸ ¹ ¹ i ¸ ¸ ¼º ¸ ¸ ½º ÿ ¸ ¸ ¸ ¸j ¸k i¸ j ¸ k ¾µº ½ ½ i ⎞ c11 c12 c13 T = ⎝c21 c22 c23 ⎠ . c31 c32 c33 T º ï ¾¼º ´ ¹ (x , y , z ) ¸j ¸ ¸ ¹ º ¹ ¹ ¹ º �´Oe1 e2 þ º O ij ´ ¹ ¸ µ Φ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ (x, y) ¸ ¾¼º½ º Φº µº ¹ ¸ º ¹ ´ µ ¾¼º¾ º ü 2x + 3y + 5 = 0¸ x2 + y 2 = 1 ¸ ´ µ¸ Oxy ¹ ¹ ¸ ¸ ¸ Ò¹ ¸ F (x, y) Òº ¸ ¹ Φ¸ Φº F (x, y) = 0 ¸ x¸ y ¸ Φ º ¹ ¹ ¹ �Oxy º F (x, y) = 0 F (x, y) F1 (x, y) F2 (x, y)¸ ¸ y = −xº y=x ½º F1 (x, y) = 0 x2 − y 2 = 0 Φ º ¸ ¾º º ¸ ¹ ¹ F2 (x, y) = 0º ¹ º ¸ ¸ ¹ ¹ Φ º ¸ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ½µ ¹ ¸ ¾µ ¹ ¸ ¿µ ¹ M (x, y)¸ µ ´ º ¸ ´ µ Φ ¹ µ µ µ µ¸ ´ º ¹ ¹ �þ º ½º ω(C, r) rº ¹ C ωº º r¸ ¹ O ij C(a, b)º M Mº CM = (x − a)2 + (y − b)2 = r º ¹ CM = º (x, y) (x − a)2 + (y − b)2 º ¹ ¹ º ´¾º¾¼º ½µ (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 º þ º ´¾º¾¼º½µ (x, y) CM 2 = r 2 M ∈ ωº º (x, y) M ¸ ¸ CM = rº ¸ º ¸ º ´¾º¾¼º ½µ ¸ F1 (x, y) ≥ 0, F2 (x, y) ≤ 0. º M (x, y) ¸ ¸ ´¾º¾¼º½µ ¹ ¸ ´¾º¾¼º ¾µ Φ1 ´¾º¾¼º¾µº M (x, y) Φ2 ¸ ´¾º¾¼º ¾µ¸ ¸ ¹ ¹ ¹ �º ´¾º¾¼º ¾µ¸ ¸ ¹ ¾º ¹ Φ2 º Φ1 ¸ ¹ ⎧ 2 2 ⎪ ⎨x + y ) ≤ 16, x ≥ −1, ⎪ ⎩ y ≤ 3. º Φ1 ¸ Φ2 Φ3 º º Φ1 ¸ ¹ x2 + y 2 ≤ 16¸ ¸ Φ2 ¹ ¹ ¾º x = −2¸ Φ3 ¸ y = 3º º ¹ º ¾ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ º¾ ¾º ÿ ¸ ¹ ¸ ´Oe1 e2 e3 µº þ Oij k ¹ (x, y, z) º ¹ �¸ ¾¼º¿ º Φ Φº þ ¹ ¸ ¸ x¸ y ¸ z ¸ ¸ Φº ½º ¾º ¿º ¹ Φ¸ ¹ ¸ F (x, y, z) = 0¸ º z = f (x, y)º F (x, y, z) = 0º x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v)¸ ¸ M M (u, v)º ¹ ¹ º º ¹ x¸ y ¸ z u¸ v º ¸ º M u þ ¸ v¸ x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v) r = r(u, v)¸ r Φ ¸ ¹ ¹ º ½º F (x, y, z) = 0¸ Φ(x, y, z) = 0 �F (r) = 0¸ ¾º Φ(r) = 0º x = x(t),y = y(t),z = z(t) º º ¸ ¹ x¸ y ¸ z º M M M (t)º x = x(t)¸ y = y(t)¸ z = z(t) r = r(t)¸ ¹ r tº ¸ t¸ þ ¸ º x = x(u, v)¸ y = y(u, v)¸ z = z(u, v) v = v0 = const¸ x = x(u, v0 )¸ y = y(u, v0 )¸ z = z(u, v0 ), v = constº ¸ v¹ r = r(u, v0 )¸ u u = u0 = ÓÒ×ظ ¹ x = x(u0 , v)¸ y = y(u0 , v)¸ z = z(u0 , v) v¹ ¸ F (x, y, z) ¸ u = constº u = const Ú const ¸ Ò¹ ´Ò¹ ´ r = r(u0 , v)¸ ¹ º ¸ µº ¼ ¹ F (x, y, z) = 0¸ µº ¹ ¹ �F (x, y, z) ϕ(x, y, z) ¸ ψ(x, y, z) ´ ϕ(x, y, z) = 0 ¸ M O ij k C(a, b, c)º Mº º º rº C Φº º ¹ ºþ ¿º Φ x¸ y ¸ z µ¸ F (x, y, z) = 0 ψ(x, y, z) = 0º (x, y, z) CM = r ¸ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 . CM = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r º ¹ ¹ º (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r 2 º þ º ´¾¼º¿µ (x, y, z) CM 2 = r 2 (x, y, z) M ¸ Φº ¸ CM = rº º ï ¾½º ½º ½ º ¸ ´¾º¾¼º ¿µ ¸ ¹ ´¾º¾¼º¿µ M ´¾º¾¼º ¿µ �¾½º½ º ¸ i¸ ¸ OP º OP (ρ, ϕ ρ¸ ¸ O¸ O i OP ¹ º ¹ ¹ ¾½º¾ º M ¹ ϕ OM ´¾º¾½º ½µ ρ = OM (ρ ≥ 0), ϕ = P OM . A 2, π 3 º ¿¼ ¸ B 1, 3π2 ¸ C ½µ ¸ º ϕ k 3, 5π 4 º O ¹ ¾µ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ϕ ± 2πk¸ ¸ 0 ≤ ϕ < 2π ¸ º º ¿¼ º ¸ ϕ ¾º Oi (ρ, ϕ) (x, y) ¾ º ¸ O ij M �º −−→ OM M¸ Mº ¹ −−→ −−→ x = OM cos(i, OM )¸ y = OM cos(j, OM )º −−→ −−→ OM = ρ¸ (i, OM ) = ϕ (j, OM ) = 90◦ − ϕ¸ ¹ (x, y)¸ ´ º ¹ ´½º½¾º µ y = ρ sin ϕº x = ρ cos ϕ, º ´¾º¾½º ¾µ (ρ sin ϕ)2 = ρ2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = ρ2 ¸ ρ= ¸ x2 + y 2 ¸ ϕ= ´¾º¾½º ¾µ x2 +y 2 = (ρ cos ϕ)2 + y =Ø ϕº x ´¾º¾½º ¿µ Ö Ø xy º ´¾º¾½º ¿µ º x y ¹ ϕ ϕ y ≥ 0¸ x > 0¸ 0≤ϕ< x ≤ 0¸ y > 0¸ π 2 π ≤ϕ<π 2 3π π≤ϕ< 2 3π < ϕ < 2π º 2 y ≤ 0¸ x < 0¸ y < 0¸ x ≥ 0¸ ¿º ρ ϕº F (ρ, ϕ) = 0º ¿ F (ρ, ϕ)¸ ¸ Oi ¸ ¹ �¸ ρ = a¸ ÓÒ×ظ a ¸ O aº º ¹ ¹ (ρ, ϕ) º (ρ, ϕ) M (|ρ|, ϕµ (−1, 4π 3 ) ¹ ρ ≥ 0¸ ºþ A¸ ρ, ϕ M¸ º ¸ º ρ < 0¸ º ¿¼ (ρ, ϕ)¸ O¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ρ ¹ ¹ (ρ, ϕ) A (1, 4π 3 )º º ¸ º �ÿ ¿ ï ¾¾º ´ µ ½º ¾¾º½ º þ ¸ ¸ M0 ´ ´¿º¾¾º½µ M −−−→ M0 M aº −−−→ = {M ∈ R3 |M0 M Oe1 e2 a¸ M0 (x0 , y0 ) µ¸ a ¹ º ¹ ¸ ¸ a}º ¸ º a¸ M0 º ¸ ¸ ¹ º ¸ a(a1 , a2 )º ¹ �M (x, y) (x − x0 , y − y0 )º º −−−→ M0 M a¸ −−−→ M0 M x − x0 y − y 0 = º a1 a2 ¸ ¸ ´¿º¾¾º½µ¸ ´¿º¾¾º ½µ M (x, y) º M ´¿º¾¾º½µ º ºþ ¸ º ¹ y − y0 = 0º x − x0 = 0 ¾º −−−→ M0 M −−−→ M0 M = taº º ¹ ¹ a ¹ x − x0 = a1 t, y − y0 = a2 t. ¹ x = x0 + a1 t, y = y0 + a2 t. tº ¸ ´¿º¾¾º ¾µ ¹ ´¿º¾¾º¾µ �¿º ¸ M2 (x2 , y2 )¸ ¸ º º M1 (x1 , y1 ) = M1 M2 º ¹ ¹ ¹ M1 (x1 , y1 ) M1 M2 a = M1 M2 º (x2 − x1 , y2 − y1 )¸ ´½º¾¾º½µ y − y1 x − x1 = ¸ x2 − x1 y 2 − y 1 ´¿º¾¾º ¿µ º º ú Ox B(0, b)º û A(a, 0) Oy ¾¾º¾ º A º ¸ a B a ¸ A(a, 0) A B B(0, b)º bº ¹ ¹ ¹ ¸ ´¿º¾¾º ¿µ¸ y x−a = . −a b bx + ay = ab, b ¸ �ab¸ x y + = 1º a b ûº ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º µ ú ¹ º ¾¾º½ º þ º Ax + By + C = 0 M0 (x0 , y0 ) º ½µ aº ´¿º¾¾º½µº a2 (x − x0 ) − a1 (y − y0 ) = 0, a2 x − a1 y + (−a2 x0 + a1 y0 ) = 0. þ A = a2 , B = −a1 , C = −a2 x0 + a1 y0 Ax + By + C = 0¸ ¾µ º A ¸ º º ´¿º¾¾º µ ¹ B ´¿º¾¾º µ º º ´¿º¾¾º µ ¸ ´¿º¾¾º µº ¹ �º ¸ ´¿º¾¾º µ A x+ C A +By = 0. y x+ C A = º −B A ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º ½µ ´¿º¾¾º µ ¸ M0 (− C A , 0) a(−B, A)º ´¿º¾¾º µ¸ ´¿º¾¾º µ ¸ º ¿º Ax + By + C = 0¸ º (−B, A). ´¿º¾¾º µ ´¿º¾¾º µµº þ A º º ¹ ¹ B ú û Ax + By = −C, C = 0¸ x −C A ¸ Ax + By + C = 0¸ ¹ a ´ ¹ ú a= + ¸ −C A y −C B ´¿º¾¾º µ −C ¸ = 1. ûa , b= b¸ −C B º ´¿º¾¾º µ �ï ¾¿º ´ µ ¹ O ij º ½º ¾¿º½ º þ ¸ ¸ n¸ º ¸ ¾¿º½ ¸ ¸ ¸ n¸ M0 −−−→ R3 |M0 M ⊥n}º ¸ M0 (x0 , y0 ) (x − x0 , y − y0 )º −−−→ n M0 M º −−−→ M0 M ⊥n¸ ¹ º ¹ M0 ¸n ¸ º M −−−→ M0 M ⊥nº ¹ n(A, B)º −−−→ M0 M n M (x, y)− ¹ −−−→ M0 M ¸ A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0º ¸ ´¿º¾¿º½µ¸ M (x, y) M ¼ ¹ ¹ ¹ ¹ = {M ∈ º ºþ ¹ ´¿º¾¿º ½µ º ¹ ¹ �¸ þ ´¿º¾¿º½µ º ¹ º ´¿º¾¿º ½µ C = −Ax0 − By0 º Ax + By + C = 0º ¹ þ A, B n º ¸ Ax + By + C = 0 (A, B)º n þ ¸ ¹ A B º ¾º ¾¿º¾ º ½µ C < 0º Ax + By + C = 0¸ x y ¾¿º¾ ¹ ½ ¾µ ¸ x cos ϕ + y sin ϕ − p = 0¸ p > 0¸ 0 < ϕ < π º ´¿º¾¿º ¾µ Ax+By+C = 0º ¹ ºþ λ = ±√ 1 A2 + B 2 ½ ´¿º¾¿º ¿µ �ú·û¸ C < 0¸ ú−−û¸ ¸ C > 0º Ax By C ±√ ±√ ±√ = 0¸ A2 + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2 ¾¿º¾ ±√ A 2 A + B2 2 ´¿º¾¿º µ ¸ B + ±√ 2 A + B2 2 = 1. ¿º ¾¿º¿ º Ox α a i º 0 < α < πº α ¾¿º º Oxº k ¸ k = Ø αº ½º ¸ ¾º ¸ Ox, º º ¸ ´¿º¾¿º µ ¸ ¹ º ¸ M0 (x0 , y0 ) kº a(a1 , a2 ) ¹ a1 = |a| cos α¸ a2 = |a| sin α ¸ ¾ �a ¸ k = tg α = a2º a2 = k a1 º 1 ¹ y − y0 x − x0 = . a1 k a1 y − y0 = k (x − x0 )¸ º ´¿º¾¿º µ ´¿º¾¿º µ y = kx + b¸ b = y0 − kx0 º ´¿º¾¿º µ ´¿º¾¿º µ º Ax+By+C = 0º ¹ ºþ y¸ y=− ´¿º¾¿º µ C A x− ¸ B B ´¿º¾¿º µº ´¿º¾¿º µ C A k=− , b=− º B B ï¾ º ÿ Ü· Ý· ¼ ¸ º ¿ M1 ¸ M2 �¾ º½ º ÿ ¸ ¸ ¸ M1 M2 M1 M2 , M1 M2 º ¾ º¾ º º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¾ º½ º º ¸ º Ax + By + C = 0¸ Ax + By + C < 0 Ax + By + C > 0 ºþ º ¹ ¹ ¸ δ(x, y) = Ax + By + C. ¾ ¸ δ(x, y) = 0 ⇔ M (x, y) ∈ º M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 ) ¸ ¸ δ1 = δ(x1 , y1)¸ δ2 = δ(x2 , y2) δ º M1 M2 º M1 M2 ¸ º½ M1 M2 −−−−→ ºþ M1 M2 (x2 − x1 , y2 − y1 ) a(−B, A) º ¸ y2 − y1 x2 − x1 = . −B A ¹ ¹ ¹ ¹ �A(x2 − x1 ) = −B(y2 − y1 ). Ax1 + By1 = Ax2 + By2 . ¸ C Ax1 + By1 + C = Ax2 + By2 + C, º º ´¿º¾ º ½µ º ¹ δ1 = δ2 º M1 M2 ´¾º½ º ¾µ M0 (x0 , y0 ) x0 = λ = M1 M2 ´ −−−−→ M1 M0 −−−−→ M0 M2 x1 + λx2 y1 + λy2 , y0 = ¸ 1+λ 1+λ º ½µ ¸ º ¿½ µ ¸ λ > 0º M0 ∈ A M1 ¸ λ < 0 ¾µ M1 M2 ¸ ´¿º¾ º ¾µ ´ ¹ M2 M0 ¸ M1 º ¿½ µ M0 y1 + λy2 x1 + λx2 +B + C = 0. 1+λ 1+λ (Ax1 + By1 + C) + λ(Ax2 + By2 + C) = 0 M2 �δ1 + λδ2 = 0. λ λ=− ´¿º¾ º ¿µ δ1 º δ2 º ¿½ º ¿½ ´¿º¾ º ¿µ ½µ ¸ ¸ M1 ¸ δ1 λ>0 δ1 ¸ ½µ M1 Ax + By + C > 0 ¸ M1 ¸ δ2 M1 ºþ δ2 M2 ¸ M2 δ2 ¾µ δ1 δ2 λ < 0 ¸ M2 λ > 0¸ ½µ λ < 0¸ º ¹ ¸ ¹ Ax + By + C < 0 M1 M2 ´¿º¾ º ½µ ¾µ ¸ δ1 ¸ M2 ¸ ¹ ¸ ¾µ ¹ ¸ ¹ ¹ º �¸ ¸ Ax+By+C < 0º Ax+By+C > 0 ¸ º Ax + By + C < 0 ï¾ º ¹ Ax + By + C > 0 ¹ þ 1 ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ ¾µ 1 2 1 2 1 2 1 ¸ 2 A1 x+B1 y +C1 = 0 1 2º ÿ ¸ A2 x+B2 y +C2 = 0 ¹ ¹ A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 ºþ ¸ ºþ ¹ ¸ ¸ ¿µ º 2 ´¿º¾ º ½µ ¸ º ¹ ´¿º¾ º ½µ ¸ �´¿º¾ º½µ B1 C1 B2 C2 x= A1 B1 A2 B2 ´¿º¾ º ¾µ ¾µ B C1 Δ1 = 1 B2 C2 Δ¸ Δ1 ¸ Δ2 ¸ ½µ A1 A2 = ¸ B1 B2 ¸ ¾µ , y= C1 A1 C2 A2 A1 B1 A2 B2 ¸ ¸ ´¿º¾ º ¾µ . ´¿º¾ º ½µ ½µ Δ= Δ=0 C A1 Δ2 = 1 C2 A2 º ¿µ ¸ A1 A2 1 = B1 B2 A1 B1 =0 A2 B2 Δ=0 1 = C C2 Δ1 = Δ2 = 0 º ¹ ¹ 2 A1 B1 = ¸ A2 B2 ´¿º¾ º ¿µ A1 B1 C1 = = ¸ A2 B2 C2 ´¿º¾ º µ ¸ ¿µ ¸ A1 B1 C1 = = º A2 B2 C2 ÿ a1 (−B1 , A1 ) 2 ´¿º¾ º µ º ´¿º¾ º¿µ a2 (−B2 , A2 ) º ´¿º¾ º µ ¸ ´¿º¾ º µ 1 �´¿º¾ º¿µ¸ ´¿º¾ º µ ¸ º ½µ 1 ¸ ¹ 2 1 1 1 2 = B1 B2 1 2 = B1 B2 ¸ ¸ ¹ 2 ¸ º º AA ¿µ ¹ ¸ ¸ º º AA ¾µ º º AA ´¿º¾ º µ 1 2 = ¸ B1 B2 = C1 C2 ¹ ¸ ¸ 2 = ¸ C1 C2 . ï¾ º ½º ¾ º½ º ¸ º Oe1 e2 º ¸ ¹ ¹ ¹ º ¾ º½ º S(x0 , y0 )¸ α(x − x0 ) + β(y − y0 ) = 0º ¹ ´¿º¾ º ½µ �º º ¸ a(−β, α)º (−β, α)º α¸ β º ¸ º ´¾º¾ º½µ ¸ 1 2 ¸ A1 x + B1 y + C1 = 0 ¹ S α¸ β ¸ ¹ S¸ ´¾ º½µº ¾ º¾ º ¸ º ¹ ¹ A2 x + B2 y + C2 = 0¸ α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0º º ´¿º¾ º ¾µ 1 ¸ 2 a1 (−B1 , A1 )¸ a2 (−B2 , A2 )¸ 1 ¸ 2 º By + C = 0º a1 ¸ a2 ¸ a a = αa1 + βa2 º ¸ º A = αA1 + βA2 , S(x0 , y0 ) a1 ¸ a2 a −B = α(−B1 ) + β(−B2 ), 2 Ax + a(−B, A)º A = αA1 + βA2 B = αB1 + βB2 . º S¸ A1 x0 + B1 y0 + C1 = 0, ´¿º¾ º ¿µ A2 x0 + B2 y0 + C2 = 0. ¼ 1 �−A1 x0 − B1 y0 = C1 , +C = 0º þ ´¿º¾ º¿µ¸ C −A2 x0 − B2 y0 = C2 . S¸ ¸ Ax0 + By0 + C = −Ax0 − By0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 = α(−A1 x0 − B1 y0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 ) = αC1 + βC2 º ¸ C = αC1 + βC2 . ´¿º¾ º¿µ ´¿º¾ º µ ´¿º¾ º µ (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 ) = 0, ´¿º¾ º¾µ α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0. ¸ ¸ ¸ ´¿º¾ º¾µ 2 1 2 ¸ ¸ S(x0 , y0 ) (x0 , y0 ) α(A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0. ¸ α βº λ= β α (A1 x0 + B1 y0 + C1 ) + λ(A2 x0 + B2 y0 + C2 ) = 0º ´¿º¾ º µ 2 ¹ 1 ¹ ´¿º¾ º µ ¸ º ¾º ½ �¾ º¾ º º ¾ º¿ º ¸ A¸ B ºþ º a(−B, A) x¸ y ¸ Cº ¸ ¹ ¸ A¸ B ¹ º C º ¹ Ax + By + C = 0¸ ¸ ¸ A¸ B ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ C ¸ Ax + By + C = 0 ï¾ º þ ¸ ºþ ¸ º 0◦ ¸ º º º O ij 1 2 ¾ ¸ ¹ ¹ º ¹ 180◦ ¹ �y = k1 x + b1 , ´ º º º ¿¾µ α1 ¸ α2 α1 + θ º þ θ = α2 − α1 tg θ = y = k2 x + b2 º º θ 1 Oxº 2 α2 = tg α2 − tg α1 . 1 + tg α1 tg α2 tg α1 = k1 ¸ tg α2 = k2 ¸ tg θ = k2 − k1 º 1 + k1 k2 ´¿º¾ º ½µ ´¾º¾ º½µ º ¿¾ ¹ 1 ¸ 2 º º º ´¿º¾ º½µ ¹ ¹ ⇔ k1 = k2 ¸ 1 1 ⊥ 2 ⇔ k2 = − º k1 1 || 2 1 ´¿º¾ º ¾µ 2 ´¿º¾ º ¿µ k1 = − A B ¸ k2 = A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0. 2 −A B2 º ´¿º¾ º½µ tg θ = A1 B2 − A2 B1 º A1 A2 + B1 B2 ¿ 1 1 ´¿º¾ º µ �1 ´¿º¾ º¿µ¸ 2 ¸ ¹ ¸ ´¿º¾ º µ A1 A2 + B1 B2 = 0º ï¾ º ¹ O ij º º Ax + By + C = 0 M (x, y)º d º M º M1 (x1 , y1 ) −−−→ M1 M (x − x1 , y − y1 )º n(A, B) −−−→ M1 M = λnº º M M1 ¸ d = |M1 M |º ¹ ¹ M1 λ¸ nº −−−→ 2 2 nM1 M = λn = λ(A + B 2 ) −−−→ nM1 M λ= 2 º A + B2 d þ −−−→ √ |nM1 M | −−−→ d = |M1 M | = |λn| = |λ| · |n| = |λ| A2 + B 2 = √ º A2 + B 2 −−−→ nM1 M þ −−−→ nM1 M = A(x − x1 ) + B(y − y1 ) = Ax + By + (−Ax1 − By1 ). −Ax1 − By1 = C ¸ M1 ¹ �¸ ¸ ¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º −−−→ nM1 M = Ax + By + C. d d= |Ax + By + C| √ º A2 + B 2 ´¿º¾ º ½µ ï¾ º ¹ O ij º º Ax + By + C = 0¸ Ax + By + C = 0º d º M1 (x1 , y1 ) d −C º º M1 d= M1 ∈ º ¸ |Ax1 + By1 + C | √ . A2 + B 2 ¸ º º Ax1 + By1 + C = 0º ¸ |C − C| d= √ º A2 + B 2 Ax1 + By1 = ´¿º¾ º ½µ �ï ¿¼ ½º ¿¼º½ º þ ¸ ¹ a α¸ −−−→ M0 A = a¸ M0 ¹ A ∈ αº ¿¼º¾ º a b º ¸ π º M0 ´ ¸ ¸ º ¸ ¿¼º¾ M −−−→ M0 M ¸ a¸ b M −−−→ 0 π = {M ∈ R3 |M0 M , a, b − µ¸ a α¸ ¹ ¹ b ¹ º π ¸ a }º bº ¹ º Oe1 e2 e3 M0 (x0 , y0 , z0 ) M (x, y, z) a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º −−−→ πº M0 M −−−→ M0 M ¸ a¸ b z0 )º π¸ ¹ a(a1 , ¹ (x−x0 , y −y0 , z − ¸ �x − x0 y − y0 z − z0 a1 a2 a3 = 0 º b1 b2 b3 ¸ ¿º¿¼º½ ¸ ¸ ´¿º¿¼º ½µ M (x, y z) πº M ´¿º¿¼º½µ πº ¹ º ¾º ¹ −−−→ M0 M ¸ a −−−→ M0 M = ua + v bº ⎧ ⎪ ⎨x − x0 = ua1 + vb1 , y − y0 = ua2 + vb2 , ⎪ ⎩ z − z0 = ua3 + vb3 . b ¹ ⎧ ⎪ ⎨x = x0 + ua1 + vb1 , y = y0 + ua2 + vb2 , ⎪ ⎩ z = z0 + ua3 + vb3 . ´¿º¿¼º ¾µ ´¿º¿¼º½µ¸ u, v º ´¿º¿¼º¾µ ¹ ¿º π M2 (x2 , y2 , z2 ) M3 (x3 , y3 , z3 )¸ º º π = M1 M2 M3º M1 (x1 , y1 , z1 )¸ ¸ π �º ¸ ¸ M1 M2 M1 ¸ M2 M1 M3 M3 πº ¸ a = M1 M2 πº ¸ M1(x1 , y1, z1 ) b = M1 M3 M1 M2 M1 M3 (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) (x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 )¸ ´¿º¿¼º½µ x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 ¸ x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 ´¿º¿¼º ¿µ º º B(0, b, 0) ú û π Ox¸ Oy Oz C(0, 0, c)º ¿¼º¿ º A¸ B º ¸ A(a, 0, 0)¸ a¸ b C π π a¸ b π B(0, b, 0) C(0, 0, c)¸ A¸ B C c ´¿¼º¿µº ´¿º¿¼º¿µ¸ x−a y z −a b 0 = 0 . −a 0 c cº A(a, 0, 0)¸ ¹ ¹ �bcx + acy + abz = abc, ¸ abc¸ ´¿º¿¼º µ x y z + + =1 a b c ûº º ´¿º¿¼º µ π ¿¼º½ º þ º Ax + By + Cz + D = 0 º ½µ M0 (x0 , y0 , z0 ) a(a1 , a2 , a3 )¸ b(b1 , b2 , b3 )º ú ¹ π ´¿º¿¼º½µº ¹ ¸ a a a a a2 a3 (x − x0 ) − 1 3 (y − y0 ) + 1 2 (z − z0 ) = 0. b2 b3 b1 b3 b1 b2 þ A= a2 a3 , b2 b3 B=− a1 a3 , b1 b3 a1 a2 b1 b2 ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ ¹ C= Ax + By + Cz + D = 0¸ D = −Ax0 − By0 − Cz0 º A¸ B C þ ¸ �a ¾µ b º º º x = −B Ay− ¸ ¸ C A z− D A ´¿º¿¼º µ ¹ ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º ¾µ ¹ M0 C a(− B , 1, 0) ¸ b(− A A¸ º º ´¿º¿¼º µ ¸ ¹ ´¿º¿¼º µ ¹ π Ax+By +Cz +D = 0¸ a(−B, A, 0) b(−C, 0, A)º þ º D A, ´¿º¿¼º µ ´¿º¿¼º µ¸ C v− ¸ ´¿º¿¼º µº ¹ ¸ y = u¸ z = v . C A ¹ ¸ º ´¿º¿¼º µ A = 0 (− D A ¸ 0, 0) 0, 1)º B ´¿º¿¼º µ º ⎧ B ⎪ ⎨x = − A u − y = u, ⎪ ⎩ z = v. ¸ ¸ A¸ ¹ º ú Ax + By + Cz = −D, ½¼¼ û ´¿º¿¼º µ �−D ¸ ú x −D A + y −D B ¸ Ax + By + Cz + D = 0¸ a= + û y −D C = 1. π ú D = 0¸ û a¸ b c¸ ¸ −D −D −D , b= , b= . A B C ´¿º¿¼º µ ï ¿½ ¿½º½ º ÿ º ¿½º¾ º ¹ ¹ ¹ ¸ º ¸ α¸ −− → n = AB AB ¸ ¹ ¸ ¹ º ½º π ¸n ¿½º¾ M −−−→ M0 M ⊥nº ¸ π ½¼½ M0 ¹ ¸ ¸ º ¹ ¸ �n¸ M0 −−−→ π = {M ∈ R3 |M0 M ⊥n}º º M0 (x0 , y0 , z0 ) M (x, y, z) þ n ¹ π¸ πº (x − x0 , y − y0 , z − z0 )º −−−→ n M0 M n(A, B, C)º ¹ −−−→ M0 M −−−→ M0 M ⊥n¸ º −−−→ M0 M ¸ A(x−x0 )+B(y−y0 )+C(z−z0 ) = 0º ¸ πº þ M (x, y, z) ´½º¿½º½µ¸ ¸ M ´¿º¿½º½µ þ C ´¿º¿½º ½µ πº ¹ ¹ º ´½º¿½º½µ D = −Ax0 − By0 − Cz0 º Ax + By + Cz + D = 0º A, B, C n πº ¸ π Ax + By + Cz + D = 0 ¸ n (A, B, C)º B ¹ þ ¹ ¹ A¸ ¹ º ½¼¾ �¾º ¿½º¿ º ¸ Ax + By + Cz + D = 0 ½µ A2 + B 2 + C 2 = 1¸ ¾µ D < 0º ¿½º¿ ¸ x cos α + y cos β + z cos γ − ρ = 0¸ cos α¸ cos β ¸ cos γ ¸ ρ > 0º n π Cz + D = 0º ´¿º¿½º ¾µ Ax + By + ¹ ¹ ºþ λ = ±√ 1 D < 0¸ ú·û¸ ´¿º¿½º ¿µ A2 + B 2 + C 2 ú û¸ (λA)x + (λB)y + (λC)z + λD = 0, ¸ ¸ D > 0º ´¿º¿½º µ (λA)2 + (λB)2 + (λC)2 = 1. λD < 0º ï ¿¾º ÿ Ü· Ý· Þ· π πº ½¼¿ ¸ M1 ¸ M2 ¸ �¿¾º½ º ÿ ¸ M1 π¸ π¸ ¿¾º¾ º ¸ M2 M1 M2 π¸ º M1 M2 ¹ π¸ πº ¹ º ¸ R3 ¸ º ¸ ¿¾º½ º π Ax + By + Cz + D > 0 Ax + By + Cz + D = 0¸ Ax + By + Cz + D < 0 ¸ ¹ º π ¹ ¾ º½ º ï ¿¿º þ π1 þ ½µ ¾µ ¿µ º º ½µ ¹ π1 π1 π1 π2 π2 π2 π1 ¸ ¸ ¸ π2 ¸ ¾µ º ½¼ π2 º 3)− �A1 x+B1 y+C1 z+D1 = 0 π1 π2 º ÿ A2 x+B2 y+C2 z+D2 = 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ´¿º¿¿º ½µ ¸ º A1 B1 C1 A2 B2 C2 r ¸ µr=r π2 r < 3¸ r < 3º µr µ = 1¸ r = 2 π1 π2 r=r =1 ´¿º¿¿º½µ ¹ r = rº ¸ º º ¸ π1 ¸ ¹ ¸ r = 2 B1 C1 , B2 C2 º ¸ ´¿º¿¿º½µ º ´¿º¿¿º½µ ¸ ¾º þ º Δ1 = ¸ ´¿º¿¿º½µ ¸ ½º =2 ¹ A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 r ¹ Δ2 = A1 C1 , A2 C2 ¸ r = 1 ½¼ Δ3 = A1 B1 A2 B2 Δ1 ¸ �Δ2 ¸ Δ3 ¸ A1 B1 C1 = = º A2 B2 C2 ¸ ´¿º¿¿º ¾µ ´¿º¿¿º¾µ¸ ¸ r = 1º A1 B1 C1 , , A2 B2 C2 1) π1 ∩ π2 = ⇔ ¸ A1 B1 C1 D1 2) π1 π2 ⇔ = = = ¸ A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 3) π1 = π2 ⇔ = = = . A2 B2 C2 D2 ï¿ º Oe1 e2 e3 º ¿ º½ º þ π¸ p(p1 , p2 , p3 ) Ax+By +Cz +D = 0¸ ¸ Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0º ¹ pº πº º º M0 (x0 , y0 , z0 ) −−−−→ p = M0 M1 ¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) ¸ M0 M1 ½¼ ¹ ´¿º¿ º ½µ p||π º þ �þ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 ) + C(z1 − z0 ) = 0. −−−−→ M0 M1 = p¸ (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 )¸ z1 − z0 = p3 º −−−−→ M0 M1 x1 − x0 = p 1 ¸ y 1 − y 0 = p 2 ¸ ´¿º¿ º½µº º þ p 1 = x1 − x0 ¸ ´¿º¿ º½µ ´¿º¿ º ¾µ ´¿º¿ º¾µ¸ ´¿º¿ º½µº ¹ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¹ −−−−→ p p = M0 M1 º M1 (x1 , y1 , z1 )º p2 = y1 − y0 ¸ p3 = z1 − z0 º ´¿ºº¿ º¾µº (Ax1 + By1 + Cz1 ) − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0. ´¿º¿ º ¿µ π¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º Ax0 + By0 + Cz0 = −D Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) p πº ´¿º¿ º¿µº πº ¸ ¸ º ï¿ º ½º ¿ º½ º ¸ º Oe1 e2 e3 º ¹ º ½¼ �¿ º½ º ´¿º¿¿º ½µ π1 π2 ¸ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0º ´¿º¿ º ½µ º Ax+By+Cz+D = 0º π p(p1 , p2 , p3 )− π1 ¸ π2 p ⎧ ⎪ ⎨A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0, A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0, ⎪ ⎩ Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0. π¸ ´¿º¿ º ¾µ ¸ ´¿º¿ º¾µ Δ º A1 B1 C1 Δ = A2 B2 C2 = 0º A B C π1 π2 ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º º ¹ ´¿º¿ º ¿µ A = αA1 + βA2 , B = αB1 + βB2 , C = αC1 + βC2 , α¸ β M0 (x0 , y0 , z0 ) π1 π2 ¹ A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 = 0, ½¼ M0 ¸ º º ¸ A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 = 0. ¹ �−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 = D1 , π +By0 + Cz0 + D = 0º ´¿º¿ º¿µ¸ −A2 x0 − B2 y0 − C2 z0 = D2 . þ D M0 ¸ ¸ Ax0 + ¹ C = −Ax0 − By0 − Cz0 = −(αA1 + βA2 )x0 − (αB1 + βB2 )y0 − −(αC1 + βC2 )z0 = α(−A1 x0 − B1 y0 − C1 z0 ) + β(−A2 x0 − B2 y0 − −C2 z0 ) = αD1 + βD2 º ¸ ´¿º¿ º µ D = αD1 + βD2 . ´¿º¿ º¿µ ´¿º¿ º µ ¹ π (αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 )z + αD1 + βD2 = 0, ´¿º¿ º¾µ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0. π2 ¸ ¸ ¸ ´¿º¿ º¾µ ¹ M0 (x0 , y0 , z0 )¸ ¸ π1 ¹ π1 π2 ¸ ¸ α(A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 ) + β(A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 ) = α · 0 + β · 0 = 0. ¸ α βº λ= β α (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0. ´¿º¿ º µ ½¼ �´¿º¿ º µ ¸ π2 ¸ ¹ ¹ º ¾º ¹ ¿ º¾ º ¸ º ¿ º¾ º π¸ 0¸ π¸ C º Ax + By + Cz + D = ¸ ¸ A¸ B ¸ D ºþ a(−B, A, 0) ¿¼º½ µº ¹ b(−C, 0, A)¸ π ´ A¸ B ¸ C D ¸ º x¸ y ¸ z ¸ º A¸ B ¸ C Ax + By + Cz + D = 0 Dº ï¿ º ¹ ¹ ¹ þ π1 ¸ π2 ¸ π3 º ¸ ¹ ½½¼ �µº ½º ¾º ¿º º ´ ´ º ¿¿¸ µº ´ ´ º ¿¿¸ º ¿¿¸ ¸ µº º ¿¿¸ ¸ ¸ ¸ µº º ¿¿ þ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0¸ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0º ¸ ⎧ ⎪ ⎨A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, ⎪ ⎩ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0. ½½½ π1 ¸ π2 ¸ π3 ´¿º¿ º ½µ �⎛ ⎞ A1 B1 C1 ⎝A2 B2 C2 ⎠¸ A3 B3 C3 ⎛ r ⎞ A1 B1 C1 D1 ⎝A2 B2 C2 D2 ⎠º A3 B3 C3 D3 r ¸ µr r ≤ 3¸ r ≤ 3º ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ¼º = r = 3 µ π1 ¸ π2 r=r =2 µ π1 π2 r = r = 1 π3 µr=r ¸ µ ´¿º¿ º½µ ¹ r = rº ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ½º ¸ ¸ ´¿º¿ º½µ ¸ ¾º þ π1 ¸ π2 ¸ º π3 ⇐⇒ r = r = 3 µ ⇐⇒ r = r = 2 µ ⇐⇒ r = r = 1 µ ⇐⇒ r = r º π1 ¸ π2 ¸ º ½½¾ π3 ¸ �ï¿ º ¿ º½ º S(x0 , y0 , z0 )¸ ¿ º½ º ¸ º º ¹ º α(x − x0 ) + β(y − y0 ) + γ(z − z0 ) = 0¸ α¸ β ¸ γ ¸ ´¿º¿ º ½µ ¹ ¾ º½ º ¿ º¾ º π1 ¸ π2 π23 ¸ ¹ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0¸ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0¸ α(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z+ +D2 ) + γ(A3 x + B3 y + C3 z + D3 ) = 0. º ï¿ º ½º ½½¿ ´¿º¿ º ¾µ �¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ º ¿ º½ º º º n1 (A1 , B1 , C1 ) ´´½º½¾º µµ π1 ¹ n2 (A2 , B2 , C2 )º ϕ ¹ ϕº A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 cos ϕ = A1 x + π1 π2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 B1 y + C1 z + D1 = 0 ¹ A21 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 º ´¿º¿ º ½µ π2 ´¿º¿ º ¾µ π1 ⊥π2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 º ¾º M (x, y, z) d Ax + By + Cz + D = 0 d= |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B 2 + C 2 ´¿º¿ º¿µ ¸ ½½ º ´¿º¿ º ¿µ ´¿º¾ º ½µ º ¹ �¿º Ax + d By + Cz + D1 = 0 Ax + By + Cz + D2 = 0 d= √ |D2 − D1 | A2 + B 2 + C 2 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ º ¸ ´¿º¾ º½µ ¹ º ï¿ º ¿ º½ º þ ¸ ½º a¸ º ¸ ¸ º ¹ º ´ µ x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ ¸ ¸ a(a1 , a2, a3 ) º ½½ ´¿º¿ º ½µ ¹ �¾º ⎧ ⎪ ⎨x = x0 + a1 t, y = y0 + a2 t, ⎪ ⎩ z = z0 + a3 t, M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ a(a1 , a2, a3 ) º ¿º ´¿º¿ º ¾µ ¹ ¸ y − y1 z − z1 x − x1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 M1 (x1 , y1 , z1 ) ¸ ´¿º¿ º ¿µ º M2 (x2 , y2 , z2 ) º ¸ ´ µ π1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 π2 A2 x+B2 y +C2 z +D2 = 0¸ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. ´¿º¿ º µ ´½º¿ º µ º π1 ¸ ¹ p(p1 , p2 , p3 ) º π2 ¸ ½½ p º ¹ ¸ �A1 p1 + B1 p2 + C1 p3 = 0, A2 p1 + B2 p2 + C2 p3 = 0 ´ º ´¿º¿ º ½µµº p3 ¸ ´¿º¿ º µ p2 p3 ¸ π2 B1 C1 A C1 A B1 , Δ2 = 1 , Δ3 = 1 B2 C2 A2 C2 A2 B2 Δ1 = p1 p3 π1 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ Δ3 = 0º º ⎧ p1 p2 ⎪ ⎪ ⎨A1 + B1 = −C1 , p3 p3 p p ⎪ 1 ⎪ ⎩A2 + B2 2 = −C2 . p3 p3 ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ ¸ Δ1 p1 = , p3 Δ3 ¸ p2 − Δ2 = . p3 Δ3 ´¿º¿ º µ p2 p3 p1 = = , Δ1 Δ2 Δ3 ¹ p(p1 , p2 , p3 ) a(Δ1 , − Δ2 , Δ3 )º ´¿º¿ º µ ´¿º¿ º µ ¸ z = z0 ¸ A1 x + B1 y = −C1 z0 − D1 , A2 x + B2 y = −C2 z0 − D2 , ½½ a º ºþ ¹ ¹ �M0 (x0 , y0 , z0 )¸ ¸ º º ¸ º ¸ ¸ x − x0 B1 C1 B2 C2 y − y0 = − A1 C1 A2 C2 z − z0 = A1 B1 A2 B2 º ¸ º ´¿º¿ º µ ¸ ¸ a ¹ n1 (A1 , B1 , C1 ) π1 π2 ¸ º n2 (A2 , B2 , C2 ) a = n1 × n2 º ï ¼º ¹ º ¹ ´¿º¿ º ½¼µ þ ¸ ¹ m ½º ¾º ¿º º m m m m º º º º ¹ m x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , = = . a1 a2 a3 b1 b2 b3 ´ º ½½ º¿ µ �¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) a(a1 , a2 , a3 ) ¸ M2 (x2 , y2 , z2 ) b(b1 , b2 , b3 ) mº º¿ (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )º ¸ ¾¸ ¿ þ −−−−→ M1 M2 ½ −−−−→ M1 M2 ¸ a Δ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Δ= a1 a2 a3 . b1 b2 b3 ½ Δ = 0¸ ¾¸ ¿ ¸ Δ = 0º þ ¸ þ º b ¹ µ µ Δ = 0 Δ = 0º x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 =0 b1 b2 b3 º ¹ m ¸ m b¸ ´ ½ º¿ µ ¸ m −−−−→ M1 M2 ¸ a ´¿º ¼º ½µ m ¾ a b ¸ º º ºþ a2 a3 a1 = = . b1 b2 b3 ½½ ´ ¸ ¿ a1 b1 º¿ µ ¸ ab ¸ 2 2 a ¸ a3 b3 b ´¿º ¼º ¾µ �þ −−−−→ M1 M2 ¸ a¸ b ´¿º ¼º¾µ y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 = = . b1 b2 b3 a2 b2 ¸ þ ¸ ´¿º ¼º ¿µ µ a3 b3 ´¿º ¼º¿µ¸ ¸ ´¿º ¼º¾µ¸ µ µ º m ¸ ¸ a1 b1 ´¿º ¼º¾µ ¸ m m m x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 ⇔ a1 a2 a3 =0; b1 b2 b3 1) ´¿º ¼º µ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 =0 b1 b2 b3 a1 a2 a3 , , b1 b2 b3 2) ⇔ ´¿º ¼º µ a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 ´¿º ¼º µ a1 a2 a3 = = , b1 b2 b3 y2 − y1 z2 − z1 x2 − x1 = = º b1 b2 b3 ´¿º ¼º µ 3) 4) ⇔ ⇔ ½¾¼ �ï ½º m x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , = = . a1 a2 a3 b1 b2 b3 b(b1 , b2 , b3 )º a(a1 , a2 , a3 ) a ϕ m¸ a cos ϕ = ´½º½¾º µ b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 ¹ b b21 + b22 + b23 º ´¿º ½º ½µ ´¿º ½º½µ ´¿º ½º ¾µ ⊥m ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0º ï ¾º ´ º º ¿ µº M (x, y, z) x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 º º d M º a(a1 , a2 , a3 )º M0 (x0 , y0 , z0 ) −−−→ a M0 M ½¾½ �Sº ¹ ¹ ¸ S = |a|·d ¸ −−−→ ¸ S = |M0 M ×a| ´ º ½ º¾ ¸ ¾◦ µº ¹ d º¿ −−−→ |M0 M × a| . d= |a| þ −−−→ M0 M a a ¹ M (x, y, z) d y − y0 z − z0 a2 a3 ¸ 2 d= x − x0 z − z0 + a1 a3 2 + x − x0 y − y 0 a1 a2 a21 + a22 + a23 2 . ´¿º ¾º ½µ ï ¿º ´ º º ¿ µº x − x1 y − y1 z − z1 = = a1 a2 a3 ´ µ¸ x − x2 y − y2 z − z2 = = b1 b2 b3 ´Ñµ¸ mº d ½¾¾ º �º a(a1 , a2 , a3 ) M2 (x2 , y2 , z2 ) Vº ¸ m ¸ ¸ ´ º ◦ ¾ µº þ S ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ d d ·S ¸ −−−−→ V = |M1 M2 a b| b(b1 , b2 , b3 ) mº −−−−→ M1 M2 a¸ b ½ º¿ ¸ M1 (x1 , y1 , z1 ) m V = ¸ ¹ = |a × b|¸ º¿ d d= −−−−→ |M1 M2 a b| |a × b| þ . −−−−→ M1 M2 ¸ a d b¸ m mod d= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a2 a3 b2 b3 2 + a1 a3 b1 b3 ½¾¿ 2 + 2 a1 a2 . b1 b2 ´¿º ¿º ½µ �ï º þ þ ½º ¾º ¿º π π Pº π ¸ ¸ º πº ¸ º π ´¿º º ½µ ´¿º º ¾µ x = a1 t + x0 , y = a2 t + y0 , z = a3 t + z0 , Ax + By + Cz + D = 0. ¹ ¸ ´¿º º½µ¸ ´¿º º¾µ πº ¸ ¹ (Aa1 + Ba2 + Ca3 )t + (Ax0 + By0 + Cz0 + D) = 0. ´¿º º ¿µ ºþ º µº Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ 0 +By0 +Cz0 +D t = − AxAa º 1 +Ba2 +Ca3 t ´¿º º½µ¸ ¸ ´¿º º½µ ¸ πº πº ´¿º º¾µ ½¾ ¸ ´¿º º¿µ º ¹ ¹ a(a1 , a2 , a3 ) n(A, B, C) π ¸ �n Ca3 ¸ µ´ D = 0¸ ¹ a º ¿ ºµ na º na = Aa1 +Ba2 + Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 + ´¿º º¿µ¸ º º ¸ π¸ ¸ ¸ ¹ º π ¸ ¹ ¸ ¹ a n ¹ π ¸ ¸ ¹ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º ¸ º º þ¹ ¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¹ π Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º µ ´ º ¿ ºµ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0¸ Ax0 + By0 + ´ º¿µ¸ ¸ ¹ Cz0 + D = 0¸ º ¸ πº ¸ ¹ π¸ ¸ ¹ ¸ a n ¹ π ¸ ¸ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0º þ ¹ ¸ M0 (x0 , y0 , z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0º π ¸ 1) ∩ π = P ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0; ´¿º º µ π⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; ´¿º º µ 3) ⊂ π ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; ´¿º º µ 2) ½¾ �º¿ ï º¿ º¿ º ¹ º½ º π x − x1 y − y1 z − z1 = = , a1 a2 a3 Ax + By + Cz + D = 0 a(a1 , a2 , a3 ) π ¸ ¹ º º a ¹ πº n P ´ º ½¾ n(A, B, C) π P πº º¿ ¸ º ¿ µº ¹ 1 �α a n ϕ 1 ´¿º º ½µ α = 90◦ ± ϕ. ´¿º º½µ cos α = ± sin ϕ ¸ ¸ ´¿º º ¾µ sin ϕ = ± cos α. α ≤ 90◦ ¸ − cos αº ¸ sin ϕ = cos α¸ 90◦ < α ≤ 180◦ sin ϕ ≥ 0º ¸ ´¿º º ¿µ ´½º½¾º µ sin ϕ = | cos α|. cos α cos α = sin ϕ = Aa1 + Ba2 + Ca3 na =√ . |n| · |a| A2 + B 2 + C 2 · a21 + a22 + a23 ¸ ´ º¿µ¸ ¹ ϕ π sin ϕ = a21 |Aa1 + Ba2 + Ca3 | √ + a22 + a23 A2 + B 2 + C 2 ½¾ º ´¿º º µ �ÿ ï º ½º º½ º ¸ ¸ º F1 ¸ F2 2a 2c µº ¸ þ ¸ ¸ ¸ º O F1 F2 = 2c¸ ¹ ´ º F1 ¹ ¹ F2 º ¹ ¹ O ij ¸ −−→ F1 F2 ¸ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº ¹ �F1 (c, 0) M (x, y) F2 (−c, 0) º ´ º ¿ µº F1 M F2 M F1 M = (x − c)2 + y 2 ¸ F2 M = (x + c)2 + y 2 º º º½ F1 M + F2 M = 2a, º¿ (x − c)2 + y 2 + ¸ M (x, y) (x + c)2 + y 2 = 2a. M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º (x + c)2 + y 2 = 2a − (x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a a ´ º º ½µ ´ º º ¾µ ¸ ´ º º¾µº þ ´ º º¾µ º ¹ ¹ (x − c)2 + y 2 (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 . (x − c)2 + y 2 = a2 − cx. ¹ (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ). a2 (a2 − c2 ) y2 x2 + = 1. a2 a2 − c2 ½¾ ´ º º ¿µ �F1 F2 M º F1 M + F2 M > F1 F2 º ¸ þ ¸ a > cº ¸ ¹ ¹ a2 − c2 = b2 º ´º º µ x2 y 2 + = 1º a2 b2 ´º º µ º¿ ¸ M (x, y) ¸ ´ º º¾µ ´º ºµ º ¸ ´ º º µº þ r1 = F1 M r2 = F2 M º y 2 = b2 1 − x2 a2 r1 = F1 M = x > 0º x2 a2 ´º ºµ = a2 − c2 − x2 + ¸ ¹ ¹ º ¹ ¹ c2 2 x º a2 (x − c)2 + y 2 = c2 − 2cx + 2 x2 = a x ≤ 0¸ M (x, y) = (a2 − c2 ) 1 − x2 − 2cx + c2 + a2 − c2 − x2 + a2 ´ º º µº a− c2 2 x = a2 c a− x a c x>0 a ´ ºµ ½¿¼ 2 = a− c x a º a− c c x = a − xº a a y2 x2 = 1 − a2 b2 ¸ ¸ �x2 ≤ 1º a2 |x| ≤ 1º a ¸ a− c c x ≥ a− a = a−c > 0 a a x ¸ x ≤ aº x>0 a− c c x = a − xº a a r1 = a − c xº a ´º º µ r2 = a + c xº a ´º º µ ü r1 + r2 = (a − c c x) + (a + x) = 2aº a a M (x, y) ¸ ´º º µ ¸ ¸ ´ µ º º ¸ ¹ y ¹ ¾º º ½º ´º ºµ M (x, y) º ¾º þ º ¸ º x ¸ ¸ (±x, ±y) ¸ ºþ ¸ ½¿½ M (x, y)¸ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ º ¹ º �x2 y 2 + 2 = 1, a2 b ¸ Ox¸ y = 0. ´º º µ A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º B2 (0, −b)º a ¸ a > b¸ B1 B2 ¸b ¸ ¿º ¸ b¸ y = −bº º Oy ¸ ¹ º ´º ºµ x2 M (x, y) ≤ 1 a2 |x| ≤ a¸ |y| ≤ b ¸ ¸ ¹ B1 (0, b)¸ A1 A2 º −b ≤ y ≤ bº ü ¸ y2 ≤ 1º b2 −a ≤ x ≤ a¸ x = a¸ x = −a¸ y = º ¸ º ¸ ¸ y = kxº ¸ ´º º µ ¹ º ¸ y ¹ x2 k 2 x2 + 2 = 1. a2 b ´º º µ ab x1,2 = ± √ . 2 b + k2 a2 ¸ ¸ C1 √ ab b2 + k2 a2 ,√ ¸ kab b2 + k2 a2 ¸ C2 ½¿¾ √ − ab b2 + k2 a2 ,√ º − kab b2 + k2 a2 ¸ �º 0º º º x2 y 2 + = 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º a2 b2 ¸ A1 B1 √ y = ab a2 − x2 ¸ x 0 a¸ y ¸ ý ¸ A1 B1 þ ¹ ¹ y ¹ [0, a]º b ¸ ¹ ¹ º A1 B1 ´ ¸ º ¼µº º ¼ ï º ÿ ½º º F1 ¸ F2 2a ¸ º½ º ÿ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ½¿¿ �¹ ´ 2c µº þ ´ ¹ Oij ¸ F1 F2 ¸ ¹ O F1 F2 = 2c¸ −−→ i ↑↑ OF1 ¸ j⊥iº F2 (−c, 0)º º ½µº M (x, y) F1 (c, 0) ¹ ¹ º F1 M F2 M (x − c)2 + y 2 ¸ (x + c)2 + y 2 º F1 M = F2 M = º½ |F1 M − F2 M | = 2a, ´ º º ½µ | (x − c)2 + y 2 − M (x, y) M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º (x + c)2 + y 2 = ±2a + (x + c)2 + y 2 = 4a2 ± 4a ´ º º ¾µ (x + c)2 + y 2 | = 2a. ¸ ¸ º ½ ¹ ´ º º¾µº þ ¹ ´ º º¾µ º (x − c)2 + y 2 (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 . ½¿ ¹ ¹ ¹ �±a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx. a2 (x − c)2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2 (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ). a2 (c2 − a2 ) y2 x2 − = 1. a2 c2 − a2 ´ º º ¿µ F1 F2 M º ¸ |F1 M − F2 M | < F1 F2 º ¸ º¿ ¸ ´ º º¾µ þ a < cº ¸ c2 − a2 = b2 º ´º º µ x2 y 2 − = 1º a2 b2 ´º º µ M (x, y) ¸ ´º ºµ º ¸ r1 = F1 M ¹ ¹ ´ º º µº þ r2 = F2 M º ½¿ ´ º º µº M (x, y) ´º ºµ ¸ ¹ ¹ º ¹ ¹ �y 2 = b2 x2 −1 a2 r1 = F1 M = x2 − 2cx + c2 + a2 x2 −1 a2 = (c2 − a2 ) c2 2 x − x2 − c2 + a2 = a2 x < 0¸ 2 c a− x a a− ¸ c x>0 a = a− ¸ x2 ≥ 1º a2 ü ¸ c c x = a − xº a a c x. a y2 x2 = 1 + a2 b2 x > 0 x>0 c xº a r2 = |a + ¸ x>0 a− c c x ≤ a− a = a−c < 0 a a c c x = −a + xº a a r1 = −a + º |x| ≥ 1º a ¸ a− c x a r1 = a − ´º ºµ x ≥ aº a− ¸ x<0 x > 0º ¸ c2 2 x − x2 − c2 + a2 º a2 (x − c)2 + y 2 = c2 − 2cx + 2 x2 = a ¸ = ´º º µ c x| a x<0 ¸ r2 = −a − r2 = a + ½¿ c xº a c x¸ a �½µ x < 0¸ r1 = a − c x, a c x a ´º º µ r2 = a + c xº a ´º º µ x > 0¸ ¾µ r1 = −a + ½µ ¾µ r2 = −a − ´ º º ½µ x < 0¸ |r1 − r2 | = |(a − x > 0¸ c c x) − (−a − x)| = 2a a a |r1 − r2 | = |(−a + ¸ M (x, y) ¸ c x, a c c x) − (a + x)| = 2a. a a ´º º µ ¸ ´ º º µ¸ º ¸ M (x, y) ¸ º ¾º ½º º ´º ºµ º M (x, y) º x y ¸ ¸ (±x, ±y) ¹ M (x, y)¸ ¸ ¹ ¸ º º ½¿ ¹ ¹ �¾º þ ¸ ºþ ¸ ¸ Ox¸ ¸ x2 y 2 − 2 = 1, a2 b º ¸ Oy º ¿º ¸ º b |x| ≥ a¸ ¸ ¸ º º A1 A2 B1 B2 ¸ B1 B2 B1 (0, b)¸ B2 (0, −b)¸ a ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ ´º ºµ ¸ º ¹ x = a¸ x = −a, ºÿ º ¸ ´º ºµ x2 ≥ 1º a2 x ≤ −a¸ x ≥ aº M (x, y) ¸ ´º º µ y = 0. A1 (a, 0)¸ A2 (−a, 0)º x = 0¸ Oy ¸ ´º ºµ ¸ ¹ º y ¸ y = kxº ¸ ¹ º ¹ x2 k 2 x2 − 2 = 1, a2 b x2 (b2 − k2 a2 ) = a2 b2 . ½¿ ´ º º ½¼µ �½µ b2 − k2 a2 ´ º º½¼µ¸ > 0¸ º º |k| < ab º ab x1,2 = ± √ . 2 b − k2 a2 þ C1 ¹ ¸ kab ab √ ,√ 2 2 2 2 b −k a b − k 2 a2 ¸ C2 ¸ − kab − ab √ ,√ 2 2 2 2 b −k a b − k 2 a2 Ø α¸ Ox ´− π2 < α < π2 µ¸ Ø k − y = ±b º ´ º α b α< ¸ a ¹ ¹ ´ º º ½½µ ¸ x = ±a¸ b b < tgα < . a a ¸ º ¾µº º º ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ 1 2¸ ¸ Oxº OA1 = OA2 = a¸ OB1 = OB2 = b¸ Ø α1 = b b ¸ Ø α2 = − aº ¹ a ´ º º½½µ tg α2 < tg α < tg α1 º α1,2 º ¾ ¸ ¸ ´ º º ½¾µ ¹ α2 < α < α1 . 1 ½¿ ¸ 2 �¾µ Ox C1 ¸ C2 º b2 − k2 a2 = 0¸ º º |k| = ¸ ¸ k= ± ab ¸ ¸ ¸ ¸ b a ¹ º ´ º º½¼µ ¸ ¸ º 1 ¸ ¸ ½¸ k> ¸ k < − ab º b a α1 ¸ α2 1¸ ºü ¸ ¹ ¹ ¹ 2 ´ º º ½¿µ ¹ ¹ α < α2 . 1 Oy ¸ y= ´ º º½¼µ ¸ ºþ α ¸ 1 ¹ ¹ ¸ α > α1 ¸ º 2 ¸ º ¿µ b2 − k2 a2 < 0¸ º º |k| > ab º ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ 2 º º¾ º ü 2¸ ¹ ¹ ´ º º½ µ b y = − xº a b x, a ¾ º ½¼ ¸ �¸ ´ º½ º ø ¸ ¸ ¹ µº ´ º º ¿µº ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ M (x, y) ´x > 0¸ º ¹ p¸ ¹ M (x, y)¸ º y ≥ 0µ 1 º ¸ N ´ º º½ Ox N (x, y ) p º M p¸ ´º º µ º ¿ Oy ¸ ¹ M 1 N b√ 2 b y= x − a2 ¸ y = xº a a √ y > y¸ x > x2 − a2 º þ √ b√ 2 b b MN MN = x − x − a2 = (x − x2 − a2 ) = a √a a √ a2 b (x − x2 − a2 )(x + x2 − a2 ) b √ √ · = · = a a x + x2 − a2 x + x2 − a2 ab √ x + x2 − a2 ab √ = 0. x→∞ x + x2 − a2 M lim ¸ MN º M ½½ ¹ �1 1 M L¸ ´L M º º ∞º ý ¸ ¸ µº ¸ ø º º x2 y 2 − = 1¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ a2 b2 ¸ √ b 2 2 y = a x −a ¸ x a ∞¸ y ¸ ¸ ¸ ´ º ï ML < MN MN º ½º þ ½¾ ¹ ¸ ¹ ¹ y ¹ [a, ∞)º 0 A1 ¸ A2 º º µº ¹ �º½ º ¸ ¸ F m p ¸ ¸ ¸ ¸ º þ ´ º º µº FK m Oij O j⊥iº KF = p¸ F ( p2 , 0)¸ M (x, y) º x+ 2p = 0º (x − º½ y2 + ¹ ¸ d = |x + ¸ p 2 2 + y2 = x + M (x, y) ½¿ º p 2| º ´ º º ½µ F M = d, x− ¹ ¹ −−→ KF ¸ i ↑↑ OF ¸ ¸ d ¹ ´¿º½ º½µ ´¿º¾ º½µ ¹ p 2 2) F ¹ ¹ ¹ FM FM = º ¹ ¹ ¹ p . 2 ´ º º ¾µ ´ º º¾µº þ ¸ �M (x, y) º ´ º º¾µ¸ ¸ º x− 2 p 2 + y2 = x + p 2 2 . ´ º º ¿µ y 2 = 2pxº ¸ M (x, y) ´ º º¿µº ¸ ´ º º¾µ ´ º º¿µ º r = FMº þ r = FM = x2 + px + p2 4 M (x, y) ¸ º ¸ x− = ¸ ´ º º¿µº þ p 2 2 x+ + y2 = p 2 2 ´ º º¿µ¸ x2 − px + º ´ º º½µ = x+ º º¿ ¸ p2 4 º ´ º º¿µ º ¹ ¹ + 2px = p 2 º ¸ º ¸ ¸ ½ ¸ M (x, y) ¾º ½º ¹ ¹ ¹ ´ º º¾µ ºþ y �¸ M (x, y)¸ ¸ (x, −y) M (x, y) ¾º þ ¸ Oxº Oxº ºþ ¸ ¹ ¹ ¹ º ¸ Ox¸ y 2 = 2px, y = 0. O(0, 0)º º º ¿º p 2 M (x, y) º ¸ Fº º ´ º y = kxº º ´ º º¿µ Oy º OA ´ º º¿µ ¸ x ≥ 0, Oy ¸ ¹ ¹ ¸ º µº ´º º µ ¸ ¸ ¹ ¸ y ¹ ¹ ¸ (kx)2 = 2px, x k2 x − 2p = 0. x1 = 0, x2 = ½ 2p . k2 º ´º º µ �¸ ¸ º 0 ´ L( k2p2 , O(0, 0) º º y 2 = 2px¸ x ≥ 0¸ y ≥ 0º þ ¸ √ y = 2px¸ ¸ x 0 ∞¸ y ∞º ý Oy º Ox¸ ´ º µº ¹ º 2p k ) ¸ ¹ y ¹ [0, ∞)º ¹ ¸ y m K Oy µ¸ . j O i . F x º º ºþ ¹ y 2 = −2px, ´º º µ x2 = 2py ¸ ´º º µ x2 = −2py º ´º º µ ½ �´º ºµ ¸ F x− ´º ºµ ´ ´ 0, º p 2 −−→ OF y+ º µº µº º ¸ = 0º þ º 0, p 2 0 ¸ ¹ ¹ ¹ µº ¹ y + p2 = 0 Oy F ¹ ¸ ¸ ¹ ´º ºµ º ¸ ´ F F º ï =0 ¸ ¸ j p 2 p 2 − p2 , º ¸ º½ º ¸ º c < a¸ º ´ º º µ ´ º º µ¸ ½ = ¹ c a ¸ c > a¸ ¹ ¸ ¹ ´º º µ ´º ºµ �º r2 = a + x. ´ º º ½µ r2 = −a − x ´ º º ¾µ r2 = a + xº ´ º º ¿µ r1 = a − x, ½µ r1 = a − x, ¾µ r1 = −a + x, º¾ º x− a m1 = 0, x+ ´ º º½µ Oy a a ¸ º ¸ º A1 ¸ m2 ¸ a ¸ 2a A1 a A2 , º½ º ´ ¸ ¸ ´º º µ = 0. ¸ ¹ ¹ ¹ º A2 , ¸ a ¸ ¸ ¸ ºµ ø ½ ¹ ¹ ¹ º �º ¸ º M (x, y) µº ´ º º½ º º¿µ ´ ¸ ´ï ¸ ï µ¸ º ½¸ ¸ r1 = |a − x|, ´º º µ r2 = |a + x|. M (x, y) m1 ´¿º¾ º ½µ d1 = x − a = x−a = µ | x − a| d2 = , ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ | x + a| . m2 ´º º µ ´ º º µ ´ º º µ¸ |a − x| r1 = = d1 | x − a| |a + x| r2 = . = d2 | x + a| ¸ ¸ º º½ ¸ º Φ M F < 1¸ ï ¼º º ¸ ¸ ¸ ½ ¹ m Φ = 1º ¸ >1 ¸ º ¸ ¸ �F º º ¸ Φ ´ º FK ¸ µº º º F¸ F¸ L1 F FK ºþ Φº ¹ m¸ K ¸m F F L1 ¹ m L2 ¸ L1 F m = LF2KF = −−→ KF º mº L2 F p FK = ´ ¸ ¹ F, i F K¸ i F Φ ¸ ¹ F Kº ¹ p Φº L1 L2 º½ µº ¹ F Kº ´ º ¼º ½µ p FK = . Φ¸ (ρ, ϕ) MH M º E º½ F M = M H. ½¼ m MH . ¹ ´ º ¼º ¾µ �FM = ρ −−→ ∠(i, F M ) = ´ º ¼º½µ¸ ϕº þ M H = M E + EH = M E + F K = F M cos ϕ + F K = ρ cos ϕ + p ´ º µº M H = M E − EH = M E − F K = −F M cos ϕ − F K = º µº −ρ cos ϕ − p ´ ¸ ¸ Eº H F K + F M cos ϕº µ µ¸ ´ º ¼º¾µ¸ þ ϕ> M cos ϕ < 0 M H = HE − M E = ¸ M H = ρ cos ϕ + p º ρ = (ρ cos ϕ + p ) = ρ cos ϕ + p, ρ úû ú·û ¸ º 90◦ , ρ = − ρ cos ϕ + pº ¹ ρ= p ¸ 1 − cos ϕ ´ º ¼º ¿µ ρ= ±p 1 − cos ϕ ´ º ¼º µ ¸ º M ´ º ¼º µº ½½ Φ¸ ´ º ¼º¿µ º �ï ½º ¸ ½º½ º ¸ M0 M0 M ¸ M0 ´ M º ¼µº ¸ ¸ y = M0 (x0 , y0 ) f (x0 )º ü M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º ½µ ¹ ¹ x = g(y)¸ ´ º ½º ¾µ x − x0 = g (y0 )(y − y0 ). º ¸ ¸ ¹ ¹ f (x)¸ ¹ y − y0 = f (x0 )(x − x0 ). º ¼ ¹ ¸ ¹ º x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ´ º ½º ¿µ ¸ M0 (x0 , y0 ) ⎧ ⎨y = b 1 − x22 , a ⎩y = −b 1 − x2 , a2 ½¾ y0 = 0º y0 > 0, y0 < 0. þ ¹ �y0 > 0º þ k k=− x0 b a2 1− x20 a2 ´ º ½º µ . M0 (x0 , y0 ) x20 y02 + 2 = 1. a2 b 1− ¸ ¸ ´ º ½º µ x20 y02 = 2º a2 b k=− ¸ ¸ k ´ ½º µ x0 b2 . y0 a2 ´ º ½º µ ¸ y − y0 = − x0 b2 (x − x0 ). y0 a2 º xx0 yy0 + 2 − a2 b º x20 y02 + 2 a2 b þ ¸ y02 b2 ½¿ ¹ ´ º ½º µ xx0 yy0 + 2 = 1. a2 b y0 < 0¸ ¸ = 0. ´ º ½º µ¸ ¸ y0 b2 = − yb0 ¸ kº �0¸ þ M0 (x0 , y0 )¸ x = ±a x0 < 0º ´ º ½º¾µ ü ú·û 1− ¸ x0 = y2 , b2 x0 > 0¸ ú û¸ ¹ ´ º ½º µ º x0 ¸ y0 M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º µ xx0 yy0 + 2 = 1º a2 b x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´ º ½º µ xx0 yy0 − 2 = 1º a2 b ´ º ½º µ º x= y2 . 2p ´ º ½º ½¼µ M0 (x0 , y0 ) ´ º ½º¾µ x − x0 = y0 (y − y0 ) p ½ ´ º ½º ½½µ �yy0 − y02 + px0 − px = 0. M0 (x0 , y0 ) þ ¸ ¸ y02 = 2px0 º yy0 = p (x + x0 )º ï ¾º µ ¸ º ¾º½ º ´ ¸ ´ º ´ ¾º¾ º ´ ¾º½ º ¹ ¸ µº ¸ ¸ ¸ µº µ ´ ´ º ½º ½¾µ µ ¹ ¹ ¸ ¸ ¹ º º ´ º ½ µº ¹ x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ´ º ¾º ½µ y = kx + b, ´ º ¾º ¾µ ½ �º ¸ k ¹ ¹ b M1 (x1 , y1 )¸ M2 (x2 , y2 ) º ¹ ´ º ¾º½µ¸ M1 ¸ M2 ´ º ¾º¾µ¸ º º x21 y12 + 2 = 1, a2 b x22 y22 + 2 = 1, a2 b y1 = kx1 + b, þ y2 = kx2 + b. ´ º ¾º µ ´ ¾º µ¸ ´ º ¾º ¿µ ´ º ¾º¿µ¸ x22 − x21 y22 − y12 + =0 a2 b2 ´ º ¾º µ¸ M (x, y) ´ º ¾º µ ¹ ´ º ¾º µ x1 + x2 k(y1 + y2 ) + a2 b2 Oy º x1 + x2 k(y1 + y2 ) + = 0. a2 b2 M1 M2 º x1 + x2 = 2x, y1 + y2 = 2y. ´ º ¾º½¼µ ky x + 2 = 0, 2 a b ½ µ µ µ µ ´ º ¾º µ y2 − y1 = k(x2 − x1 ). (x2 − x1 ) ´ º ¾º ´ º ¾º ´ º ¾º ´ º ¾º = 0. x2 − x1 = 0 ´ º ¾º µ ¹ ´ º ¾º ½¼µ ´ º ¾º µ ¹ �y=− b2 xº ka2 ´ º ¾º ½½µ ´ º ¾º½½µ ¸ ¸ º º ¸ ¹ ¹ k k k =− Ox ÿ ´ º ¸ ¸ b2 ka2 º ´ º ¾º ½¾µ Oy ¸ M1 ¸ M2 ¸ Oxº ¸ ¹ ¹ º ¸ º ½ µ x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´ º ¾º ½¿µ ¸ k ¹ k k = ´ b2 ka2 ´ º ¾º ½ µ ¹ º ½ µºº y 2 = 2px ´ º ¾º¾µº º ´ º ¾º ½ µ ¹ ¸ M1 (x1, y1)¸ M2 (x2, y2) ½ �¹ º ´ º ¾º½ µ¸ ¹ M1 ¸ M2 ´ º ¾º¾µ¸ º º ´ º ¾º ½ µ ´ º ¾º ½ µ y12 = 2px1 , y22 = 2px2 ´ º ¾º µ¸ ´ º ¾º µº þ ´ º ¾º½ µ ´ º ¾º½ µ ´ º ¾º µº k(x2 − x1 )(y1 + y2 ) = 2p(x2 − x1 ). Oy º x2 − x1 = 0 ´ º ¾º ½ µ ¹ k(y1 + y2 ) = 2p. M1 M2 º M (x, y) ´ º ¾º½¼µ ´ º ¾º½ µ ky = p, y= ´ º ¾º½ µ Ox ´ º Ox º p = k ´ º ¾º ½ µ ¸ µº ¸ ÓÒ×غ Oy ¸ ¸ ¸ ½ M1 ¸ M2 ¹ �¾º¿ º µ y = kx ´ º ¾º ½ µº k ´ µ¸ k º ¾º½ ´ y = kx ¸ ¹ ¹ ¹ ´ º ¾º½¾µ¸ ¸ ¹ ¸ º ¾º º þ ¹ º ÿ ¸ º ï ¿º ¿º½ º ¹ ¸ Oij a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0º ´ º ¿º ½µ ½ �¸ a11 ¸ a12 ¸ a22 ´ º ¿º½µ ´ º ¿º½µ º º º ¸ ¹ ½º O ij º Oi j ´¾º½ º ¿µ ´ º ¿º½µ γ ¸ O ij ϕº x = x cos ϕ − y sin ϕ, ¹ ´ º ¿º ¾µ y = x sin ϕ + y cos ϕ, ´ ¿º½µº a11 (x cos ϕ − y sin ϕ)2 + 2a12 (x cos ϕ − y sin ϕ)(x sin ϕ+ y cos ϕ) + a22 (x sin ϕ + y cos ϕ)2 + 2a13 (x cos ϕ − y sin ϕ)+ 2a23 (x sin ϕ + y cos ϕ) + a33 = 0. aij ´i, j ¸ aij ´ º ¿º ¿µ = 1, 2, 3µº þ ¹ −a11 cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) + a22 cos ϕ sin ϕ = 0º (a22 − a11 ) cos ϕ sin ϕ + a12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) = 0. ´ º ¿º µ ¸ tg 2ϕ = 2a12 . a11 − a22 ½¼ ´ º ¿º µ �¸ ´ º ¿º µ ºþ ´a12 = 0µ¸ a11 − a22 ϕ = 45◦ º 90◦ , ¸ ´ º ¿º µ¸ xy¸ 2 Oi j ϕ¸ O ij ´ º ¿º µ¸ ¸ 2ϕ = ¸ ¹ γ º º ´ º ¿º µ 2 a11 x + a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0. þ cos ϕ sin ϕ 1 cos ϕ = 1+ tg2 2ϕ tg 2ϕ sin ϕ = , ´ º ¿º µ 1 + tg2 2ϕ º ´ º ¿º¾µ¸ ¹ ¾º ¹ ´ º ¿º µº þ ½º ¾º a11 a22 a11 º a13 ¿º a11 = 0º þ a11 a13 ½ º a22 ¸ º a22 ´ º ¿º µ x yº x¸ ¸ y 2 2 (a11 x + 2a13 x ) + (a22 y + 2a23 y ) + a33 = 0º a11 a22 º a11 = 0º ¸ ¹ ¸ ¸ ½½ ¸ �x2+2 a11 a13 (a )2 a (a )2 x + 13 2 +a22 y 2 + 2 23 y + 23 2 +a33 − a11 (a11 ) a22 (a22 ) (a13 )2 (a23 )2 − =0 a11 a22 2 a x + 13 a11 a11 + a22 a y + 23 a22 2 + a33 − (a13 )2 (a23 )2 − = 0. a11 a22 ´ º ¿º µ þ x =x + a33 = a33 − ´ º ¿º µ a11 x 2 a13 , a11 y =y + (a13 )2 (a23 )2 − . a11 a22 + a22 y 2 ´ º ¿º ½¼µ + a33 = 0. ´ º ¿º½¼µ γ Oi j ¹ ¸ ´ º ¿º µº Oi j a − a13 , 11 O þ ¾ ´ º ¿º µ a23 a22 ´ º ¿º µ º ¹ a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0. ´ º ¿º ½½µ y¸ ¹ 2 þ a22 a − a23 22 y + a23 a22 2 + 2a13 x + a22 a33 − (a23 )2 2a13 a22 ½¾ = 0. ´ º ¿º ½¾µ �þ x =x + a22 a33 − (a23 )2 , 2a13 a22 y =y + a23 . a22 ´ º ¿º ½¿µ ´ º ¿º½¾µ a22 y 2 ´ º ¿º ½ µ ¹ + 2a13 x = 0. ´ º ¿º½ µ γ Oi j ¸ ´ º ¿º½¿µº ¹ Oi j O − þ a a22 a33 − (a23 )2 , − 23 2a13 a22 a22 ¿ . ´ º ¿º µ 2 a22 y + 2a23 y + a33 = 0. þ y¸ a22 y + a23 a22 2 + a33 − (a23 )2 = 0. a22 ´ º ¿º ½ µ ¹ ´ º ¿º ½ µ þ x =x, a33 = a33 − a22 y y =y + (a23 )2 º a22 2 + a33 = 0. ½¿ a23 . a22 ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º½ µ ´ º ¿º ½ µ �´ º ¿º½ µ γ Oi j ¹ ¸ ´ ¿º½ µº Oi j 0, − O ï a23 a22 º º º½ º ¹ º º ¹ ¹ ´ º ¿º ½¼µ¸ ´ º ¿º ½ µ ´ º ¿º ½ µ¸ Ax2 + By 2 + C = 0, 2 By + 2Cx = 0, (A = 0, B = 0); (B = 0, C = 0); 2 By + C = 0, B −C ¹ ½º = 1 b2 A −C A −C >0 (B = 0). ´ º º½µº B x2 + −C y 2 = 1º B −C > 0¸ ´ º º ½µ ´ º º ¾µ ´ º º ¿µ C = 0º A −C = 1 , a2 A −C = 1 , a2 x2 y 2 + 2 = 1. a2 b B −C ¾º = − b12 A −C >0 B −C º < 0¸ x2 y 2 − 2 = 1, a2 b ½ �− A −C ¿º 1 B , −C a2 < 0¸ A −C =− B −C º >0 B −C < 0 1 . b2 < 0¸ A −C º = x2 y 2 + 2 = −1. a2 b º ´ º º½µ Ax2 + By 2 = 0º A > O¸ B < O¸ º B = − b12 C = 0¸ º º A = 1 a2 , x2 y 2 − 2 = 0. a2 b x a ¸ º B= º º 1 b2 + ¸ ¸ y b x2 a2 x a ¸ − y2 b2 − ¹ y b. ¹ =0 A > O¸ B > O¸ A = 1 , a2 x2 y 2 + 2 = 0. a2 b ¸ ´ º º½µ¸ º ½ ¸ º ¹ �º C xº −2 B C B ´ º º¾µº < O¸ C B y2 = = −p y 2 = 2px, C B º > O¸ C = 0º ´ º º¿µº C 2 y + B = 0º C < 0 ¸ B º C B º = −b2 y 2 − b2 = 0. y+b = 0 ¸ º º º C B ¸ ¸ y − b = 0. ¸ y 2 − b2 = 0 > 0¸ C B ¹ ¹ ¹ ¹ = b2 y 2 + b2 = 0. º ´ º¿µ C By 2 = 0º ´ º º¿µ¸ = 0¸ º º º º ¸ º ½ ¹ B = 0¸ y 2 = 0¸ þ ¸ º ´ º º¾µ �º º ¾ ½ �ÿ ï º ½º º ¸ ¹ º½ º ¸ ¸ º ¹ a γ¸ ´ γ F (x, y) = 0 k¸ F (x, y) = 0 Oij ¸ ¹ ¹ º ¿µº Oxy ¹ ¹ O ij k º �γ F (x, y, z) = 0, Ax + By + Cz + D = 0 Oij k ¸ º º F (x, y, z) = 0 By + Cz + D = 0¸ Ax + a(a1 , a2 , a3 )¸ ¹ ¹ º M (x, y, z) ¸ º ¿ γ M1 (x1 , y1 , z1 )º ´¿º¿ º ¾µ x = x1 + a1 t¸ y = y1 + a2 t¸ z = z1 + a3 tº x1 = x − a1 t¸ y1 = y − a2 t¸ z1 = z − a3 tº ¸ M1 ∈ γ ¸ γ ¸ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x − a1 t) + B(y − a2 t) + C(z − a3 t) + D = 0º t= ¹ º ¹ ¹ ¹ ¸ Ax + By + Cz + D . Aa1 + Ba2 + Ca3 F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸ F x − a1 Ax + By + Cz + D Ax + By + Cz + D , y − a2 , Aa1 + Ba2 + Ca3 Aa1 + Ba2 + Ca3 Ax + By + Cz + D z − a3 = 0. Aa1 + Ba2 + Ca3 ½ ´ º º ½µ �º ¾º ´ º½µ ¹ º¾ º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º 2 2 2 2 2 2 2 2 ¸ Oz ¸ µ ½º xa ¾º xa ¿º xa º xa º xa º ¹ ´ ¹ ¹ Oxy 2 + yb2 = 1 2 − yb2 = 1 2 + yb2 = −1 2 − yb2 = 0 + yb2 = 0 ¹ º y2 = 2px º y2 − b2 = 0 º y2 + b2 = 0 ¹ 2 2 2 º º y2 = 0 ï ¹ º ½º º ½¼ �º½ º ¸ S¸ ´ ¸ ¸ ¸ γ¸ º µº ¹ ¹ º γ F (x, y, z) = 0, Ax + By + Cz + D = 0 Oij k ¸ F (x, y, z) = 0 ´ º º Ax + By + Cz + D = 0¸ S(x0 , y0 , z0 )¸ º M (x, y, z) º µº ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ γ M1 (x1 , y1 , z1 )º x = x0 + (x1 − x0 )t¸ y = y0 + (y1 − y0 )t¸ z = z0 + (z1 − z0 )tº º x1 = x0 + 1t (x − x0 )¸ y1 = y0 + 1t (y − y0 )¸ z1 = z0 + 1t (z − z0 )º ¸ M1 ∈ γ ¸ γ¸ ½½ ¸ ¹ ¸ �Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0º A(x0 + 1t (x − x0 )) + B(y0 + 1t (y − y0 )) + C(z0 + 1t (z − z0 )) + D = 0º Ax0 + By0 + Cz0 + D 1 =− . t A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) F (x1 , y1 , z1 ) = 0¸ Ax0 + By0 + Cz0 + D (x − x0 ), A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D (y − y0 ), y0 − A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) Ax0 + By0 + Cz0 + D (z − z0 ) = 0. z0 − A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) F x0 − ´ º º ½µ ¹ ´ º º½µ º ¾º º¾ º ¸ ¸ º S γ ´ 0¸ z − h = 0¸ ½º µ ¸ Oxy, F (x, y) = 0 ´ º ½ µº γ ´ º º½µ 2 (− hz y)2 (− −h z x) + = 1, a2 b2 ½¾ ¸ º ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ π¸ F (x, y) = �z2 x2 y 2 + − = 0. a2 b2 h2 h=c x2 y 2 z 2 + − = 0¸ a2 b2 c2 ¾º ´ º º ¾µ ¹ ¸ º ºü γ x2 y 2 z 2 − 2 − 2 = 0, a2 b c ¿º þ ¸ ¸ ¸ º γ x2 y 2 z 2 + + = 0¸ a2 b2 c2 º ¸ ¹ γ ¸ ´º º µ º ¸ ¹ ¹ x2 y 2 − = 0º a2 b2 º ´ º º¾µº ´ º º ¿µ ¸ º ¹ ¹ γ ½¿ ¸ ¹ �x2 y 2 + = 0¸ a2 b2 º ´º º µ ¹ º ¸ γ y2 π ´ º º½µ 2 h − y z = −2p ¸ ¹ −h x, z γ ´ º º½µ h − y z ¸ ¹ ´ º º¾µº º 2 y2 − b2 = 0º ¹ þ − b2 = 0, z2 y2 − = 0. b2 h2 º ¸ ¸ = 2pxº p y 2 = 2 xz. h ¸ ºü ¹ ¸ ¸ ¸ z2 y2 + = 0. b2 h2 ½ ¹ �ºþ ¹ ¸ y 2 = 0º ´º º µ ¸ ¸ ´ º µ¸ ´ º º µ¸ ¸ π¸ º º ¸ ¹ º ´ ´ ¹ ´ º º µº ¸ ¸ ´ º º¾µ¸ ´ º º¿µ¸ µº ¹ ¹ º µ π¸ º ½ π¸ ´ º µ º ¹ ¹ �ï º ½º º½ º ¸ ¸ ¸ ´ m¸ ¸ º µº ¹ ¸ ¸ þ m¸ º º º ¸ Oxyz Φ¸ ¸ ¸ m S º S¸ º Oz ½ ¹ ¹ ¹ ¹ m¸ º º Oxz ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ γ¸ ¹ x = ϕ(z)º �M (x, y, z) K Φº π¸ ¸ Φ (0, 0, z)¸ Oz M1 (ϕ(z), 0, z) γº KM1 ¸ π ´ º º ½µ º¾ º ½º º Φ γ ¸ x2 a2 x2 = a2 1 − z2 c2 º + z2 c2 ´ ¾º þ − z2 c2 º µº γ = 1º ¹ Oxz = 1º Oz ¸ x2 y 2 z 2 + + =1 a2 a2 c2 x2 a2 ¹ ¸ º γ ¸ Oxz ¸ x2 y 2 z 2 + − =1 a2 a2 c2 ½ ¹ KM = KM1 x2 + y 2 = (ϕ(z))2 º ¾º Oz º ´ º º ¾µ ¸ ¹ ¸ Oz ¸ ´ º º ¿µ �´ º ¿º µº ¸ γ Oxz x2 z2 − a2 + c2 = 1¸ Oz ¸ ¹ ¸ x2 y 2 z 2 + − = −1 a2 a2 c2 ´º º µ ¸ µº º ¸ x2 a2 ¸ ¹ ´ º + z2 c2 Oxz = −1º Oz ¹ x2 y 2 z 2 + + = −1º a2 a2 c2 2pz ¸ º ¸ Oxz ¸ ´ º º x2 = Oz ¸ ¹ ´º º µ º ½ ´º º µ µ x2 + y 2 = 2pz º º ¹ ¹ ¹ Φ γ º �º x2 a2 Oz ¸ γ 2 − zc2 Oxz = 0¸ ¹ x2 y 2 z 2 + − =0 a2 a2 c2 ´º º µ º º x2 a2 γ 2 + zc2 = 0 Oz ¸ ¹ Oxz ¸ x2 y 2 z 2 + + =0 a2 a2 c2 º ¸ x2 − a2 x2 +a2 = 0¸ ï ´º º µ º =0 Oxz ¸ ¸ ¹ ¹ Oz ¸ ¹ x2 + y 2 = a2 ¸ ´º º µ x2 + y 2 = −a2 º ´ º º ½¼µ º ½º ½ �º½ º ¸ ¹ ¹ x2 y 2 z 2 + + = 1º a2 b2 c2 º ´ º º ½µ Oy ¸ ´ º º¾µ ⎧ ⎪ ⎨x = x, 2 y = ab 2 y, ⎪ ⎩ z = z. ´ º º ¾µ ´ º º½µ ¸ a=b=c ½º þ a ¸ b¸ c º aº a ¸ b¸ c ¸ ´ ´ µ º µº µ´ ¹ º ¸ z O º ¾º A1 (a, 0, 0) A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0) ½¼ B2 (0, −b, 0)¸ �C1 (0, 0, c) ¹ º C2 (0, 0, −c) ¿º ´ º º½µ M (x, y, z) ¸ −a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c, º º −a¸ y = b ºþ y = −b¸ z = c ¸ x=a z = −cº t1 = º 1 m2 a2 + n2 b2 + p2 c2 ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), −1 t2 = m2 a2 + n2 b2 + p2 c2 º y2 z2 x2 z 2 x2 y 2 + = 1, + = 1, + 2 = 1. a2 b2 b2 c2 a2 c Oxy þ ´ º º½µ z h h2 x2 y 2 + = 1 − . a2 b2 c2 þ µ ´º º µ π¸ º z = hº x= ´ º º ¿µ x = mt, y = nt, z = pt, M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), ¸ π ¸ 1− h2 c2 > 0¸ º º ½½ |h| < c ¹ ¹ �µ ´ |h| = c C2 ¸µ C1 µ ü ¸ ¸ 1− ¸ º º ý h2 c2 1− < 0¸ º º ¸ ¸ ¸ º h2 c2 = 0¸ |h| > cº ¹ ¸ ´ º º ½µ M0 (x0 , y0 ¸z0 ) ¸ º ¸ ¸ º º ½¾ ¸ ´º º µ ¸ ¹ Ax + By + Cz + D = 0 ¸ x = a2 At, y = b2 Bt, z = c2 Ct. þ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) a1 x a2 y a3 z + 2 + 2 = 0. a2 b c ¸ º ´º º µ x0 x y0 y z0 z + 2 + 2 = 1. a2 b c ¸ º º ¹ ´º º µ ¹ �¾º º¾ º ¹ ¹ ¸ x2 y 2 z 2 + + = −1º a2 b2 c2 º ï º ´º º µ ´ ºµ ´ º¾µº Oy ¸ ÿ º½ º x2 y 2 z 2 + − = 1¸ a2 b2 c2 a b º º¾ º ´º ºµ bº ¹ ´ º º ½µ ¸ x2 y 2 z 2 + − = −1¸ a2 b2 c2 a ¹ ¸ ¸ Oy ´ º º¾µº ½¿ ¹ ´ º º ¾µ ´ º º¿µ¸ a = b¸ �º ½º ½º » ´ º º ½µ¸ ¸ ´ ´ µ µº ¾º A1 (a, 0, 0)¸ A2 (−a, 0, 0)¸ B1 (0, b, 0)¸ B2 (0, −b, 0)¸ C1 (0, 0, c)¸ C2 (0, 0, −c) Ox Oy º Oy ¿º ´ º º½µ M (x, y, z) Oz º ¹ º Ox ¸ ¹ x2 y 2 + 2 ≥ 1, a2 b º º 1º 2 x2 + yb2 a2 º ¸ º ¸ º º x = mt, y = nt, z = pt ¸ ´ º¿µ ´ º½µ¸ t t2 m2 n 2 p 2 + 2 − 2 a2 b c º ½ ´ º º¿µ = 1. = ¹ ´ º º ¿µ ´ º º½µ º ¹ ¹ ¹ ´º º µ �µ m2 a2 2 + nb2 − > 0¸ p2 c2 M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), 1 t1 = µ 2 m2 + nb2 a2 m2 n2 a2 + b2 º µ − − p2 c2 p2 c2 ¸ ¹ t2 = ≤ 0¸ −1 m2 a2 + º ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), 2 2 m2 + nb2 − pc2 = 0 a2 2 2 (tm)2 + (tn) − (tp) a2 b2 c2 n2 b2 p2 c2 º t ¸ = 0, − ¹ ¸ x2 y 2 c2 + 2 − 2 = 0, a2 b c ¹ º ¸ ¸ ¹ M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), t1 = º ´º º µ 1 m2 a2 + n2 b2 − p2 c2 ¸ ´º º µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), t2 = −1 m2 a2 + n2 b2 ¸ º − p2 c2 º ¹ Oxy x2 y 2 + 2 = 1. a2 b ½ ´º º µ �º Oyz x2 z 2 y2 z2 − = 1, − 2 = 1. b2 c2 a2 c º µ z = h ´ Oxy z º µº þ ´ º º½µ ¹ ´º º µ º Oz Oxz π¸ ¹ h h2 x2 y 2 + = 1 + . a2 b2 c2 h ¸ π a µ´ º 1+ h2 c2 º ≥ a b µ 1+ º h2 c2 º½µ ≥ b¸ ¹ ¹ ¹ ¹ σ¸ Oxz y = mº þ ´ º ¸ y m m2 x2 z 2 − = 1 − . a2 c2 b2 þ m2 b2 ¹ σ µ ¸ > 0¸ µ 1− Ox¸ |m| < b º º m2 b2 = 0¸ º º 1− |m| = b ½ ¸ º �µ ¸ ´ º µº ü Oz ¸ 1− m < 0¸ b2 2 ¸ |m| > b ω¸ Oyz, Oy ¸ º º ¹ ¸ ¸ ¸ Oz º ¾º ½º ´ º º ¾µ¸ ¸ ´ ¾º Oz ¸ Ox Oy ¿º º M (x, y, z) º º º º ¸ C1 (0, 0, c) Oz ´ º º¾µ ´ µ µº C2 (0, 0, −c), ¹ ¸ ¹ z 2 ≥ 1, ¸ º ´ º¿µ z=c º ¸ ¹ º ¹ z = −cº ¸ º º ¸ ´ º º¿µ ´ º º¾µ¸ ´ º¿µ ¹ ´ º¾µ º ¹ ¹ ¹ t t2 m2 n 2 p 2 + 2 − 2 a2 b c ½ = −1. ´ º º ½¼µ �¸ º ´ º º µ¸ M1 (mt1 , nt1 , pt1 ), t1 = ¹ ¹ ¹ 1 2 n2 b2 −m a2 − ¸ º + p2 c2 ´ º º ½½µ M2 (mt2 , nt2 , pt2 ), ¸ t2 = −1 2 −m a2 − n2 b2 + º ¹ º Oxy ¹ x2 y 2 + 2 = −1, a2 b º º Oyz p2 c2 º ´ º º ½¾µ ¹ Oxz − y2 z2 x2 z 2 + = 1, − + 2 = 1. b2 c2 a2 c ´ º º ½¿µ º π¸ ¹ Oz º µ z = h þ |h| = c ´ º ¼µº þ ´ º º½µ Oxy z h h2 x2 y 2 + = − 1. a2 b2 c2 ¸ ´ π h2 c2 − 1 > 0¸ º º C1 C2 ), ¸ h2 c2 ½ |h| > c h2 − 1 = 0¸ c2 − 1 < 0¸ º º º º |h| < cº �µ´ º ¼µ ¹ σ¸ y = mº Oxz þ ´ º º¾µ − y x2 z 2 m2 + = 1 + . a2 c2 b2 m σ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ Oz ¸ ü m ¸ Oxz. ¸ ω¸ º ¼ ¹ Oyz, Oz º ý º M0 (x0 , y0 , z0 ) x0 x y0 y z0 z + 2 − 2 = ±1. a2 b c ¸ ¸ ¸ º ¸ ´ º º ½µ¸ ´ º º ¾µ ´ º º½ µ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) a1 x a2 y a3 z + 2 − 2 = 0. a2 b c º ½ ´ º º½ µ ¸ ¸ �¸ ¸ ¸ º Ax + By + Cz + D = 0 ¸ x = a2 At, y = b2 Bt, z = −c2 Ct. ´ ¸ ´ µ¸ µ þ ¸ ¹ ´ º º½ µ ¹ º º ¸ ¹ º ï ¼º ¼º½ º ¸ x2 y 2 + = 2z ¸ a2 b2 a º a = b¸ bº ´º ºµ ´ º º¾µº º ½¼ ¹ ´ º ¼º ½µ ¹ Oy ¸ ¹ �¼º¾ º ÿ ¹ ¸ ¹ x2 y 2 − = 2z ¸ a2 b2 ´ º ¼º ¾µ bº a ºþ ¹ ¹ ½º º ½º ¸ µº ¾º Oxz ¸ º ¿º ´ ¹ Ox¸ Oy ¸ Oz O(0, 0, 0) º ´ º ¼º½µ M (x, y, z) º Oyz Oz ¸ z Oxy º ¸ ¸ º º º ´ º º¿µ ´´ º ¼º ½µµ º ¸ ´ º º¿µ ´ º ¼º½µ¸ 0, º º ¹ ¹ ¹ ´ º º¿µ t t t m2 n 2 + 2 a2 b ½½ − 2p = 0. ´ º ¼º ¿µ �¸ Oxy ´p = 0µ¸ 2mp P m2 a2 + n2 b2 , 2np m2 a2 + n2 b2 , ¸ ¸ O(0, 0, 0) 2p2 m2 a2 + Oº º n2 b2 ´ º ¼º µ . Oxy ´p = 0µ¸ P Oyz ¹ Oxy º Oxz ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ y 2 = 2b2 z, 2 2 x = 2a z. º ½µ π¸ z=h´ z h Oxy º ½µº þ ¹ ´ º ¼º ½µ ¹ x2 y 2 + 2 = 2h. a2 b þ µ µ µ ¾µ ¹ ¸ π h>0 O¸ ¸ h=0 h < 0º σ¸ y = mº ´ º ¼º½µ þ ¹ ¹ Oxz y ½¾ m º ½ �m2 x2 = 2z − , a2 b2 x2 = 2a2 z − þ σ A(0, m, m2 ) 2b2 m2 2b2 a2 ¸ . ´ º ¼º µº ´ º ¼º µ ´ º µº ´ º ¼º µ ¸ ´ º ¼º µ ¿µ ü º´ ¼º µ¸ ´ º ¼º µ¸ ´ º ¼º µ º ω¸ ¸ Oyz, ¹ b2 ¸ ´ º ¼º µº ¾º ÿ ½º ¾º ¿º Oxz ´ Oz O(0, 0, 0) Oyz ¸ µº º ¸ º ´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ º ¸ º º ¸ ´ º º¿µ ´ º ¼º¾µ¸ ½¿ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ´ º º¿µ �t m2 n 2 − 2 a2 b t t ½µ m2 a2 − n2 b2 ºþ = 0¸ p = 0º þ ¸ 2np 2mp 2 m2 a2 − , n2 b2 m2 a2 − ¾µ ma2 − nb2 = 0¸ p = 0º ¸ º m2 n 2 ¿µ a2 − b2 = 0¸ p = 0º t = 0¸ µ pt) ´ º ¼º µ ¸ , n2 b2 2p2 m2 a2 n2 b2 º ¹ ´ º ¼º µ ¹ ¹ ¸ ºþ ¸ ¸ ¸ ¿ º ½ ¾ ½ º M (mt, nt, ´ º ¼º¾µ x2 y 2 − 2 = 0. a2 b ´ º ¼º µ¸ − ´ º ¼º µ m2 n 2 − = 0¸ p = 0º a2 b2 ¸ ´ º ¼º µ = 0. ¸ ¸ 2 − 2p ¹ ¹ ¸ ¹ ´ º ¼º µ ¸ �¾ Oxy º º ¸ ¹ Oxy º Oyz Oxz ´ º ¼º µ ´ º ¼º ½¼µ π¸ y 2 = −2b2 z, 2 2 x = 2a z. º ½µ z = h þ ´ ´ º ¼º¾µ Oxy º ¾µº z h x2 y 2 − 2 = 2h. a2 b þ π µ Ox¸ ¸ h>0 µ ¸ µ ¾µ ¹ ¹ h=0 ¹ Oy ¸ ¸ σ¸ y = mº þ ´ ¼º¾µ m2 x2 = 2z + , a2 b2 ½ º ¾ h| < 0º y Oxz m ¹ ¹ �x2 = 2a2 z + þ − σ a2 ¸ m2 ) 2b2 m2 2b2 . ¹ ´ º ¼º½¼µº ´ º ¼º µ ´ º ¾µº A(0, m, ¹ ¹ ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸ ¸ ´ º ¼º µ ´ º ¼º µ¸ ´ º ¼º µ º ¸ º ¿µ ü ¸ ý b2 ¸ ¸ ¸ ¹ ¹ ´ º ¼º µº º ´ º ¼º½µ¸ ´ º ¼º¾µ ¹ M0 (x0 , y0 , z0 ) ¸ ¸ ¹ ω¸ Oyz, ¸ ¹ x0 x y 0 y + 2 = z + z0 a2 b ´ º ¼º ½½µ x0 x y 0 y − 2 = z + z0 . a2 b ´ º ¼º ½¾µ ¹ ¸ º ½ ¸ a(a1 , a2 , a3 ) ¹ ¹ �a1 x a2 y + 2 = a3 a2 b ´ º ¼º ½¿µ a1 x a2 y − 2 = a3 . a2 b ´ º ¼º ½ µ ¸ Oz ¸ ¹ Oz º ¹ x y ± = 0, a b ¹ Oz º ¸ ¸ x=− ¸ º Ax + By + Cz + D = 0 ¸ ¹ Bb2 Aa2 , y=− C C ´ º ¼º ½ µ Bb2 Aa2 , y= C C ´ º ¼º ½ µ x=− º º ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ Oz ½ ¹ �ï ½º ½º½ º ¸ º º½ ¸ º½ ¸ ¹ ¹ ºþ ¸ ¹ º ¹ ¹ º ´ º ½º x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1. a2 b c º ¿µ ´ º ½º ½µ y2 x2 z 2 − = 1 − a2 c2 b2 ¹ x z + a c x z − a c = 1+ ½ y b 1− y . b ´ º ½º ¾µ �⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α1 x z + a c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β1 1+ x z − a c = α1 y , 1− b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α2 x z + a c = β2 1− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β2 x z − a c = α2 y , 1+ b α1 ¸ β1 ý ¸ ´ º ½º µ ´ º ½º µ ¸ ¸ α1 ¸ β1 ¸ ¸ α2 ¸ ¹ ¹ º α1 ¸ β1 ¹ ¹ ´ º ½º¿µ ¹ ½ º º ´ º ½º¿µ¸ ´ º ½º µ ´ º ½º½µ º ´ º ½º¿µ ¸ α2 ¸ β2 y , b ´ º ½º¾µ ¸ β2 ¸ ´ º ½º ¿µ α2 ¸ β2 ¸ ´ º ½º µ¸ y , b = β1 º ¿ �º ´ º ½º¿µ ´ º ½º µ º ½º ¹ ¾º ¸ ¸ ¿º ¸ º º ¹ ¹ º ´ º ¾º ÿ x2 y 2 − 2 = 2z. a2 b x y + a b x y − a b ´ º ½º µ = 2z ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α1 x y + = 2z, a b ⎪ ⎪ x y ⎪ ⎩ − = α1 , a b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨α2 x y − = 2z, a b ⎪ ⎪ x z ⎪ ⎩ + = α2 , a c ¾¼¼ º µ ´ º ½º µ ´ º ½º µ �º α1 ¹ α2 ¸ ¹ ¹ ¹ ¸ ¸ α1 α2 ´ º ½º µ ´ º µº ½º p1 ´ º ½º µ ¹ ¹ ¹ ¹ º ´´¿º¿ º µµ p2 p1 º ´ º ½º µ ´ º ½º µ º ⎧ α α ⎪ ⎨ 1 x + 1 y − 2z = 0, a b ⎪ ⎩ 1 x − 1 y − α = 0, 1 a b ´ º ½º µ ⎧ α α ⎪ ⎨ 2 x − 2 y − 2z = 0, a b ⎪ ⎩ 2 x + 1 y − α = 0. 2 a b ´ º ½º µ 2 2α1 2 , − ,− ,− b a ab p2 2 2α2 2 ,− , b a ab ´ º ½º ½¼µ . α1 ¸ º ¾¼½ α2 �¾º x a þ − y b =0 ¸ π2 º x a + y b π1 = 0º α2 ´ º ½º µ ¿º ¿ ï ¼¸ ¸ ¸ α1 π2 ¸ p1 p2 ¹ ¹ º ¹ ¹ π1 ¸ π1 ¸ ´ º ½º µ ¹ π2 º ¹ ¹ ¸ x y ± =0 a b º º ´ µº ¸ ¹ ¹ ï ¾º ¹ a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x+ + 2a2 y + 2a3 z + a33 = 0. ´ º ¾º½µ ´ º ¾º ½µ ¹ ¹ º ¾¼¾ �¾º½ º x¸ y ¸ z µ ´ ´ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. − − y2 b2 y2 b2 =1 y2 b2 =0 13. x2 a2 + 14. x2 a2 x2 a2 x2 a2 = 2z x2 =0 15. 16. 17. ¸ º 2 2 x2 + yb2 + zc2 = 1 a2 y2 x2 z2 a2 + b2 + c2 = −1 2 2 x2 + yb2 − zc2 = 1 a2 2 2 x2 + yb2 − zc2 = −1 a2 2 2 x2 + yb2 + zc2 = 0 . a2 2 2 x2 + yb2 − zc2 = 0 a2 y2 x2 a2 + b2 = 2z 2 x2 − yb2 = 2z a2 2 x2 + yb2 = 1 a2 2 x2 + yb2 = −1 a2 x2 a2 x2 a2 ¸ º µ ¹ ¸ ¹ º º º º º º º =0 º º º º º º º =1 = −1 º ¾¼¿ º �º ¾¼ �[1] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1967. – Т. I. [2] Атанасян, Л. С. Аналитическая геометрия / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1970. – Т. II. [3] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян. – Москва : Просвещение, 1973. – Ч. I. [4] Атанасян, Л. С. Геометрия : в 2 ч. / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – Москва : Просвещение, 1986. – Ч. I. [5] Бахвалов, С. В. Аналитическая геометрия / С. В. Бахвалов, Л. И. Бабушкин, В. П. Иваницкая. – Изд. 5. – Москва : Просвещение, 1965. ¾¼ �½ ¾ ï ½º ï ¾º þ ï ¿º ï º þ ï º ï º ï º ï º ï º ï ½¼º ï ½½º ï ½¾º ï ½¿º ï½ ºþ ï½ º º ºººººººººº ººº ºº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº ºººººººº ºººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº ººº ººººººººº ººººººººº ï½ ºü ï½ º ï½ º ï½ º ï ¾¼º ÿ ï ¾½º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºººººººººººººº ºººº ºººº º ºººººº ¾¼ ¿ ¿ ½½ ½¾ ½ ½ ¾¾ ¾ ¿¼ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¾ ¾ ½ ½ �¿ ï ¾¾º ï ¾¿º ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ï¾ ºÿ ºþ º º º º ï ¿¼º ï ¿½º ï ¿¾º ÿ ´ µ ´ µ ºººººººººººººººººººººººººººº ¼ Ü· Ý· º ººººººººººººººººººººººº ºººººº ººººº ¾ ººººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ Ü· Ý· Þ· º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¿ ï ¿¿º þ ï¿ º ï¿ º ï¿ ºþ ï¿ º ï¿ º ï¿ º ï ¼º þ ï ½º ï ¾º ï ¿º ï ºþ ï º ï ï ï ï º ºÿ º º ï ¼º ººº º ºººººººº ººº ººººººº ºººº º º º º º º º º ºº º ºº ºººººººº ºººººººººººººººººº ºººººººººººººººº ººººººººººººººººº ¸ ºººººººººººººººººººº ¸ ¸ ººººººººººº º º º º º º º º º º º º º ººººººº ººººººº ººººººº ¸ ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼ ½¼ ½½¼ ½½¿ ½½¿ ½½ ½½ ½¾½ ½¾½ ½¾¾ ½¾ ½¾ ½¾ º º ½¾ º º ½¿¿ ºº ½¾ ºº ½ ººººººººº ½ �ï ½º ï ¾º ï ¿º ¸ ¸ º º º º ºÿ ¼º ½º ï ¾º ºººº ½¾ ºººº ½ º ºººººººººººººººº ½ ºººººººº ½ ï º ï ï ï ï ï ï ï ¸ ¸ º ººººººº ºººººº ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½¼ ½ ½ ½¿ ½¼ ººººººººººººººººººººººººº ½ º º º º ¾¼¾ º º º º º º º º º º ¾¼ � Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Львова, Людмила Викторовна Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Subject The topic of the resource 1. Математика. 2. Геометрия. 3. аналитическая геометрия. 4. задачи (геометрия). 5. решение задач. 6. плоскость (математика). 7. прямые (математика). 8. векторная алгебра. Description An account of the resource Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве [Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. В. Львова ; Алтайский государственный педагогический университет. — 2-е изд., доп. — Барнаул : АлтГПУ, 2017. — 207 с. Учебное пособие написано в соответствии с государственными образовательными стандартами. Электронное пособие содержит интерактивное оглавление, необходимые ссылки на теоремы, определения и т. п. Адресуется студентам, обучающимся по направлению «Математика и информатика». Creator An entity primarily responsible for making the resource Львова, Людмила Викторовна Source A related resource from which the described resource is derived Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Publisher An entity responsible for making the resource available Алтайский государственный педагогический университет Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 13.12.2017 Rights Information about rights held in and over the resource ©Алтайский государственный педагогический университет, 2017 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource pdf Language A language of the resource русский Type The nature or genre of the resource Учебное пособие Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context <a href="http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf" target="_blank">http://library.altspu.ru/dc/pdf/lvova2.pdf</a> аналитическая геометрия векторная алгебра Геометрия задачи (геометрия) Математика плоскость (математика) прямые (математика) решение задач